Leitfaden: Lineare Algebra

Mit ℚ wird die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet, also der Brüche \frac{a}{b}, wobei a, b ganze Zahlen sind mit b ≠ 0.

Teil 1. Matrizen.

Eine (m × n)-Matrix A = (a_{ij})_{ij} mit Koeffizienten in ℚ ist eine Abbildung A: {1, 2, …, m} × {1, 2, …, n} → ℚ, die dem Paar (i, j) mit 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n eine Zahl a_{ij} ∈ ℚ zuordnet; man nennt a_{ij} den (i, j)-Koeffizienten, i seinen Zeilenindex, j seinen Spaltenindex. Eine derartige Matrix A = (a_{ij})_{ij} wird üblicherweise in der Form

A = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋯ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ]

notiert. Ist 1 ≤ i ≤ m, so nennt man

[ a_{i1} a_{i2} ⋯ a_{in}]

die i-te Zeile von A; entsprechend ist

[ \begin{matrix}a_{1j} \\ a_{2j} \\ ⋯ \\ a_{mj} \end{matrix} ]

die j -te Spalte von A. Sei M(m × n, ℚ) die Menge der (m × n)-Matrizen mit Koeffizienten in ℚ. (Wir betrachten im Augenblick nur Matrizen mit Koeffizienten in ℚ, später werden wir mit Matrizen mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring arbeiten.)

Addition von Matrizen. Sind A = (a_{ij})_{ij}, B = (b_{ij})_{ij} zwei (m×n)-Matrizen, so definiert man A + B = (c_{ij})_{ij} mit c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. Offensichtlich gelten folgende Rechenregeln: Diese Addition ist assoziativ (d.h. (A + B) + C = A + (B + C) für alle (m × n)-Matrizen A, B, C) und kommutativ (d.h. A + B = B + A für alle (m × n)-Matrizen A, B).

Skalar-Multiplikation von Matrizen. Ist λ ∈ ℚ und A = (a_{ij})_{ij} eine (m × n)-Matrix, so definiert man λA = (d_{ij})_{ij} mit d_{ij} = λa_{ij}. Es gelten folgende Rechenregeln: (λ + λ′)A = λA + λ′A, λ(A + A′) = λA + λA′, (λλ′)A = λ(λ′A) für alle λ, λ′ ∈ ℚ und alle (m × n)-Matrizen A, A′.

Null-Matrix. Die (m × n)-Matrix, deren Koeffizienten alle Null sind, wird die Null-Matrix genannt, sie wird mit 0_{mn} oder einfach mit 0 bezeichnet. Es ist A + 0_{mn} = A = 0_{mn} + A, für alle A ∈ M(m × n, ℚ).

(1.1) Elementare Zeilen-Umformungen.

Typ I: Multiplikation der i-ten Zeile mit einem Faktor λ ≠ 0. Typ II: Addition der j -ten Zeile zur i-ten Zeile; dabei sei i ≠ j.

Als Hintereinanderschaltung elementarer Zeilen-Umformungen erhalten wir weitere Zeilen-Umformungen:

Typ III: Addition des μ-fachen der j -ten Zeile zur i-ten Zeile, dabei sei i ≠ j. Typ IV: Vertauschen der i-ten und der j -ten Zeile.

Satz. Durch Zeilen-Umformungen vom Typ III und IV kann jede Matrix in Zeilenstufenform gebracht werden.

Zeilenstufenform bedeutet: Es gibt 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r} ≤ n mit:

b_{i,j_{i}} ≠ 0 falls 1 ≤ i ≤ r,
b_{ij} = 0 falls j < j_{i} und 1 ≤ i ≤ r,
b_{ij} = 0 falls r < i.

Die Paare (i, j_{i}) heißen Pivot-Positionen, die Koeffizienten b_{i,j_{i}} heißen Pivot-Koeffi-zienten.

(1) Mit Hilfe von Umformungen vom Typ I kann man zusätzlich erreichen, daß die Pivot-Koeffizienten 1 sind.

(2) Mit Hilfe von weiteren Umformungen vom Typ III kann man zusätzlich erreichen, daß gilt

b_{t,j_{i}} = 0 falls t ≠ i und 1 ≤ i ≤ r.

Eine Matrix in Zeilenstufenform mit den Zusatzbedingungen (1) und (2) ist eine Schubert-Normalform. Zu jeder Matrix A gibt es eine und nur eine Schubert-Normalform B, die durch elementare Zeilen-Umformungen aus A erhalten werden kann.

Spalten-Umformungen. Man kann entsprechend auch elementare Spalten-Umformungen definieren. Durch elementare Zeilen-Umformungen und elementare Spalten-Umformungen läßt sich jede Matrix in folgende Form bringen:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 1 1  1 0 0 0  0 0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

(1.2) Lineare Gleichungssysteme (I).

Ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten in ℚ ist von folgender Form:

∑_{j=1}^{n} a_{ij}X_{j} = b_{i} mit 1 ≤ i ≤ m

dabei sind a_{ij}, b_{i} ∈ ℚ, für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Wir bezeichnen mit Lös(A, b) die Menge der n-Tupel (z_{1}, …, z_{n}) rationaler Zahlen, für die gilt:

∑_{j=1}^{n} a_{ij}z_{j} = b_{i} für alle 1 ≤ i ≤ m.

Wir bezeichnen mit [A, b] die erweiterte Koeffizientenmatrix, es ist

[A, b] = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ]

Lemma. Die Matrix [A′, b′] entstehe aus der Matrix [A, b] durch elementare Zeilen-Umformungen. Dann ist Lös(A, b) = Lös(A′, b′).

Folgerung: Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, genügt es, die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform mit Pivot-Koeffizienten 1 zu bringen und dieses modifizierte Gleichungssystem zu lösen.

Lösung linearer Gleichungssysteme in Zeilenstufenform mit Pivot-Koeffizienten 1. Es sei [A, b] die erweiterte Koeffizientenmatrix. Sie sei in Zeilenstufenform mit Pivot-Koeffizienten 1. Die Pivot-Positionen seien (1, j_{1}), …, (r, j_{r}).

Fall 1. j_{r} = n + 1. Dann gibt es keine Lösung.

Fall 2. Es ist j_{r} ≤ n. Wir bezeichnen die X_{j_{i}} als gebundene Variablen, die X_{j} mit j ≠ j_{i} für alle i (und 1 ≤ j ≤ n) als freie Variablen.

Wähle beliebige Zahlen z_{j}, falls X_{j} eine freie Variable ist. Ist X_{j_{i}} eine gebundene Variable, so berechne z_{j_{i}} mit Hilfe der i-ten Gleichung, rückwärts, das heißt zuerst für i = r, dann für i = r − 1, und so weiter, schließlich für i = 2 und i = 1, und zwar wie folgt:

z_{j_{i}} = − ∑_{j_{i}<j} a_{ij}z_{j} + b_{i};

verwendet wird hier nur, daß bei der Berechnung von z_{j_{i}} schon alle Werte z_{j} mit j > j_{i} gegeben sind (die an den freien Positionen durch Vorgabe, die an den gebundenen Positionen durch Berechnung).

Wir sehen: es gibt im Fall 2 immer Lösungen, und zwar entweder unendlich viele Lösungen (falls es freie Variablen gibt, falls also r < n gilt) oder eine einzige Lösung (falls es keine freie Variablen gibt, falls also r = n gilt).

Dieses Verfahren wird manchmal Gauß-Elimination genannt (Gauss 1777-1855), es war aber vor 2000 Jahren schon den Chinesen bekannt und wird dort die Fang-Cheng-Methode genannt.

(1.3) Determinanten.

Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ: S → S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, daß σ injektiv ist, daß also gilt: ist i ≠ i′, so ist σ(i) ≠ σ(i′). Insbesondere interessieren uns Permutationen der Menge {1, 2, …, n}, wir notieren eine derartige Permutation zum Beispiel in

der Form [ \begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & n \\ σ(1) & σ(2) & ⋯ & σ(n) \end{matrix} ]. Die Menge aller Permutationen der Menge

{1, 2, …, n} bezeichnen wir mit S_{n}. Ist σ ∈ S_{n}, so nennen wir jedes Paar (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ(j) < σ(i) eine Fehlstellung. Ist die Anzahl der Fehlstellungen gerade, so nennt man σ eine gerade Permutation, andernfalls eine ungerade Permutation. Man schreibt

sign(σ) = \{ \begin{matrix}1 & falls & σ & gerade \\ −1 & falls & σ & ungerade \end{matrix} .

und nennt sign(σ) das Signum der Permutation σ. Zur Berechnung des Signums: Sei f(σ) die Anzahl der Fehlstellungen. Dann gilt

sign(σ) = (−1)^{f(σ)} = ∏_{i<j} \frac{σ(j) − σ(i)}{j − i}.

Leibniz-Formel (Leibniz 1646-1716). Sei A = (a_{ij})_{ij} eine n × n-Matrix. Wir setzen

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) a_{1σ(1)}a_{2σ(2)} ⋯ a_{nσ(n)}.

Die einzelnen Summanden sind folgendermaßen gebildet: Man bildet Produkte mit n Faktoren, dabei kommt jeweils ein Faktor aus jeder der n Reihen, aber auch jeweils aus jeder der n Spalten. Die Positionen sind also die möglichen Positionen von n Türmen auf dem (n × n)-Schachbrett, die sich gegenseitig nicht schlagen. Eine derartige Verteilung von n Türmen liefert gerade eine Permutation σ, wenn wir notieren, daß in der i-ten Zeile das σ(i)-te Feld belegt ist. Jedes dieser Produkte ist mit einem Vorzeichen versehen.

Eine (n × n)-Matrix A = (a_{ij})_{ij} heißt obere Dreiecksmatrix, falls a_{ij} = 0 für i > j gilt; entsprechend spricht man von einer unteren Dreiecksmatrix, falls a_{ij} für i < j gilt; man nennt A eine Diagonalmatrix falls a_{ij} = 0 für i ≠ j gilt. Diagonalmatrizen mit a_{11} = a_{22} = ⋯ = a_{nn} heißen Skalarmatrizen.

Beispiel: Ist die (n × n)-Matrix A = (a_{ij})_{ij} eine obere Dreiecksmatrix oder eine untere Dreiecksmatrix, so gilt det A = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}.

Wichtigste Eigenschaft: Ist A eine quadratische Matrix mit zwei gleichen Zeilen, so ist det A = 0. Zum Beweis zeigt man, daß in der Leibniz-Formel jeweils zwei Summanden den gleichen Betrag,aber verschiedenes Vorzeichen haben.

Verhalten der Determinanten bei elementaren Zeilen-Unformungen. Typ I. Entsteht A′ aus A dadurch, daß die i-te Zeile von A mit λ multipliziert

wird, so ist det A′ = λ det A.

Typ II. Entsteht A′ aus A dadurch, daß die j -te Zeile von A zur i-ten Zeile addiert wird, so ist det A′ = det A.

Typ III. Entsteht A′ aus A dadurch, daß man das λ-fache der j -ten Zeile von A zur i-ten Zeile addiert wird, so ist det A′ = det A.

Typ IV. Entsteht A′ aus A dadurch, daß man die i-te Zeile und die j -te Zeile mit i ≠ j miteinander vertauscht, so ist det A′ = − det A.

Folgerung. Die Matrix A′ entstehe aus der Matrix A durch s Zeilen-Um-formungen der Art III und t Zeilen-Umformungen der Art IV. Dann ist det A′ = (−1)^{t} det A. Entsprechendes gilt für Spalten-Umformungen.

Ist A eine Matrix, so entsteht die Matrix A_{ij} durch Streichen der i-ten Zeile und der j -ten Spalte (bei einer m × n Matrix können wir also A_{ij} für 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n bilden.

Laplace-Entwicklung. (Laplace 1749-1827). Sei A eine (n × n)-Matrix. Für jedes i gilt

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}.

Beweis. Wir betrachten zusätzlich auch die Matrix B_{ij} = (b_{ij})_{ij}, deren i-te Zeile die folgende Form hat: an der Stelle (i, j) steht der Koeffizient 1, alle anderen Koeffizienten der i-ten Zeile sind 0, und die restlichen Koeffizienten sind diejenigen der Matrix A (also b_{st} = a_{st} falls s ≠ i). Es ist

det B_{ij} = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) b_{1,σ(1)} ⋯ b_{i,σ(i)} ⋯ b_{n,σ(n)}

= ∑_{σ∈S_{n}, σ(i)=j} sign(σ) b_{1,σ(1)} ⋯ b_{i,σ(i)} ⋯ b_{n,σ(n)}

= ∑_{σ∈S_{n}, σ(i)=j} sign(σ) a_{1,σ(1)} ⋯ a_{i−1,σ(i−1)} · 1 · a_{i+1,σ(i+1)} ⋯ a_{n,σ(n)},

andererseits können wir B_{ij} durch Vertauschen von Zeilen und Spalten in eine Matrix der folgenden Form überführen:

A′_{ij} = [ \begin{matrix}A_{ij} & ∗ \\ 0 & 1 \end{matrix} ]

dazu müssen wir die i-te Zeile mit allen nachfolgenden Zeilen vertauschen, insgesamt sind dies n − i Zeilenvertauschungen, und wir müssen die j -te Spalte mit allen nachfolgenden Spalten vertauschen, insgesamt sind dies n−j Spaltenvertauschungen. Es ist also:

det B = (−1)^{n−i+n−j} det A′_{ij} = (−1)^{i+j} det A_{ij}.

(Wir haben verwendet, daß (−1)^{n−i+n−j} = (−1)^{i+j} gilt.)

Mit diesen Vorbemerkungen ist der Beweis einfach:

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) a_{1,σ(1)} ⋯ a_{i,σ(i)} ⋯ a_{n,σ(n)}

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{σ∈S_{n},σ(i)=j} sign(σ) a_{1,σ(1)} ⋯ a_{i,σ(i)} ⋯ a_{n,σ(n)}

= ∑_{j=1}^{n} a_{ij} ∑_{σ∈S_{n},σ(i)=j} sign(σ) a_{1,σ(1)} ⋯ a_{i−1,σ(i−1)} · 1 · a_{i+1,σ(i+1)} ⋯ a_{n,σ(n)}

= ∑_{j=1}^{n} a_{ij} det B_{ij} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}(−1)^{i+j} det A_{ij}

Dies ist die Laplace-Entwicklung nach Zeilen. Es gibt eine entsprechende Laplace-Entwicklung nach Spalten: Für jedes j gilt

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}.

Wofür braucht man Determinanten? Zum Beispiel, wenn man ein lineares Gleichungssystem mit n Zeilen und n Variablen gegeben hat. Erinnerung: Manchmal gibt es keine Lösung, manchmal gibt es viele Lösungen.

Satz. Ein lineares Gleichungssystem mit n Zeilen und n Variablen besitzt genau dann eine und nur eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix von Null verschieden ist.

(1.4) Matrizenmultiplikation.

Definition. Sei A = (a_{ij})_{ij} eine (m × n)-Matrix und B = (b_{jk})_{jk} eine (n × r)- Matrix. Das Produkt AB ist definiert als AB = (c_{ik})_{ik} mit c_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}, dies ist eine (m × r)-Matrix.

Assoziativität: Sei A = (a_{ij})_{ij} eine (m × n)-Matrix, B = (b_{jk})_{jk} eine (n × r)- Matrix, C = (c_{kl})_{kl} eine (r × s)-Matrix. Dann gilt (AB)C = A(BC). Beweis: Der (i, l)-Koeffizient von (AB)C wie auch von A(BC) ist ∑_{j,k} a_{ij}b_{jk}c_{kl}.

Die Matrix I_{n} = (δ_{ij})_{ij} mit δ_{ii} = 1 und δ_{ij} = 0, für alle i, j mit i ≠ j nennt man Einheitsmatrix, es gilt AI_{n} = I_{n}B für alle (m × n)-Matrizen A und alle (n × r)-Matrizen B. (Man nennt diese Koeffizienten δ_{ij} auch die Werte der Kronecker-Delta-Funktion). Die Skalarmatrizen sind gerade die skalaren Vielfache der Einheitsmatrix.

Eine (n × n)-Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine Matrix A′ mit AA′ = A′A = I_{n} gibt. Man zeigt leicht, daß es zu A höchstens eine derartige Matrix A′ geben kann, man nennt sie (wenn sie existiert) die zu A inverse Matrix und schreibt A^{−1} statt A′. Sind A, B invertierbare (n × n)-Matrizen, so ist auch AB invertierbar, und es gilt (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}.

Sei E_{ij} = (a_{rs})_{rs} mit a_{ij} = 1, und a_{rs} = 0 falls (r, s) ≠ (i, j) (dies ist eine (n × n)-Matrix mit (i, j)-Koeffizienten 1, alle anderen Koeffizienten sind Null). Mit Hilfe der Matrizen E_{ij} definieren wir die Elementar-Matrizen: sie unterscheiden sich von der Einheitsmatrix an höchstens einer Stelle:

S_{i}(λ) = I +(λ−1)E_{ii}. Ist A eine (n×r)-Matrix, so entsteht S_{i}A aus A durch Multiplikation der i-ten Zeile mit λ (ist also λ ≠ 0, so ist dies gerade eine elementare Zeilen-Umformung von Typ I). Für λ ≠ 0 ist die Matrix S_{i}(λ) invertierbar und es gilt S_{i}(λ)^{−1} = S_{i}(\frac{1}{λ}).

Q_{ij} = I + E_{ij} für i ≠ j. Ist A eine (n × r)-Matrix, so entsteht Q_{ij}A aus A durch das Addieren der j -ten Zeile von A zur i-ten Zeile (dies ist eine elementare Zeilen-Umformung vom Typ II).

Q_{ij}(μ) = I +μE_{ij} für i ≠ j. Ist A eine (n×r)-Matrix, so entsteht Q_{ij}A aus A durch Addition des μ-fachen der j -ten Zeile von A zur i-ten Zeile (dies ist gerade eine Zeilen-Umformung von Typ III). Es ist natürlich Q_{ij} = Q_{ij}(1). Jede Matrix der Form Q_{ij}(μ) ist invertierbar und es gilt Q_{ij}(μ)^{−1} = Q_{ij}(−μ).

P_{ij} = I − E_{ii} − E_{jj} + E_{ij} + E_{ji} Ist A eine (n × r)-Matrix, so entsteht P_{ij}A aus A durch Vertauschung der i-ten und der j -ten Zeile (also Zeilen-Umformung vom Typ IV).

Die Formeln

Q_{ij}(μ) = S_{j}(\frac{1}{μ})Q_{ij}S_{j}(μ) für μ ≠ 0.
P_{ij} = Q_{ji}(1)Q_{ij}(−1)Q_{ji}(1)S_{j}(−1)

zeigen, wie die Zeilen-Unformungen vom Typ III und IV als Hintereinanderschaltungen von Zeilen-Umformungen vom Typ I und II geschrieben werden können.

Satz. Jede quadratische Matrix ist Produkt von Elementar-Matrizen.

Beweis. Sei A eine (n×n)-Matrix. Verwende elementare Zeilen-Umformungen, um die Matrix in obere Dreickecksform zu bringen: seien also B_{1}, …, B_{s} invertierbare Elementarmatrizen, so daß B_{s} ⋯ B_{1}A eine obere Dreiecksmatrix ist. Verwende elementare Spalten-Umformungen, um eine Diagonalmatrix zu erhalten: seien also C_{1}, …, C_{s} invertierbare Elementarmatrizen, so daß B_{s} ⋯ B_{1}AC_{1} ⋯ C_{t} eine Diagonalmatrix ist. Eine Diagonalmatrix läßt sich immer als Produkt S_{1}(λ_{1}) ⋯ S_{n}(λ_{n}) schreiben. Also

B_{s} ⋯ B_{1}AC_{1} ⋯ C_{t} = S_{1}(λ_{1}) ⋯ S_{n}(λ_{n}).

Daraus folgt:

A = B_{1}^{−1} ⋯ B_{s}^{−1}S_{1}(λ_{1}) ⋯ S_{n}(λ_{n})C_{t}^{−1} ⋯ C_{1}^{−1},

alle Faktoren sind Elementar-Matrizen.

Determinanten-Produktsatz. Sind A, B zwei n × n Matrizen, so ist

det(AB) = det A · det B.

Beweis: Schreibe A als Produkt von m Elementarmatrizen. Induktion nach m. Ist m = 1, so ist A eine Elementar-Matrix, also ist A eine Matrix der Form S_{i}(λ) oder Q_{ij}(μ). In beiden Fällen sieht man leicht, daß die Behauptung gilt. Induktions-Schritt: Wir nehmen an, daß die Behauptung richtig ist, falls A sich als Produkt von m − 1 Elementar-Matrizen schreiben läßt. Sei nun A = A_{1} ⋯ A_{m} mit Elementarmatrizen A_{i}. Dann ist

det(AB) = det(A_{1}A_{2} ⋯ A_{m}B)
= det A_{1} · det(A_{1} ⋯ A_{m}B)
= det A_{1} · det(A_{2} ⋯ A_{m}) · det B
= det(A_{1}A_{2} ⋯ A_{m}) · det B = det A · det B.

dabei haben wir beim zweiten und beim vierten Gleichheitszeichen den Induktionsanfang verwandt, beim dritten den Fall m − 1.

Folgerung. Eine (n × n)-Matrix A mit Koeffizienten in ℚ ist genau dann invertierbar, wenn det A ≠ 0 gilt.

Beweis: Aus AA^{−1} = I_{n} folgt wegen des Produktsatzes det A · det(A^{−1}) = det I_{n} = 1, also muß det A ≠ 0 sein. Ist umgekehrt det A ≠ 0, so schreiben wir A = A_{1} ⋯ A_{t} mit Elementarmatrizen A_{1}, …, A_{n}. Der Produktsatz zeigt det A_{i} ≠ 0 für 1 ≤ i ≤ t. Alle diese Elementarmatrizen sind invertierbar, also ist auch A invertierbar.

Die komplementäre Matrix zu A. Sei A eine n × n Matrix. Setze A^{♯} = (a′_{ij})_{ij} mit a′_{ij} = (−1)^{i+j} det A_{ji} (beachte die Indexvertauschung); man nennt A^{♯} die komplementäre Matrix zu A.

Satz (Laplace). Sei A ∈ M(n × n, ℚ). Es ist AA^{♯} = A^{♯}A = det A · I_{n}.

Beweis: Sei A = (a_{ij})_{ij} und A^{♯} = (a′_{ij})_{ij} mit a′_{ij} = (−1)^{i+j} det A_{ji}. Setze AA^{♯} = (c_{ik})_{ik}. Also ist

c_{ik} = ∑_{j} a_{ij}a′_{jk} = ∑_{j}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{kj}.

Die Laplace-Entwicklung nach der i-ten Reihe zeigt, daß wir für i = k gerade det A erhalten. Sei nun i ≠ k. Die Matrix B entstehe aus A, indem wir die k -te Zeile von A durch die i-te Zeile von A ersetzen, alle anderen Zeilen aber übernehmen. Da B zwei gleiche Zeilen (nämlich die i-te und die k -te) hat, liefert die Laplace-Entwicklung der Matrix B nach der k -ten Zeile:

∑_{j}(−1)^{i+j}b_{kj} det B_{kj} = det B = 0.

Andererseits ist aber b_{kj} = a_{ij} und A_{kj} = B_{kj} für alle j, demnach ist c_{ik} = 0. Dies zeigt AA^{♯} = det A · I_{n}.

Entsprechend sieht man A^{♯}A = det A · I_{n} mit Hilfe der Laplace-Entwicklung nach Spalten.

Wie wir gesehen haben, beruht der Beweis auf den Laplace-Entwicklungen, und auf der Tatsache, daß die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Zeilen oder zwei gleichen Spalten Null ist. Natürlich kann man die Laplace-Entwicklungen aus der Formel wieder ableiten.

(1.5) Das charakteristische Polynom.

Der Polynom-Ring ℚ[T]. Ein Polynom mit Koeffizienten in ℚ ist von der Form f(T) = ∑_{i=0}^{n} c_{i}T^{i} mit Koeffizienten c_{i} ∈ ℚ. (Dabei ist T eine “Variable”; ein Polynom ist durch seine Koeffizienten gegeben. Zur Definition von Polynomringen siehe auch Abschnitt 2.2.) Ist f(T) = ∑_{i=0}^{n} c_{i}T^{i} mit Koeffizienten c_{i} ∈ ℚ und ist c_{n} ≠ 0, so nennt man n den Grad von f(T); dem Null-Polynom (= alle Koeffizienten sind Null) ist auf diese Weise kein Grad zugeordnet (manchmal gibt man ihm den Grad −1 oder −∞).

Matrizen mit Koeffizienten in ℚ[T]. Wir betrachten nun auch die Menge M(m × n, ℚ[T]) aller (m × n)-Matrizen A = (a_{ij})_{ij} mit a_{ij} ∈ ℚ[T]. Zwei Matrizen in M(m×n, ℚ[T]) können addiert werden (komponentenweise), ist A eine Matrix in M(m×n, ℚ[T]) und f ∈ ℚ[T], so entsteht f ·A aus A, indem ich jeden Koeffizienten von A mit f multipliziere (man nennt dies die Skalar-Multiplikation, sie ist also ebenfalls komponentenweise definiert). Insbesondere kann jede Matrix in M(m × n, ℚ[T]) in der Form A = ∑_{i=0}^{n} T^{i}A_{i} mit Matrizen A_{i} ∈ M(m × n, ℚ) geschrieben werden (dabei bedeutet T^{i}A_{i} die Skalarmultiplikation der Matrix A_{i} mit T^{i}).

Sei A eine (n × n)-Matrix mit Koeffizienten in ℚ. Wir betrachten die Matrix

A − T · I_{n} = [ \begin{matrix}a_{11} − T & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} − T & ⋯ & a_{2n} \\ ⋯ \\ a_{n1} & a_{n2} & ⋯ & a_{nn} − T \end{matrix} ] ,

dies ist eine Matrix mit Koeffizienten im Polynomring ℚ[T]. Setze

χ_{A}(T) = det(A − T · I_{n}),

dies ist ein Polynom vom Grad n mit Koeffizieten in ℚ, man nennt es das charakteristische Polynom der Matrix A.

Das Einsetzen von quadratischen Matrizen in Polynome: Sei A ∈ M(n × n, ℚ). Sei f(T) ∈ ℚ[T], etwa f(T) = ∑_{i=0}^{n} c_{i}T^{i} mit c_{i} ∈ ℚ. Wir können die Potenzen A^{i} der Matrix A bilden, wir können diese Potenzen A^{i} mit c_{i} multiplizieren (Skalar-Multiplikation), wir können die entstandenen Matrizen c_{i}A^{i} addieren: wir erhalten ∑_{i=0}^{n} c_{i}A^{i}. Dieser Vorgang entspricht dem üblichen Einsetzen von Zahlen in Polynomen, hier haben wir “die Matrix A in das Polynom f(T) eingesetzt”, man schreibt demnach f(A) = ∑_{i=0}^{n} c_{i}A^{i}.

Satz von Cayley-Hamilton (Cayley 1821-1895, Hamilton 1805-1865). Sei A ∈ M(n × n, ℚ). Es ist χ_{A}(A) = 0_{nn}.

Was besagt dieser Satz? Zur Matrix A ist das charakteristische Polynom χ_{A}(T) definiert; in dieses Polynom können wir die Matrix A einsetzen, also χ_{A}(A) bilden.

Was wir erhalten, ist die Null-Matrix. (Um dies zu betonen, haben wir 0_{nn} und nicht etwa nur 0 geschrieben.)

Beweis des Satzes: Sei B = A − T · I_{n}. Es ist det B das charakteristische Polynom von χ_{A}(T), dies sei das Polynom det B = χ_{A}(T) = ∑_{i=0}^{n} c_{i}T^{i}.

Wir bilden wie üblich die zu B komplementäre Matrix B^{♯}. Beachte: die Koeffizienten von B^{♯} sind Polynome mit Koeffizienten in ℚ, und ihr Grad ist höchstens n − 1. Also kann man B^{♯} in der Form

(*)  B^{♯} = ∑_{i=0}^{n−1} B_{i}T^{i} mit B_{i} ∈ M(n × n, ℚ)

schreiben. Der Satz von Laplace besagt:

BB^{♯} = det(B) · I_{n} = χ_{A} · I_{n} = ∑_{i=0}^{n} c_{i}T^{i}I_{n}.

Das Produkt BB^{♯} können wir umformen (einsetzen, distributiv rechnen):

BB^{♯} = (A − T · I_{n})(∑_{i=0}^{n−1} T^{i}B_{i}) = ∑_{i=0}^{n−1} T^{i}AB_{i} − ∑_{i=0}^{n−1} T^{i+1}B_{i}

= AB_{0} + ∑_{i=1}^{n−1} T^{i}(AB_{i} − B_{i−1}) − T^{n}B_{n−1}. (**)

Die Matrix BB^{♯} ist in (∗) und (∗∗) auf zwei verschiedene Weisen nach Potenzen von T entwickelt worden. Koeffizienten-Vergleich liefert:

c_{0}I_{n} = AB_{0}
c_{1}I_{n} = AB_{1} − B_{0}
c_{2}I_{n} = AB_{2} − B_{1}
⋯
c_{n−1}I_{n} = AB_{n−1} − B_{n−2}
c_{n}I_{n} =  − B_{n−1}

Wir multiplizieren die Gleichung c_{i}I_{n} = … von links mit A^{i} und erhalten

c_{0}A^{0} = AB_{0}
c_{1}A^{1} = A^{2}B_{1} − AB_{0}
c_{2}A^{2} = A^{3}B_{2} − A^{2}B_{1}
⋯
c_{n−1}A^{n−1} = A^{n}B_{n−1} − A^{n−1}B_{n−2}
c_{n}A^{n} =  − A^{n}B_{n−1}

Wenn wir nun die Gleichungen addieren, erhalten wir links χ_{A}(A), und rechts die Null-Matrix.

Teil 2. Grundbegriffe der Algebra.

(2.0) Mengen.

Menge, Element, ∈: Dies sind Grundbegriffe, die wir nicht weiter hinterfragen. Wichtiges Beispiel: Die Menge ℕ_{0} der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, …. Mengen können gegeben werden durch eine Aufzählung ihrer Elemente: zum Beispiel kann die Menge S der natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich 4 sind, durch S = {0, 1, 2, 3, 4} oder durch {1, 1, 4, 0, 1, 3, 2} beschrieben werden (bei dieser Beschreibung mit Hilfe der der Mengenklammern { } kommt es nicht auf die Reihenfolge an, auch prüft man nicht, ob Elemente mehrfach notiert sind). Ist S eine Menge, die nur endlich viele Elemente enthält, so schreibt man |S| für die Anzahl der Elemente.

Sind U, M Mengen, so nennt man U eine Teilmenge von M, falls jedes Element von U auch Element von M ist. Untermengen beschreibt man oft durch die Angabe der definierenden Eigenschaften, die Menge S = {0, 1, 2, 3, 4} kann zum Beispiel durch S = {z ∈ ℕ_{0} | z ≤ 4} beschrieben werden. Die leere Menge ∅ (sie enthält kein Element) ist Teilmenge jeder Menge.

Sind M_{1}, M_{2} Untermengen einer Menge M, so nennt man

M_{1} ∩ M_{2} = {x ∈ M | x ∈ M_{1} und x ∈ M_{2}}

den Durchschnitt der beiden Mengen, und

M_{1} ∪ M_{2} = {x ∈ M | x ∈ M_{1} oder x ∈ M_{2}}

die Vereinigung der beiden Mengen M_{1}, M_{2} .

Seien A, B Mengen. Das Produkt A × B der Mengen A, B ist die Menge aller Paare (a, b) mit a ∈ A, b ∈ B. Eine Abbildung f: A → B ist eine Teilmenge f ⊆ A × B mit folgenden Eigenschaften: (A1) Zu jedem a ∈ A gibt es ein b ∈ B mit (a, b) ∈ f. (A2) Gehören die Paare (a, b_{1}) und (a, b_{2}) zu f, mit a ∈ A und b_{1}, b_{2} ∈ B, so ist

b_{1} = b_{2}. Sei f: A → B eine Abbildung. Meist schreibt man statt (a, b) ∈ f lieber f(a) = b oder auch a ↦ b. Man sagt, daß f injektiv ist, falls gilt: Sind Elemente a_{1}, a_{2} ∈ A gegeben mit f(a_{1}) = f(a_{2}), so ist a_{1} = a_{2} . Man sagt, daß f surjektiv ist, falls es zu jedem b ∈ B ein a ∈ A gibt mit f(a) = b. Ist f: A → B sowohl injektiv als auch surjektiv, so sagt man, daß f bijektiv ist.

Unsere Definition interpretiert eine Abbildung f einfach als die Menge der Paare (a, f(a)) mit a ∈ A. Manchmal unterscheidet man auch zwischen der Abbildung f und der Menge {(a, f(a)) | a ∈ A}, die man den Graph der Abbildung f nennt; aber dann muß man irgenwie anders erklären, was eine Abbildung sein soll: man spricht von einer Zuordnung oder so, aber wie definiert man, was eine Zuordnung ist? Die Zuordnung a ↦ f(a) sollte man keinesfalls als einen dynamischen Vorgang auffassen, sondern statisch: durch f ist mit a ∈ A das Element f(a) ∈ B verbunden; gegeben sind die Paare (a, f(a)) in A × B, also der Graph.

(2.1) Halbgruppen und Gruppen.

Sei S eine Menge. Eine Verknüpfung auf S ist eine Abbildung μ: S × S → S, statt μ(s_{1}, s_{2}) schreibt man manchmal s_{1} + s_{2} oder s_{1}s_{2} oder ….

Eine Halbgruppe H = (H, ∗) ist eine Menge H mit einer Verknüpfung (die (h_{1}, h_{2}) ↦ h_{1} ∗ h_{2} geschrieben wird), mit folgenden Eigenschaften: (H1) Für alle h_{1}, h_{2}, h_{3} ∈ H gilt (h_{1} ∗ h_{2}) ∗ h_{3} = h_{1} ∗ (h_{2} ∗ h_{3}) (Assoziativität). (H2) Es gibt ein Element e ∈ H mit e ∗ h = h = h ∗ e für alle h ∈ H. (Einselement).

Eine Halbgruppe H hat nur ein Einselement. (Beweis: Sind Elemente e, e′ ∈ H gegeben mit e ∗ h = h = h ∗ e und e′ ∗ h = h = h ∗ e′ für alle h ∈ H, so ist e = e ∗ e′ = e′.) Dieser Beweis zeigt sogar: Das Einselement einer Halbgruppe ist die einzige “Rechts-Eins” und die einzige “Links-Eins”; dabei ist eine “Rechts-Eins” ein Element r mit h ∗ r = h für alle h ∈ H, eine “Links-Eins” …. Man schreibt manchmal 1_{H} für das Einselement der Halbgruppe H. Ist H eine Halbgruppe, so heißt h ∈ H idempotent, falls h ∗ h = h gilt. Das Einselement einer Halbgruppe ist idempotent, im allgemeinen wird es aber in einer Halbgruppe weitere idempotente Elemente geben.

Eine Halbgruppe H heißt kommutativ oder auch abelsch falls gilt: h_{1} ∗ h_{2} = h_{2} ∗ h_{1} für alle h_{1}, h_{2} ∈ H. In abelschen Halbgruppen bezeichnet man oft die Verknüpfung mit dem Symbol + und man spricht dann statt vom Einselement der Halbgruppe von der Null der Halbgruppe (Rechenregel: 0 + h = h = h + 0, für alle h ∈ H).

Ist H = (H, ·) eine Halbgruppe und U eine Untermenge von H, so sagt man, daß U unter der Multiplikation abgeschlossen ist, falls gilt: Sind u_{1}, u_{2} ∈ U, so ist auch u_{1}u_{2} ∈ U. Eine Untermenge, die unter der Multiplikation abgeschlossen ist und die das Einselement enthält, ist selbst wieder eine Halbgruppe.

Einzelbeispiele von Halbgruppen sollen hier nicht weiter thematisiert werden. Man sehe sich die Beispiele von Gruppen an (jede Gruppe ist eine Halbgruppe), auch sehe man sich die Beispiele von Ringen und von Körpern an (ist R ein Ring, so sind (R, +) und (R, ·) Halbgruppen; ist R sogar ein Körper, so ist zusätzlich auch (R^{∗}, ·) eine Halbgruppe). Insbesondere ist die Menge M(n × n, R) für jeden Ring R bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe (natürlich auch bezüglich der Addition). Und (ℕ_{0}, +) und (ℕ_{0}, ·) sind ebenfalls Halbgruppen.

Ein Element h einer Halbgruppe (H, ·) heißt invertierbar, wenn es ein h′ ∈ H mit hh′ = h′h = 1_{H} gibt. Existiert ein derartiges Element h′, so ist es eindeutig bestimmt und wird das zu h inverse Element genannt, und man schreibt h^{−1} statt h′ (die Eindeutigkeit sieht man so: ist auch hh′′ = h′′h = 1_{H}, so ist h′ = h′ · 1_{H} = h′(hh′′) = (h′h)h′′ = 1_{H} · h′′ = h′′). Sind die Elemente h_{1}, h_{2} ∈ H invertierbar, so ist auch h_{1}h_{2} invertierbar und es gilt (h_{1}h_{2})^{−1} = h_{2}^{−1}h_{1}^{−1} (beachte die Reihenfolge).

Gruppen. Eine Gruppe G = (G, ∗) ist eine Halbgruppe, in der zusätzlich gilt: (G) Zu jedem Element g ∈ G gibt es ein g′ ∈ G mit gg′ = 1_{G}.

Ist G eine Gruppe, und gilt gg′ = 1_{G}, so gilt auch g′g = 1_{G}, es ist also g′ = g^{−1} ; jedes Element in G ist also invertierbar. (Beweis: Sei gg′ = 1_{G}. Zu g′ gibt es ebenfalls ein Element g′′ ∈ G mit g′g′′ = 1_{G}. Dann ist aber g = g · 1_{G} = g(g′g′′) = (gg′)g′′ = 1_{G} · g′′ = g′′. Also gilt g′g = g′g′′ = 1_{G}.)

In einer Gruppe G ist das Einselement e das einzige idempotente Element. (In einer Halbgruppe kann es viele idempotente Elemente geben, wie die Halbgruppe (M(2 × 2), ℚ), ·) zeigt.)

Gruppen-Homomorphismen. Sind G = (G, ∗) und H = (H, ∘) Gruppen, und f: G → H eine Abbildung, so nennt man f einen Gruppen-Homomorphismus, falls für alle g_{1}, g_{2} ∈ H gilt

f(g_{1} ∗ g_{2}) = f(g_{1}) ∘ f(g_{2}).

Einen Homomorphismus, der bijektiv ist, nennt man einen Isomorphismus.

Ist f: G → H ein Gruppen-Homomorphismus, so ist f(1_{G}) = 1_{H} und f(g^{−1}) = f(g)^{−1} , für jedes g ∈ G. (Beweis: Es ist f(1_{G})^{2} = f(1_{G}^{2}) = f(1_{G}). Und f(g^{−1})f(g) = f(g^{−1}g) = f(1_{G}) = 1_{H}.)

Lemma. Sei H eine endliche Halbgruppe mit folgender Eigenschaft: Sind g, h_{1}, h_{2} Elemente von H mit gh_{1} = gh_{2} , so ist h_{1} = h_{2} (Linkskürzungs-Eigenschaft). Dann ist H eine Gruppe. Beweis: Sei g ∈ H, wir suchen ein Element g′ mit gg′ = 1. Die Halbgruppe H habe n Elemente und h_{1}, …, h_{n} sei die Liste aller Elemente von H. Da die Elemente gh_{1}, …, gh_{n} paarweise verschieden sind, sind dies wieder alle Elemente, insbesondere ist das Einselement 1_{H} eines dieser Elemente. Dies zeigt, daß es ein Element h_{i} mit gh_{i} = 1 gibt.

Ist f: G → H ein Gruppen-Homomorphismus, so nennt man Ker(f) = {g ∈ G | f(g) = 1_{H}} den Kern von f. Dies ist eine Untergruppe von G.

Beispielklassen von Gruppen und Gruppen-Homomorphismen:

Zahlbereiche, die Gruppen sind: (ℤ, +), (ℚ, +), ℚ^{∗} = (ℚ \ {0}, ·), usw.

Permutationsgruppen. Mit S_{n} bezeichnen wir die Gruppe aller Permutationen der Menge {1, 2, …, n} mit der Hintereinanderschaltung von Permutationen als Verknüpfung. Sei A_{n} die Untergruppe von S_{n} aller geraden Permutationen. Die Abbildung sign: S_{n} → ({1, −1}, ·) ist ein Gruppen-Homomorphismus, A_{n} ist sein Kern.

Geometrisch motivierte Gruppen. Sei n ≥ 3. Sei E_{n} ein regelmäßiges n-Eck in der Ebene. Sei D_{n} die Menge aller Symmetrien der Ebene, die das n-Eck auf sich abbilden (also Drehungen und Spiegelungen). Insgesamt gibt es n Drehungen (nämlich mit den Drehwinkeln \frac{i}{n}360 mit 0 ≤ i < n) und n Spiegelungen. Es gilt also |D_{n}| = 2n. Ist n ≥ 3, so ist D_{n} nicht abelsch.

Matrizengruppen. Sei GL(n, ℚ) die Menge aller invertierbaren (n × n)- Matrizen mit Koeffizienten in ℚ. Dies ist eine Gruppe GL(n, ℚ) = (GL(n, ℚ), ·), die volle lineare Gruppe. Die Abbildung det: GL(n, ℚ) → ℚ^{∗} ist ein Gruppen-Homomorphismus, der Kern von det wird mit SL(n, ℚ) bezeichnet, man nennt dies die spezielle lineare Gruppe.

Weitere wichtige Untergruppen der GL(n, ℚ) sind die Menge B(n, ℚ) aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen und die Menge U(n, ℚ) der unipotenten oberen Dreiecksmatrizen (eine obere Dreiecksmatrix heißt unipotent, wenn alle Koeffizienten auf der Hauptdiagonalen gleich 1 sind).

Wichtige Gruppen-Homomorphismen wurdem im Abschnitt 2.4 eingeführt:

S_{i}(−): ℚ^{∗} → GL(n, ℤ) und Q_{ij}(−): (ℚ, +) → GL(n, ℤ).

Die zyklischen Gruppen. Sei n ≥ 1. Sei nℤ die Menge der Vielfachen von n, also die Menge der ganzen Zahlen, die durch n ohne Rest teilbar sind. Für jede ganze Zahl a setze \overline{a} = a + nℤ. Beachte: Es gilt \overline{a_{1}} = \overline{a_{2}} genau dann, wenn a_{1} − a_{2} durch n teilbar ist. Ist 0 ≤ a < n, so ist \overline{a} die Menge der ganzen Zahlen, die bei Division durch n den Rest a liefern (man nennt dies eine Restklasse modulo n). Man schreibt ℤ/nℤ für die Menge der Restklassen modulo n, und man definiert auf dieser Menge eine Addition vermöge \overline{a_{1}} + \overline{a_{2}} = \overline{a_{1} + a_{2}} (Zu zeigen: dies ist wohl-definiert). Mit dieser Addition ist ℤ/nℤ eine Gruppe, die zyklische Gruppe der Ordnung n. Für n ≥ 3 ist dies gerade die Drehgruppe des regulären n-Ecks. Man nennt diese Gruppen (ℤ/nℤ, +) die endlichen zyklischen Gruppen. Zusätzlich nennt man (ℤ, +) die unendliche zyklische Gruppe. Um zu verstehen, warum die endlichen zyklischen Gruppen “zyklisch” heißen, empfiehlt es sich, die Elemente im Kreis anzuorden und die Abbildung +\overline{1} zu betrachten: Hier die Bilder für n = 3, 4, 5, 6.

\overline{0} \overline{1} \overline{2}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  \overline{0} \overline{1} \overline{2}  \overline{3} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3}  \overline{4} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}  \overline{5}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}

Das entsprechende Bild für die unendliche zyklische Gruppe wäre die (ganzzahlige) Zahlengerade, also ein “Zykel mit unendlichem Radius”:

0  1 −1  2 ⋯  ⋯_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}

Die Abbildung ℤ → ℤ/nℤ mit z ↦ \overline{z} ist ein Gruppen-Homomorphismus, sein Kern ist nℤ.

Ist G eine Gruppe und g ∈ G, so erhält man durch ϕ_{g}: ℤ → G mit ϕ_{g}(z) = g^{z} einen Gruppen-Homomorphismus. Ist ϕ_{g} injektiv, so erhält man einen Isomorphismus ℤ → {g^{z} | z ∈ ℤ} und {g^{z} | z ∈ ℤ} ist die von g erzeugte Untergruppe von G. Andernfalls wähle die minimale natürliche Zahl n mit ϕ_{g}(n) = 1_{G}. Dann erhalten wir einen Isomorphismus ℤ/nℤ → {g^{z} | z ∈ ℤ}.

(2.2). Ringe.

Definition: Ein Ring R = (R, +, ·) ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und ·, so daß die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: (R1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe. (R2) (R, ·) ist eine Halbgruppe. (R3) Sind r, r_{1}, r_{2} Elemente von R, so gilt r(r_{1} + r_{2}) = rr_{1} + rr_{2} und (r_{1} + r_{2})r =

r_{1}r + r_{2}r.

Das Einselement von (R, +) bezeichnet man mit 0_{R} oder einfach mit 0 und nennt es die Null des Rings. Das Einselement von (R, ·) bezeichnet man mit 1_{R} oder einfach mit 1 und nennt es die Eins von R. Ein Element r ∈ R heißt invertierbar, wenn es als Element der Halbgruppe (R, ·) invertierbar ist, wenn es also ein r′ ∈ R mit rr′ = 1_{R} = r′r gibt, und man schreibt dann r^{−1} statt r′. Ist (R, ·) abelsch, so nennt man R einen kommutativen Ring.

Einfach zu zeigen ist: Ist R ein Ring, und r ∈ R, so ist 0·r = 0 = r·0. Beweis: Es ist 0·r = (0+0)·r = 0·r+0·r, also ist 0·r ein idempotentes Element der Gruppe (R, +). Das einzige idempotente Element einer Gruppe ist aber ihr Einselement.

Ist R ein Ring und gibt es eine natürliche Zahl n ≥ 1 mit \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n} = 0,

so nennt man die kleinste derartige Zahl n die Charakteristik des Rings R und man schreibt char R = n. Gibt es keine solche Zahl n, so schreibt man char R = 0.

Sind R = (R, +, ·) und S = (S, +, ·) Ringe, so ist ein Ring-Homomorphismus f: R → S eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

(1) f: (R, +) → (S, +) ist ein Gruppen-Homomorphismus.

(2) f(r_{1} · r_{2}) = f(r_{1}) · f(r_{2}) für alle r_{1}, r_{2} ∈ R.

(3) f(1_{R}) = 1_{S}.

Beispielklassen von Ringen und Ring-Homomorphismen.

A) Die Zahlbereiche ℤ, ℚ, ℝ sind kommutative Ringe

B) Sei n ≥ 1. Auf der abelschen Gruppe ℤ/nℤ definiert man eine Multiplikation durch \overline{a_{1}} ·\overline{a_{2}} = \overline{a_{1}a_{2}} (wieder ist zu zeigen, daß dies wohl-definiert ist). Auf diese Weise wird ℤ/nℤ zu einem kommutativen Ring. Beachte: Im Ring ℤ/nℤ gilt:

\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n} = 0,

ℤ/nℤ ist ein Ring der Characteristik n. Die Abbildung ℤ → ℤ/nℤ mit z ↦ \overline{z} ist ein Ring-Homomorphismus.

Sei nun ein Ring R gegeben. Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten, um mit Hilfe von R neue Ringe zu konstruieren.

C) Der Matrizenring M(n × n, R). Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Die Menge der (n × n)-Matrizen mit Koeffizienten in R ist bezüglich der Addition und der Multiplikation von Matrizen wieder ein Ring. Ist n ≥ 2 und hat R mindestens zwei Elemente, so ist M(n × n, R) nicht kommutativ.

D) Der Funktionenring Abb(S, R). Sei S eine Menge, sei Abb(S, R) die Menge der Abbildungen S → R. Definiere auf Abb(S, R) Addition und Multiplikation komponentenweise (d.h.: sind f, g: S → R Abbildungen, so definiere f + g und fg durch

(f + g)(s) = f(s) + g(s), und (fg)(s) = f(s)g(s) für s ∈ S.

Mit diesen Verknüpfungen ist Abb(S, R) ein Ring. Ist R kommutativ, so ist der Ring Abb(S, R) kommutativ.

Ist s ∈ S, so definiert man e_{s}: Abb(S, R) → R durch e_{s}(f) = f(s) (man nennt dies die Auswertung von f an der Stelle s). Die Abbildung e_{s}: Abb(S, R) → R ist ein Ring-Homomorphismus.

E) Der Polynomring R[T]. Sei R[T] die Menge der Folgen (a_{0}, a_{1}, …) von Elementen a_{i} ∈ R für die a_{i} = 0 für i ≫ 0 gilt (es gibt also ein n ∈ ℕ_{0} mit a_{i} = 0 falls i > n). Wir betrachten auf R[T] die komponentenweise Addition (also (a_{0}, a_{1}, …) + (b_{0}, b_{1}, …) = (a_{0} + b_{0}, a_{1} + b_{1}, …). Die Multiplikation ist folgendermaßen definiert:

(a_{0}, a_{1}, …) · (b_{0}, b_{1}, …) = (c_{0}, c_{1}, …)

mit c_{k} = a_{0}b_{k} + a_{1}b_{k−1} + ⋯ + a_{k}b_{0} = ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}.

Elemente in R[T] werden üblicherweise in folgenderweise notiert: Statt (a_{0}, a_{1}, …) schreibt man ∑_{i} a_{i}T^{i} (dabei ist also 1 = T^{0} = (1, 0, …), T = T^{1} = (0, 1, 0, …) und so weiter).

Die Abbildung e: R[T] → Abb(R, R) mit e(f)(r) = f(r) für f = f(T) ∈ R[T] und r ∈ R ist ein Ring-Homomorphismus.

Matrizen mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring.

Ist R ein kommutativer Ring, so kann man durch die Leibniz-Formel wie im Spezialfall R = ℚ für jedes A ∈ M(n × n, R) die Determinante det A definieren und es gelten die bekannten Regeln. Insbesondere ist zu jeder (n × n)-Matrix A die komplementäre Matrix A^{♯} definiert. Zu jeder Matrix A ∈ M(n × n, R) kann man wie oben das charakteristische Polynom χ_{A}(T) ∈ R[T] definieren. Es gelten die folgenden Sätze:

Satz (Laplace). Sei R ein kommutativer Ring. Sei A ∈ M(n × n, R). Dann ist AA^{♯} = A^{♯}A = det A · I.

Satz (Cayley-Hamilton). Sei R ein kommuativer Ring. Sei A ∈ M(n × n, R). Dann ist χ_{A}(A) = 0.

Wir haben diese beiden Sätze nur im Spezialfall R = ℚ bewiesen. Man mache sich aber klar, daß wir beim Beweis dieser Sätze nur verwendet haben, daß ℚ ein kommutativer Ring ist! Das Invertierbarkeitskriterium ist folgendermaßen zu formulieren:

Satz. Sei R ein kommutativer Ring. Genau dann ist A ∈ M(n × n, R) invertierbar, wenn det A ∈ R invertierbar ist.

(2.3) Körper.

Ein Körper K = (K, +, ·) ist ein Ring, in dem die Menge K^{∗} = K \ {0} unter der Multiplikation abgeschlossen ist und (K^{∗}, ·) eine abelsche Gruppe bildet.

Beispielklassen.

A) Die Zahlbereiche ℚ, ℝ sind Körper.

B) Der Körper ℂ der komplexen Zahlen. Sei ℂ die Menge aller (2 × 2)-

Matrizen der Form [ \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ] mit a, b ∈ ℝ. Dies ist ein kommutativer Ring. Ist

(a, b) ≠ (0, 0), so ist die Matrix [ \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ] invertierbar, ihr Inverses ist \frac{1}{a^{2}+b^{2}} [ \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ].

Bezeichnen wir mit 1_{ℂ} die Einheitsmatrix [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] und mit i die Matrix [ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ],

so können wir schreiben

[ \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ] = a · 1_{ℂ} + b · i

oder einfacher a + bi. Beachte, daß i^{2} = −1_{ℂ} gilt, i ist also so etwas wie \sqrt{−1}.

Den folgenden Satz nennt man den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante Polynom mit Koeffizienten in ℂ läßt sich als Produkt von Polynomen vom Grad 1 schreiben. Diesen Satz werden wir später ganz entscheidend brauchen, dann soll auch etwas zum Beweis des Satzes gesagt werden.

C) Satz. Sei n ≥ 1. Genau dann ist ℤ/nℤ ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.

Beweis: Ist n = 1, so ist (ℤ/nℤ)^{∗} die leere Menge, also sicher keine Gruppe. Ist n > 1 und n = n_{1}n_{2} mit ganzen Zahlen 1 < n_{1} < n und 1 < n_{2} < n, und betrachten wir die Restklassen \overline{n_{1}}, \overline{n_{2}} , so ist \overline{n_{1}} ≠ 0 und \overline{n_{2}} ≠ 0, aber \overline{n_{1}} · \overline{n_{2}} = 0, demnach ist (ℤ/nℤ)^{∗} unter der Multiplikation nicht abgeschlossen, also ist ℤ/nℤ kein Körper.

Sei nun p eine Primzahl. Aus dem Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung für ℤ (der hier vorausgesetzt wird) folgt, daß (ℤ/nℤ)^{∗} unter der Multiplikation abgeschlossen ist (teilt p ein Produkt n_{1}n_{2} zweier ganzer Zahlen, so teilt p mindestens eine der beiden Zahlen n_{1}, n_{2} ). Daraus folgt: Sind n, m_{1}, m_{2} ganze Zahlen, die nicht durch p teilbar sind, und ist \overline{nm_{1}} = \overline{nm_{2}} , so ist \overline{m_{1}} = \overline{m_{2}} (denn aus \overline{nm_{1}} = \overline{nm_{2}} folgt \overline{n}(\overline{m_{1}} − \overline{m_{2}}) = 0, also \overline{m_{1}} − \overline{m_{2}} = 0.) Eine endliche Halbgruppe, in der die Linkskürzungseigenschaft gilt, ist aber eine Gruppe.

Teil 3. Vektorräume und lineare Abbildungen.

Sei K ein Körper. Ein K -Vektorraum V = (V, +, ∗) ist eine Menge V mit einer Verknüpfung + und einer Abbildung ∗: K × V → V , so daß (V, +) eine abelsche Gruppe ist und für alle v, v_{1}, v_{2} ∈ V und alle λ, λ_{1}, λ_{2} ∈ K folgende Bedingungen erfüllt sind: (V1) λ ∗ (v_{1} + v_{2}) = λ ∗ v_{1} + λ ∗ v_{2}. (V2) (λ_{1} + λ_{2}) ∗ v = λ_{1} ∗ v + λ_{2} ∗ v. (V3) (λ_{1}λ_{2}) ∗ v = λ_{1} ∗ (λ_{2} ∗ v). (V3) 1_{K} ∗ v = v. Die Elemente von V heißen Vektoren, die von K Skalare.

Ist V = (V, +, ∗) ein K -Vektorraum, so nennt man ∗ die Skalar-Multiplikation, statt λ ∗ v schreibt man meist einfach λv. Die Null von (V, +) wird mit 0_{V} oder einfach mit 0 bezeichnet (manchmal auch mit 0 oder 0).

Einfache Folgerungen:

(1) Es ist λ ∗ 0_{V} = 0_{V} für alle λ ∈ K.

(2) Es ist 0_{K} ∗ v = 0_{V} für alle v ∈ V.

(3) Ist λ ∈ K und v ∈ V mit λv = 0, so ist λ = 0 oder v = 0.

(4) Es ist (−λ) ∗ v = −λ ∗ v für alle λ ∈ K, v ∈ V .

Standard-Beispiel: Der K^{n}. Wir bezeichnen mit K^{n} die Menge der n-Tupel (a_{1}, …, a_{n}) mit a_{1}, …, a_{n} ∈ K. Bezüglich punktweiser Addition und Skalar-Multiplikation ist K^{n} ein Vektorraum. (Punktweise Addition bedeutet:

(a_{1}, …, a_{n}) + (b_{1}, …, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, …, a_{n} + b_{n});

punktweise Skalar-Multiplikation bedeutet

λ ∗ (a_{1}, …, a_{n}) = (λa_{1}, …, λa_{n});

für alle a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} ∈ V, λ ∈ K.)

Warum nennt man K^{n} den Standard-Raum? Es wird sich zeigen, daß jeder “endlich-dimensionale” K -Vektorraum zu einem Standard-Raum isomorph ist!

Beispiel 2. Die Menge M(m × n, K) ist (bezüglich der Addition von Matrizen und der Skalarmultiplikation) ein K -Vektorraum.

Beispiel 3. Der Polynomring K[T] ist (bezüglich Addition und Skalar-Multi-plikation) ein K -Vektorraum.

Beispiel 4. Sei S eine Menge. Die Menge Abb(S, K) ist (bezüglich punktweiser Addition und punktweiser Skalarmultiplikation) ein Vektorraum.

Linearkombination. Sei K ein Körper, sei V ein K -Vektorraum. Seien v_{1}, …, v_{n} ∈ V . Eine Linearkombination der Vektoren v_{1}, …, v_{n} ist ein Element der Form

∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} mit λ_{i} ∈ K.

Sei span(v_{1}, …, v_{n}) die Menge der Linearkombinationen der Vektoren v_{1}, …, v_{n} (falls n = 0 sei dies {0}). Es gilt: span(v_{1}, …, v_{n}) ist ein Unterraum von V . (Genauer: span(v_{1}, …, v_{n}) ist ein Unterraum von V , der die Vektoren v_{1}, …, v_{n} enthält und dieser Unterraum ist in jedem Unterraum von V , der alle Vektoren v_{i} enthält, enthalten.)

Erzeugendensystem. Die Folge (v_{1}, …, v_{n}) heißt (endliches) Erzeugendensystem von V , falls gilt: span(v_{1}, …, v_{n}) = V. Der Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls er ein endliches Erzeugendensystem besitzt.

Lineare Unabhängigkeit. Die Folge (v_{1}, …, v_{n}) heißt linear unabhängig, falls gilt: Ist ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} = 0, so ist λ_{1} = ⋯ = λ_{n} = 0. Ist die Folge nicht linear unabhängig, so nennt man sie linear abhängig. Wichtig: Ist die Folge (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig, und ist w ∈ span(v_{1}, …, v_{n}), etwa w = ∑ λ_{i}v_{i}, so sind die Skalare λ_{i} eindeutig bestimmt. (Beweis: Ist ∑ λ_{i}v_{i} = ∑ λ′_{i}v_{i}, so ist ∑(λ_{i} − λ′_{i})v_{i} = 0, also λ_{i} − λ′_{i} = 0 für alle i.)

Basis. Eine linear unabhängige Folge (v_{1}, …, v_{n}), die V erzeugt, nennt man eine (endliche) Basis.

Beispiel: Die kanonische Basis des K^{n}. Die Elemente e_{1} = (1, 0, …, 0), e_{2} = (0, 1, 0, …, 0), …, e_{n} = (0, …, 0, 1) bilden eine Basis des Standard-Raums K^{n}, man nennt sie die kanonische Basis des K^{n}.

(1) Jedes minimale Erzeugendensystem ist eine Basis. Beweis: Gilt ∑ λ_{i}v_{i} = 0 und ist λ_{s} ≠ 0, so ist

v_{s} = − ∑_{i≠s} \frac{λ_{i}}{λ_{s}} v_{i},

also ist v_{s} ∈ span(v_{1}, …, v_{s−1}, v_{s+1} …, v_{n}). Also ist auch (v_{1}, …, v_{s−1}, v_{s+1} …, v_{n}) ein Erzeugendensystem.

(1′) Jeder endlich erzeugte Vektorraum hat eine Basis. Einfach weglassen, weglassen, usw.

(2) Jede maximale Folge linear unabhängiger Elemente ist eine Basis. Beweis: Sei (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig, und sei (v_{1}, …, v_{n}, v) linear abhängig für alle v ∈ V . Zu zeigen ist: Jedes v ∈ V gehört zu span(v_{1}, …, v_{n}). Sei also v ∈ V. Es ist ∑_{i} λ_{i}v_{i} + λv = 0 für gewisse λ, λ_{i}, nicht alle 0. Wäre λ = 0, so wäre (v_{1}, …, v_{n}) linear abhängig, Unsinn. Also λ ≠ 0, also

v = − ∑_{i} \frac{λ_{i}}{λ} v_{i}.

(3) Austauschlemma: Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis, sei w = ∑ λ_{i}v_{i} eine Linearkombination mit v_{t} ≠ 0. Dann ist (v_{1}, …, v_{t−1}, v_{t+1}, …, v_{n}, w) eine Basis.

Beweis: Lineare Unabhängigkeit: Sind Skalare μ, μ_{i} mit ∑_{i≠t} μ_{i}v_{i} + μw = 0 gegeben, so ersetzen wir w durch ∑ λ_{i}v_{i}, also ∑_{i≠t}(μ_{i} + μλ_{i})v_{i} + μλ_{t} = 0. Verwende nun, daß die Folge (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig ist. Wir sehen: μλ_{t} = 0, also μ = 0 (denn λ_{t} ≠ 0). Für i ≠ t haben wir μ_{i} + μλ_{i} = 0, also μ_{i} = 0. Erzeugendensystem: Ist u ∈ V gegeben, so können wir u als Linearkombination u = ∑ μ_{i}v_{i} schreiben. Ersetze hier v_{t} durch \frac{1}{λ_{t}} w − ∑_{i≠t} \frac{λ_{i}}{λ_{t}} v_{i}. Umrechnen zeigt, daß sich u als Linearkombination der Vektoren w und v_{i} mit i ≠ t schreiben läßt.

(3′) Zusatz: Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V , sei w ∈ V. Ist (v_{1}, …, v_{s−1}, w) eine linear unabhängige Folge, und schreiben wir w = ∑ λ_{i}v_{i}, so gibt es immer ein t ≥ s mit λ_{t} ≠ 0. Also: Wir können eines der v_{t} (mit t ≥ s) durch w ersetzen.

(4) Austauschsatz: Ist (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis und ist die Folge (w_{1}, …, w_{s}) linear unabhängig, so ist s ≤ n und es gibt Indizes i_{1}, …, i_{n−s}, so daß die Folge (w_{1}, …, w_{s}, v_{i_{1}}, …, v_{i_{n−s}}) eine Basis bildet.

Beweis: Sei zuerst s ≤ n. Induktion nach s. Ist s = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei schon gezeigt: (w_{1}, …, w_{s−1}, v_{i_{1}}, …, v_{i_{n−s+1}}) ist Basis. Verwende den Austauschsatz und seinen Zusatz für diese Basis und den Vektor w = w_{s}. Wir sehen, daß wir einen der Vektoren v_{i_{r}} durch w_{s} ersetzen können. Also erhalten wir eine Basis, die mit w_{1}, …, w_{s} beginnt und durch n − s Vektoren der Form v_{i} fortgesetzt wird.

Angenommen es ist s > n. Im Schritt n wird gezeigt, daß w_{1}, …, w_{n} eine Basis ist. Daraus folgt, daß die Vektoren (w_{1}, …, w_{n+1}) linear abhängig sind. Dies aber ist ein Widerspruch zur Annahme, daß die Vektoren (w_{1}, …, w_{s}) linear unabhängig sind. Also kann der Fall s > n gar nicht auftreten.

Folgerung 1. Ist V endlich erzeugt, so haben je zwei Basen gleichviel Elemente.

Folgerung 2. Ist V endlich erzeugt, so ist jeder Unteraum U endlich erzeugt. Eine Basis von U hat höchstens so viel Elemente wie eine Basis von V . Hat eine Basis von U genau so viel Elemente wie eine Basis von V , so ist U = V.

Folgerung 3. (Basis-Ergänzungs-Satz.) Sei V endlich erzeugter Vektorraum. Ist die Folge (v_{1}, …, v_{m}) linear unabhängig, so gibt es immer Vektoren v_{m+1}, …, v_{n}, so daß (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis ist.

Dimension. Ist V ein endlich erzeugter Vektorraum mit einer Basis v_{1}, …, v_{n}, so nennt man n die Dimension von V , und man schreibt dim V = n. Man sagt auch, daß V n-dimensional ist (und daß V endlich-dimensional ist). Endlichdimensionale Vektorräume sind endlich erzeugt; wegen (1’) gilt umgekehrt auch, daß endlich erzeugte Vektorräume endlich-dimensional sind.

Umformulierung von Folgerung 2: Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum, und ist U ein Unterraum, so ist dim U ≤ dim V . Zweitens gilt: Aus dim U = dim V folgt U = V.

Der Durchschnitt U_{1} ∩ U_{2} zweier Unterräume U_{1}, U_{2} eines Vektorraums V ist ein Unterraum von V .

Warnung: Im allgemeinen ist U_{1}∪U_{2} kein Unterraum. Sind U_{1}, U_{2} Unterräume eines Vektorraums V , so setzt man

U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}

Man zeigt leicht: Dies ist ein Unterraum.

Satz. Seien U_{1}, U_{2} endlich-dimensionale Unterräume eines Vektorraums. Dann gilt:

dim U_{1} + dim U_{2} = dim(U_{1} ∩ U_{2}) + dim(U_{1} + U_{2})

.

Beweisidee: Wähle Basis von U_{1} ∩ U_{2} , ergänze sie zu einer Basis von U_{1} und auch zu einer Basis von U_{2}. Zeige: Die Gesamtmenge der so erhaltenen Vektoren ist eine Basis von U_{1} + U_{2}.

Lineare Abbildungen.

Seien V, W K -Vektorräume. Eine Abbildung f: V → W heißt linear (oder genauer: K -linear, oft sagt man auch Homomorphismus von K -Vektorräumen oder auch lineare Transformation) falls gilt

(1) f(v_{1} + v_{2}) = f(v_{1}) + f(v_{2}) für alle v_{1}, v_{2} ∈ V .

(2) f(λv) = λf(v) für v ∈ V , λ ∈ K.

Eine lineare Abbildung f: V → W heißt Monomorphismus, falls f injektiv ist; Epimorphismus, falls f surjektiv ist; Isomorphismus, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Ist V = W, so nennt man f einen Endomorphismus; ein Automorphismus ist ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist.

Leicht zu verifizieren: Sei f: V → W K -linear.

(a) Es ist f(0) = 0 und f(−v) = −f(v).

(b) Ist (v_{1}, …, v_{n}) eine Familie von Vektoren in V , die linear abhängig ist, so ist (f(v_{1}), …, f(v_{n})) linear abhängig in W.

(c) Ist f ein Isomorphismus, so ist auch f^{−1} : W → V K -linear (also ebenfalls ein Isomorphismus.

(d) Ist V′ ein Unterraum von V , so ist f(V′) ein Unterraum von W. Ist W′ ein Unterraum von W, so ist f^{−1}(W′) ein Unterraum von V .

(e) Ist g: U → V auch K -linear, so ist f ∘ g: U → W ebenfalls K -linear.

Ist f: V → W eine K -lineare Abbildung, so setzt man

Im f = f(V) und Ker f = f^{−1}(0);

man nennt Im f das Bild von f, und Ker f den Kern von f. (Beachte, daß jede lineare Abbildung f insbesondere ein Gruppen-Homomorphismus ist und Ker f ist der Kern, wie er für Gruppen-Homomorphismen definiert wurde; unsere Zusatzvoraussetzung an f, daß f auch mit der Skalar-Multiplikation vertauscht, impliziert, daß Ker f nicht nur eine Untergruppe, sondern ein Unterraum von V ist.)

Ist f: V → W eine lineare Abbildung, so nennt man die Dimension dim Im f den Rang von f.

Satz. Seien V, W Vektorräume, sei f: V → W eine linear Abbildung. Ist V endlich-dimensional, so gilt

dim Im f + dim Ker f = dim V.

Ist dim V = n und dim Im f = r, so gibt es eine Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V , mit folgenden Eigenschaften: Die Folge (f(v_{1}), …, f(v_{r})) ist eine Basis von Im f und die Folge (v_{r+1}, …, v_{n}) ist eine Basis von Ker f.

Beweisidee: Wähle eine Basis (u_{1}, …, u_{s}) des Kerns von f und ergänze diese Folge durch Vektoren u_{s+1}, …, u_{n} zu einer Basis von V . Zeige: Die Folge (f(u_{s+1}, …, f(u_{n})) ist eine Basis von Im f. Daraus folgt nun r = n−s, also die Behauptung des Satzes. Der Zusatz folgt einfach durch Umbenennung der Vektoren: Setze (v_{1}, …, v_{r}) = (u_{s+1}, …, u_{n}) und (v_{r+1}, …, v_{n}) = (u_{1}, …, u_{s}).

Die Entsprechung: Matrizen — Lineare Abbildungen.

Satz. Jede Matrix C ∈ M(m × n, K) liefert (durch Linksmultiplikation) eine lineare Abbildung f_{C}: K^{n} → K^{m}. Umgekehrt ist jede lineare Abbildung K^{n} → K^{m} von dieser Form. Statt f_{C} schreibt man manchmal C·, deutet also auf diese Weise an, daß man die Linksmultiplikation mit C meint. Man nennt C die darstellende Matrix zur linearen Abbildung f_{C}.

Merkregel. Die j -te Spalte der darstellenden Matrix C zu einer linearen Abbildung f: K^{n} → K^{m} ist gerade f(e_{j}), also das Bild des j -ten kanonischen Basisvektors e_{j} von K^{n} unter f.

Zusatz: Ist C ∈ M(m × n, K) und D ∈ M(n × r, K), so ist f_{CD} = f_{C} ∘ f_{D}.

Zum Beweis (Satz, Merkregel, Zusatz): Zu zeigen ist f_{C}(λv) = λf_{C}(v) und f_{C}(v_{1} + v_{2}) = f_{C}(v_{1}) + f_{C}(v_{2}) für v, v_{1}, v_{2} ∈ K^{n} und λ ∈ K. Beides folgt aus Rechenregeln für die Matrizen-Multiplikation. Die Merkregel natürlich ebenfalls. Der Zusatz folgt aus der Assoziativität der Matrizen-Multiplikation.

Entsprechungen:

Assoziativität  Assoziativität der Hintereinanderschaltung
der Matrizen-Multiplikation  von Abbildungen
Sei C eine (m × n)-Matrix  und f_{C} die zugehörige lineare Abbildung
Die Spalten von C sind linear unabh. f_{C} ist ein Monomorphismus.
Die Spalten von C erzeugen K^{m}  f_{C} ist ein Epimorphismus.
Die Spalten von C bilden eine Basis  f_{C} ist ein Isomorphismus.

(d.h. C ist invertierbar)

Höherer Standpunkt: Wir betrachten nicht nur einzelne lineare Abbildungen f: V → W, sondern alle derartigen Abbildungen. Die Menge dieser Abbildungen werde mit Hom_{K}(V, W) bezeichnet, dies ist ein Unterraum von Abb(V, W). Die Zuordnung C ↦ f_{C} ist ein Vektorraum-Isomorphismus

M(m × n, K) → Hom_{K}(K^{n}, K^{m}).

Zum Beweis: Um zu zeigen, daß Hom_{K}(V, W) ein Unterraum von Abb(V, W) ist, ist zu zeigen: Sind f, g ∈ Hom_{K}(V, W) und ist λ ∈ K, so sind auch die Abbildungen f+g und λf K -linear. Der zweite Teil (“umgekehrt … ”) des vorangehenden Satzes besagt, daß diese Zuordnung C ↦ f_{C} surjektiv ist. Sie ist injektiv, da die Matrix C durch f_{C} eindeutig bestimmt ist (dies besagt gerade die Merkregel). Um zu sehen, daß die Zuordnung K -linear ist, muß gezeigt werden, daß für C, C′ ∈ M(m × n, K) und λ ∈ K gilt:

f_{C+C′} = f_{C} + f_{C′} und f_{λC} = λf_{C}.

Was bedeutet die Wahl einer Basis?

Satz. Ist A = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis des K -Vektorraums V , so ist

Φ_{A}: K^{n} → V mit Φ_{A}(λ_{1}, …, λ_{n}) = ∑ λ_{i}v_{i}

(für λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K) ein Isomorphismus von Vektorräumen. Um Φ_{A} zu definieren, reicht es, Φ_{A} auf einer Basis zu definieren: Wir nehmen die kanonische Basis e_{1}, …, e_{n} von K^{n} und definieren

Φ_{A}(e_{i}) = v_{i}.

Beweis, daß Φ_{A} ein Isomorphismus ist: Die Abbildung Φ_{A} ist injektiv, weil A eine linear unabhängige Folge ist; sie ist surjektiv, weil A ein Erzeugendensystem ist.

Basiswechsel: Seien A, A′ zwei Basen eines n-dimensionalen Vektorraums V , dann ist

T_{A′}^{A} = Φ_{A′}^{−1} ∘ Φ_{A}: K^{n} → K^{n}

eine lineare Abbildung K^{n} → K^{n}, also durch die Linksmultiplikation mit einer (n × n)-Matrix A gegeben; da T_{A′}^{A} ein Isomorphismus ist, muß A invertierbar sein, also eine Matrix in GL(n, K). Man sagt, daß Φ_{A′}^{−1} ∘ Φ_{A} (oder auch die zugehörige Matrix A) den Basiswechsel beschreibt.

Man hat das folgende (offensichtlich kommutative) Diagramm:

K^{n}  K^{n}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} V Φ_{A}  Φ_{A′} T_{A′}^{A}

Ist A = (v_{1}, …, v_{n}), A′ = (v′_{1}, …, v′_{n}), und schreiben wir einen Vektor v ∈ V in den beiden Basen in der Form

v = ∑ λ_{i}v_{i} = ∑ λ′_{i}v′_{i},

so gilt

[ λ′_{1} ; ⋮ ; λ′_{n} ] = T_{A′}^{A} [ λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ] .

Beweis: Es ist

Φ_{A} [ λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ] = ∑ λ_{i}v_{i} = ∑ λ′_{i}v′_{i} = Φ_{A′} [ λ′_{1} ; ⋮ ; λ′_{n} ]

also

T_{A′}^{A} [ λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ] = Φ_{A′}^{−1} ∘ Φ_{A} [ λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ] = [ λ′_{1} ; ⋮ ; λ′_{n} ]

Merkregel. Die j -te Spalte der darstellenden Matrix (a_{ij})_{ij} zu T_{A′}^{A} erhält man dadurch, daß man v_{j} als Linearkombination in der Basis A′ schreibt: v_{j} = ∑_{i} a_{ij}v′_{i}.

Die linearen Abbildungen T_{A′}^{A} und T_{A}^{A′} beschreiben den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen A und A′; natürlich gilt:

T_{A}^{A′} = (T_{A′}^{A})^{−1}.

Insbesondere braucht man derartige Basiswechsel im Fall V = K^{n}. Eine Basiswahl A = (v_{1}, …, v_{n}) liefert zu Φ_{A}: K^{n} → K^{n} eine darstellende Matrix P, deren j -te Spalte gerade das n-Tupel v_{j} ist (es ist also Φ_{A} = P ·). Ist eine zweite Basis A′ = (v′_{1}, …, v′_{n}) gegeben und ist P′ die darstellende Matrix zu Φ_{A′}, also die Matrix, deren j -te Spalte das n-Tupel v′_{j} ist, so erhalten wir als Basiswechsel-Matrix die Matrix T_{A′}^{A} = (P′)^{−1}P und das offensichtliche kommutative Diagramm

K^{n}  K^{n}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} K^{n} P ·  P′· (P′)^{−1}P ·

Wir sehen also: Jeder endlich erzeugte K -Vektorraum V ist zu einem Vektorraum der Form K^{n} isomorph. Durch eine Basiswahl A von V erhält man einen derartigen Isomorphismus.

Sind V und W K -Vektorräume mit Basen A = (v_{1}, …, v_{n}), B = (w_{1}, …, w_{n}), und ist f: V → W eine lineare Abbildung, so können wir die lineare Abbildung Φ_{B}^{−1} ∘ f ∘ Φ_{A} in der Form f_{C} mit C ∈ M(m × n, K) schreiben. Man notiert dies auch durch das folgende “kommutative Diagramm”:

K^{n}  K^{n} V  W f_{C} f Φ_{A}  Φ_{B}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

Wir erhalten also durch die Wahl der Basen A, B einen Vektorraum-Isomorphismus

M_{B}^{A}: Hom_{K}(V, W) → M(m × n, K), mit M_{B}^{A}(f) = Φ_{B}^{−1} ∘ f ∘ Φ_{A} = f_{C}.

Wie ändert sich die f zugeordnete Matrix M_{B}^{A}(f), wenn wir in V und in W Basiswechsel vornehmen? Seien also in V eine zweite Basis A′, in W eine zweite Basis B′ gegeben. Wir setzen die entsprechenden kommutativen Diagramme zusammen:

K^{n}  K^{n}  K^{n}  K^{n} V  W M_{B}^{A}(f) f Φ_{A′}  Φ_{A}  Φ_{B}  Φ_{B′} T_{A}^{A′}  T_{B′}^{B}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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Wir sehen demnach: Die Matrizen-Darstellung von f bezüglich der Basen A′ und B′ ist durch

M_{B′}^{A′}(f) = T_{B′}^{B} ∘ M_{B}^{A}(f) ∘ T_{A}^{A′}

gegeben. Ist also f bezüglich der Basen A, B durch die Matrix C gegeben, so ist f bezüglich der Basen A′ und B′ durch eine Matrix der Form

BCA mit invertierbaren Matrizen A, B

gegeben (es ist f_{A} = T_{A}^{A′}, f_{C} = M_{B}^{A}(f), und f_{B} = T_{B′}^{B}).

Hier ist nun wie oben herauszuarbeiten, wie sich Aussagen über Matrizen und über lineare Abbildungen entsprechen.

Insbesondere: Sind V, W endlich-dimensionale Vektorräume und ist f: V → W linear, so wissen wir, daß es eine Basis A = (v_{1}, …, v_{n}) von V gibt, so daß die Folge (v_{r+1}, …, v_{n}) eine Basis von Ker f und (f(v_{1}), …, f(v_{r})) eine Basis von Im f ist. Setzen wir diese Basis von Im f zu einer Basis B = (f(v_{1}), …, f(v_{r}), w_{r+1}, …, w_{m}) von W fort, so erhält man die folgende Matrizendarstellung:

M_{B}^{A}(f) = _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 1 1  1 0 0 0  0 0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

Dies ist also ein neuer Beweis, daß jede Matrix durch Multiplikation von rechts und links mit invertierbaren Matrizen in diese Form gebracht werden kann. Und umgekehrt hätten wir auf unsere Kenntnisse über Matrizen zurückgreifen können, um die Formel dim Im f + dim Ker f = dim V zu beweisen!

Sei nun V = W und sei f: V → V ein Endomorphismus. Wählen wir zwei verschiedene Basen A und B in V , so ändert sich nichts an den obigen Überlegungen. Allerdings ist dies unredlich: Nichts spricht dagegen, V mit K^{n} zu identifizieren, aber dies besagt, daß man eine Basis A in V wählen darf; wollen wir f eine Matrix zuordnen, so sollte man jeweils nur mit einer Basis arbeiten, also:

K^{n}  K^{n} V  V f_{C} f Φ_{A}  Φ_{A}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

Es ist also

f_{C} = M_{A}^{A}(f).

Ein Basiswechsel von der Basis A zur Basis A′ liefert folgendes Diagramm:

K^{n}  K^{n}  K^{n}  K^{n} V  V M_{A}^{A}(f) f Φ_{A′}  Φ_{A}  Φ_{A}  Φ_{A′} T_{A}^{A′}  T_{A′}^{A}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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also

M_{A′}^{A′}(f) = T_{A′}^{A} ∘ M_{A}^{A}(f) ∘ T_{A}^{A′}.

Demnach ändert sich die Matrix C mit f_{C} = M_{A}^{A}(f) durch einen Basiswechsel (von der Basis A zur Basis A′) wie folgt: man erhält eine Matrix der Form

ACA^{−1} mit einer invertierbaren Matrizen A

(dabei ist f_{A} = T_{A′}^{A} und f_{A^{−1}} = T_{A}^{A′}.)

Beispiele: Vektorräume und Basen

Warum betrachtet man neben dem K^{n} auch “andere” endlich-dimensionale Vektorräume?

(1) Es ist oft wenig hilfreich, mit der kanonischen Basis des K^{n} zu arbeiten. Beispiel: Sei in der rellen Ebene ℝ^{2} folgendes Punkteraster gegeben (die kleinen Dreiecke seien regulär):

• • • • • • • • • • • • • •^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

also etwa alle Vektoren in ℝ^{2} mit den Koordinaten (x, 2cy) und (x + \frac{1}{2}, c(2y + \frac{1}{2})) mit x, y ∈ ℤ und c = \frac{1}{2} \sqrt{3}, wenn wir ein Koordinatensystem wie links gezeigt verwenden.

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Viel einfacher ist die Beschreibung der gegebenen Punkte allerdings, wenn wir (wie rechts) als Basis die beiden Vektoren (1, 0) und (\frac{1}{2}, c) verwenden: bezüglich der neuen Basis haben alle Punkte ganzzahlige Kooffizienten.

Wir wollen innerhalb dieses Rasters einen “Davidstern” betrachten, er spielt in der Mathematik als “Wurzelsystem” G_{2} eine wichtige Rolle. Es handelt sich dabei um das folgende linke Bild. Zum Zeichnen ist die kanonische Basis sehr gut geeignet (mittleres Bild), zum Rechnen dagegen ist es schöner mit der Basis rechts zu arbeiten:

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Betrachtet werden also die Punkte der Ebene mit den Koordinaten

(0,a)
(−\frac{3}{2}, \frac{a}{2}) (−\frac{1}{2}, \frac{a}{2}) (\frac{1}{2}, \frac{a}{2}) (\frac{3}{2}, \frac{a}{2})
(−1, 0) (1, 0)
(−\frac{3}{2}, −\frac{a}{2}) (−\frac{1}{2}, −\frac{a}{2}) (\frac{1}{2}, −\frac{a}{2}) (\frac{3}{2}, −\frac{a}{2})
(0,−a)

mit a = \sqrt{3} (mittleres Bild; einer der Basisvektoren gehört zum Wurzelsystem, er ist als schwarzer Punkt gezeichnet; der zweite Basisvektor gehört nicht dazu). Wählt man als Basis die Vektoren (1, 0) und (−\frac{3}{2}, \frac{a}{2}) (sie sind rechts als schwarze Punkte gezeichnet) so haben die genannten Vektoren die neuen Koordinaten

(3,2)
(0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1)
−(1, 0) (1, 0)
−(3, 1) −(2, 1) −(1, 1) −(0, 1)
−(3,2)

(alle Koordinaten sind nun ganzzahlig; die Koordinaten jedes Punkts sind jetzt entweder beide nicht-negativ oder beide nicht-positiv).

(2) Vektorräume sind häufig als Unterräume eines K^{n} definiert, und derartige Unterräume haben meist keine irgendwie ausgezeichnete Basis. Zum Beispiel: der Unterraum {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℚ^{n} | ∑ x_{i} = 0}.

Lineare Gleichungssysteme (II).

Sei K ein Körper. Ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten in K ist von folgender Form:

∑_{j=1}^{n} a_{ij}X_{j} = b_{i} mit 1 ≤ i ≤ m

dabei sind a_{ij}, b_{i} ∈ K, für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Ist b_{i} = 0 für alle i, so spricht man von einem homogenen linearen Gleichungssystem. Wie im Fall K = ℚ bezeichnen wir mit A die Koeffizientenmatrix, mit [A, b] die erweiterte Koeffizientenmatrix, und wir setzen

Lös(A, b) = { (z_{1}, …, z_{n}) ∈ K^{n} | ∑_{j=1}^{n} a_{ij}z_{j} = b_{i} für alle 1 ≤ i ≤ m }.

Die Matrix A liefert eine Abbildung

f_{A}: K^{n} → K^{m}

und es gilt:

(1) Lös(A, 0) = Ker f_{A}, also: Die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems ist ein Unterraum.

(2) Ist der Rang der Matrix A gleich r, so hat Lös(A, 0) die Dimension n − r.

(3) Genau dann ist Lös(A, b) nicht leer, wenn gilt: b ∈ Im f_{A} (also genau dann, wenn b eine Linearkombination der Spalten von A ist).

(4) Ist y ∈ Lös(A, b), so ist Lös(A, b) = y + Lös(A, 0) (also: kennt man eine spezielle Lösung y in Lös(A, b), so erhält man alle Lösungen, indem man zu y alle Lösungen des zugehörigen homogenen Gleichungssytems addiert).

Satz. Jeder Unterraum von K^{n} ist Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems.

Beweis: Sei U ⊆ K^{n} ein Unterraum, sei u_{1}, …, u_{s} eine Basis von U. Dabei sei u_{i} = (u_{i1}, …, u_{in}) mit Koeffizienten u_{ij} ∈ K und 1 ≤ i ≤ s. Betrachte das homogene Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix C = (u_{ij})_{ij}. Der Rang der Matrix f_{C} ist s, also hat Lös(C, 0) die Dimension r = n − s. Sei a_{1}, …, a_{r} eine Basis von Lös(C, 0), mit Vektoren a_{i} = (a_{i1}, …, a_{in}) ∈ K^{n}, dabei ist 1 ≤ i ≤ r. Sei A = (a_{ij})_{ij}. Dann gilt: Lös(A, 0) = U (offensichtlich sind die Vektoren u_{i} in Lös(A, 0); andererseits hat Lös(A, 0) die Dimension n − r = s.)

Komplementärbasen. Sei V ein Vektorraum, U ein Unterraum. Eine Folge (v_{1}, …, v_{t}) von Vektoren aus V heißt linear unabhängig modulo U, falls folgendes gilt: sind λ_{i} Skalare in K und ist ∑_{i=1}^{t} λ_{i}v_{i} ∈ U, so sind alle λ_{i} = 0. Ist die Folge (v_{1}, …, v_{t}) linear unabhängig modulo U, so ist diese Folge natürlich linear unabhängig. Die Folge (v_{1}, …, v_{t}) von Vektoren aus V heißt Komplementärbasis von U in V , falls erstens die Folge (v_{1}, …, v_{t}) linear unabhängig modulo U ist, und zweitens U zusammen mit den Vektoren v_{1}, …, v_{t} den Vektorraum V erzeugt.

(1) Sei U ein Unterraum von V und (u_{1}, …, u_{m}) eine Basis von U. Seien v_{1}, …, v_{t} Vektoren in V . Genau dann ist (v_{1}, …, v_{t}) eine Komplementärbasis von U in V , wenn (u_{1}, …, u_{m}, v_{1}, …, v_{t}) eine Basis von V ist.

(2) Ist 0 = V_{0} ⊆ V_{1} ⊆ V_{2} ⊆ ⋯ ⊆ V_{m−1} ⊆ V_{m} = V eine Kette von Unterräumen, und sind (v_{i,1}, …, v_{i,n_{i}}) Folgen von Vektoren in V_{i}, so gilt: Genau dann ist (v_{i,1}, …, v_{i,n_{i}}) eine Komplementärbasis von V_{i−1} in V_{i}, für 1 ≤ i ≤ m, wenn die Folge

(v_{1,1}, …, v_{1,n_{1}}, v_{2,1}, …, v_{2,n_{2}}, …, v_{m,1}, …, v_{m,n_{m}})

eine Basis von V ist.

(3) Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Sei U ein Unterraum von V . Eine Folge von Vektoren in V , die linear unabhängig modulo U sind, läßt sich zu einer Komplementärbasis von U in V ergänzen.

Teil 4. Endomorphismen

Seien V, W Vektorräume. Sei f: V → W eine lineare Abbildung.

(a) Genau dann ist f injektiv, wenn Ker f = 0 gilt.

(b) Genau dann ist f surjektiv, wenn Im f = W gilt.

(c) Sind V, W endlich-dimensional und ist dim V = dim W, so ist f genau dann injektiv, wenn f surjektiv ist (und dann also ein Isomorphismus).

Zum Beweis: Die Äquivalenz in (a) gilt ganz allgemein für Gruppen (wobei man bei einer nicht-abelschen Gruppe Ker f = 1 schreiben würde): Ist nämlich Ker f = 0 und ist f(v) = f(v′), so ist f(v −v′) = f(v)−f(v′) = 0, also v −v′ = 0, also v = v′. Die umgekehrte Implikation ist natürlich trivial. Zu (b) ist nichts zu zeigen. (c) ist eine unmittelbare Folgerung der Dimensiongleichung

dim Ker f + dim Im f = dim V

(und der trivialen Implikationen dim U = 0 ⟹ U = 0 und dim U = dim V ⟹ U = V , für jeden Unterraum U von V ).

Zur Erinnerung: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f: V → V ein Endomorphismus. Ist A = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V , so nennt man M_{A}^{A}(f) die Matrizendarstellung von f bezüglich der Basis A. Man erhält M_{A}^{A}(f) = C = (c_{ij})_{ij} wie folgt: schreibe f(v_{j}) als Linearkombination f(v_{j}) = ∑_{i} c_{ij}v_{i} der Vektoren v_{1}, …, v_{n}, die Koeffizienten liefern die j -te Spalte der Matrix. Wählen wir eine andere Basis von V , so erhalten wir eine Matrix der Form C′ = P CP^{−1} , dabei ist P eine invertierbare (n × n)-Matrix.

Definition: Zwei (n×n)-Matrizen C, C′ mit Koeffizienten im Körper K heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare (n × n)-Matrix P mit Koeffizienten in K gibt, so daß C′ = P CP^{−1} gibt.

Sei A eine (n × n)-Matrix. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) A ist invertierbar. (ii) Die Spalten von A sind linear unabhängig in K^{n}. (ii*) Die Zeilen von A sind linear unabhängig in K^{n}. (iii) det A ≠ 0. (iv) Die lineare Abbildung f_{A}: K^{n} → K^{n} ist ein Isomorphismus.

Zum Beweis: (i) ⟹ (ii): Sind die Spalten linear abhängig, so gibt es einen von Null verschiedenen Vektor v mit Av = 0. Wäre A invertierbar, so würde gelten v = A^{−1}Av = 0, Widerspruch.

(ii) ⟹ (i): Die Spalten von A seien linear unabhängig, sie bilden eine Basis von K^{n}. Also kann ich die kanonischen Basisvektoren e_{i} als Linearkombination der Spalten ausdrücken. Es gibt also einen Vektor v_{i} mit Av_{i} = e_{i} (denn Linearkombinationen der Spalten von A zu bilden, heißt gerade, mit einem Spaltenvektor zu multiplizieren). Die Matrix A′, deren Spalten v_{1}, …, v_{n} sind, liefert demnach AA′ = I_{n}.

Entsprechend sieht man, daß (i) und (ii*) äquivalent sind. Die Äquivalenz von (i), (iii) und (iv) wurde schon früher bewiesen.

(4.1) Eigenwerte, Eigenvektoren.

Sei V ein K -Vektorraum, sei f: V → V ein Endomorphismus. Sei λ ∈ K. Ein Vektor v ≠ 0 in V heißt Eigenvektor zu f mit Eigenwert λ falls gilt

f(v) = λ · v.

Also: v wird unter f auf ein Vielfaches von sich abgebildet. Nach Voraussetzung sind Eigenvektoren immer von Null verschieden (dagegen darf λ = 0 sein; Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind gerade alle von 0 verschiedene Vektoren im Kern von f).

Satz. Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Beweis: Sei v_{i} ein Eigenvektor mit Eigenwert λ_{i}, mit 1 ≤ i ≤ t. Seien die Elemente λ_{i} ∈ K paarweise verschieden. Sei ∑_{i=1}^{t} μ_{i}v_{i} = 0. Zu zeigen: μ_{i} = 0 für alle i. Wir führen Induktion nach t. Induktionsanfang: Ist t = 1, so ist μ_{1} = 0.

Induktionsschritt. Sei t ≥ 2. Sei also 0 = ∑_{i=1}^{t} μ_{i}v_{i} gegeben, dabei können wir voraussetzen μ_{i} ≠ 0 für alle i. Wende auf diese Gleichung den Endomorphismus f an, wir erhalten

0 = f(0) = f(∑_{i=1}^{t} μ_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{t} μ_{i}f(v_{i}) = ∑_{i=1}^{t} μ_{i}λ_{i}v_{i}.

Andererseits ist mit 0 = ∑_{i=1}^{t} μ_{i}v_{i} auch 0 = ∑_{i=1}^{t} μ_{i}λ_{t}v_{i}, also

0 = ∑_{i=1}^{t} μ_{i}(λ_{i} − λ_{t})v_{i}

Dies ist aber eine Linearkombination der t − 1 Eigenvektoren v_{1}, …, v_{t−1} , denn der Koeffizient von v_{t} ist Null. Also folgt nach Induktion

μ_{i}(λ_{i} − λ_{t}) = 0 für 1 ≤ i < t.

Für diese i gilt aber λ_{i} ≠ λ_{t}, also folgt μ_{i} = 0 für 1 ≤ i < t. Widerspruch zur Annahme, daß μ_{i} ≠ 0 für alle i gilt (hier verwenden wir t ≥ 2).

Korollar. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Jeder Endomorphismus f: V → V besitzt höchstens n Eigenwerte.

Eigenraum. Sei f: V → V Endomorphismus eines K -Vektorraums. Ist λ ∈ K, so sei Eig(f, λ) die Menge der Vektoren v ∈ V mit f(v) = λv. Man nennt dies den Eigenraum zu f und λ. Die von Null verschiedenen Elemente in Eig(f, λ) sind gerade die Eigenvektoren zu f mit Eigenwert λ. Die Menge Eig(f, λ) ist ein Unterraum von V (einerseits gehört die Null dazu, andererseits ist diese Menge abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation).

Satz. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Sei f: V → V ein Endomorphismus. Es ist

∑_{λ∈K} dim Eig(f, λ) ≤ n.

Beweis: Wähle für jedes λ ∈ K eine Basis A(λ) = (v_{1}^{(λ)}, …, v_{n(λ)}^{(λ)}) von Eig(f, λ).

Behauptung: Die Vektoren v_{i}^{(λ)} mit 1 ≤ i ≤ n(λ) und λ ∈ K sind linear unabhängig. Sei nämlich eine Linearkombination ∑_{λ,i} μ_{λ,i}v_{i}^{(λ)} = 0 gegeben (dies soll eine endliche Summe sein, es seien also nur endlich viele Koeffizienten μ_{λ,i} ≠ 0). Setze v_{λ} = ∑_{i} μ_{λ,i}v_{i}^{(λ)} , für jedes λ. Dies ist entweder der Nullvektor oder ein Eigenvektor von f mit Eigenwert λ. Aber es ist ∑_{λ} v_{λ} = 0, dies ist nur möglich wenn v_{λ} = 0 ist für jedes λ (denn Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig). Aus ∑_{i} μ_{λ,i}v_{i}^{(λ)} = v_{λ} = 0 folgt nun μ_{λ,i} = 0 für alle i.

(4.2) Die Eigenwerte einer Matrix A und das charakteristische Polynom χ_{A} von A.

Ist A ∈ M(n × n, K), so haben wir für die durch A gegebene lineare Abbildung f_{A}: K^{n} → K^{n} geschrieben; dabei verstehen wir unter K^{n} den Raum K^{n} = M(n × 1, K) aller Spaltenvektoren der Länge n und f_{A} ist die Matrizenmultiplikation M(n × n, K) × M(n × 1, K) → M(n × 1, K). Genauer müßten wir aber f_{A,K} statt f_{A} schreiben, denn man kann der Matrix A nicht ansehen, mit welchem K wir arbeiten! Dabei ist nicht so sehr daran gedacht, daß wir für jeden Körper K das Nullelement mit 0, das Einselement mit 1 bezeichnen, also über jedem Körper K eine Matrix zum Beispiel der Form A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] haben; das Null-

element wie das Einselement von ℚ und von ℤ/pℤ werden zwar gleich bezeichnet, sind jedoch völlig verschiedene Elemente. Wegen ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ sind aber das Nullelement und das Einselement von ℚ auch Elemente von ℝ wie von ℂ, die Matrix

A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ M(2×2, ℚ) gehört demnach auch zu M(2×2, ℝ) und zu M(2×2, ℂ).

Ist λ ein Eigenwert von f_{A,K}, so nennt man λ einen Eigenwert der Matrix A ∈ M(n × n, K). Hier ist die Fixierung des Körpers K ganz wichtig, wie wir

gleich sehen werden: Beispiel. Betrachte die Matrix A = [ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ M(2 × 2, ℚ).

Sie besitzt keinen Eigenwert, auch nicht, wenn wir sie als Matrix in M(2 × 2, ℝ) auffassen. Betrachten wir sie dagegen als Matrix in M(2 × 2, ℂ), so besitzt sie die Eigenwerte i, −i.

Sei A ∈ M(n × n, K). Genau dann ist λ ∈ K Eigenwert von A, wenn A − λI nicht invertierbar ist, wenn also det(A − λI) = 0 ist. Man setzt Eig(A, λ) = Eig(f_{A,K}, λ). Es ist Eig(A, λ) der Kern von f_{A−λ1} . Beweis: Sei λ ∈ K. Es ist v ∈ Eig(A, λ) genau dann, wenn Av = λv gilt, also genau dann, wenn (A−λI)v = 0 gilt, also genau dann, wenn v zu Ker(f_{A−λI}) gehört.

Nullstellen von Polynomen. Sei f ∈ K[T] ein von Null verschiedenes Polynom. Sei λ ∈ K. Man nennt λ eine Nullstelle von f, falls f(λ) = 0 gilt. Ist f = (T −λ)g für ein g ∈ K[T], so ist λ Nullstelle von f (es gilt auch die Umkehrung). Ist f = (T − λ)^{m}h für ein Polynom h ∈ K[T] und m ∈ ℕ_{0} , so sagt man, daß λ eine Nullstelle der Vielfachheit mindestens m ist. Die Bestimmung von Nullstellen eines Polynoms ist ein wichtiges Thema der Mathematik.

Satz. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ_{A} einer Matrix A sind gerade die Eigenwerte von f_{A}.

Beweis: Sei λ ∈ K. Es ist χ_{A}(λ) = 0 genau dann, wenn det(A − λI) = 0 gilt, genau dann, wenn A−λI nicht invertierbar ist, also genau dann, wenn Ker(f_{A−λI}) ≠ 0 gilt.

Satz. Sei A ∈ M(n×n, K) und λ ∈ K. Die Vielfachheit von λ ist mindestens dim Eig(A, λ).

Beweis: Sei (v_{1}, …, v_{t}) eine Basis von Eig(A, λ). Vervollständige diese Folge zu einer Basis (v_{1}, …, v_{n}) von K^{n}. Sei P die Matrix, deren Spalten die Vektoren v_{1}, …, v_{n} sind. Dann ist AP = P B, wobei B die folgende Form hat: Für 1 ≤ j ≤ t ist die j -te Spalte von B gerade λe_{j}, denn v_{j} ist Eigenvektor mit Eigenwert λ, die restlichen Spalten dagegen sind unübersichtlich (genauer: Ist j > t und

Av_{j} = ∑_{i} c_{ij}v_{i}, so ist die j -te Spalte gerade [ c_{1j} ; ⋮ ; c_{nj} ]). Da P invertierbar ist, folgt

P^{−1}AP = B. Da die Matrix B die folgende Form hat:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} λ λ ∗ 0 B′_{t}

ist χ_{A} = (λ − T)^{t}χ_{B′}. Also ist die Vielfachheit von λ mindestens dim Eig(A, λ).

Wichtig. Die Vielfachheit von λ als Nullstelle von χ_{A} kann echt größer als

dim Eig(A, λ) sein. Beispiel: A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]. Die Nullstelle λ = 0 hat die Vielfachheit

2 in χ_{A} = T^{2}, aber dim Eig(A, 0) = 1.

Lemma. Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom.

Beweis: Seien A, A′ ähnliche (n × n)-Matrizen. Es gibt also eine invertierbare Matrix P mit A′ = P AP^{−1}. Wegen T · I_{n} = P (T · I_{n})P^{−1} gilt A′ − T · I_{n} = P AP^{−1} −P (T ·I_{n})P^{−1} = P (A−T ·I_{n})P^{−1}. Der Determinanten-Multiplikationssatz liefert:

χ_{A′} = det(A′ − T · I_{n}) = det P (A − T · I_{n})P^{−1}
= det P · det(A − T · I_{n}) · det P^{−1} = det P · χ_{A} · (det P)^{−1} = χ_{A}.

Ist f: V → V ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums und A eine Basis von V , so hängt das charakteristische Polynom von M_{A}^{A}(f) nur von f nicht aber von der ausgewählten Basis A ab, man nennt es deshalb auch das charakteristische Polynom von f.

Wie findet man Eigenwerte und Eigenvektoren? Sei f: V → V Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums.

(0) Wähle eine Basis A und berechne die Matrizendarstellung A = M_{A}^{A}(f).

(1) Berechne das charakteristische Polynom χ_{A} der Matrix A.

(2) Berechne die Nullstellen von χ_{A}.

(3) Ist λ eine Nullstelle, berechne eine Basis von Eig(A, λ).

Beispiele. (a) Sei V der Vektorraum der Polynome vom Rang höchstens 4 mit Koeffizienten in ℚ und f das Differenzieren.

(0) Wähle die Basis A = (1, T, …, T^{4}). Es ist

A = M_{A}^{A}(f) = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] .

(1) Das charakteristische Polynom ist χ_{A}(T) = T^{5} .

(2) Die einzige Nullstelle von T^{5} ist λ = 0.

(3) Der Eigenraum Eig(A, 0) besteht aus den konstanten Polynomen, ist also eindimensional.

(b) Sei A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ M(2 × 2, ℝ) (man nennt sie die “Fibonacci-Matrix”).

(1) Das charakteristische Polynom ist χ_{A}(T) = T^{2} − T − 1.

(2) In ℝ besitzt χ_{A}(T) die Nullstellen λ_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) und λ_{2} = \frac{1}{2}(1 − \sqrt{5}).

(3) Der Unterraum E(A, λ_{i}) wird von v_{i} = [ \begin{matrix}1 \\ λ_{i} \end{matrix} ] erzeugt.

Die Matrix A ist, wie wir sagen werden, “diagonalisierbar”.

(4.3) Diagonalisierbare Matrizen.

Eine n × n-Matrix A heißt diagonalisierbar, falls A zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist (falls es also eine invertierbare Matrix P gibt, so daß P^{−1}AP eine Diagonalmatrix ist).

Satz. Sei A eine (n × n)-Matrix. Genau dann ist A diagonalisierbar, wenn es in K^{n} eine Basis von Eigenvektoren zu f_{A}: K^{n} → K^{n} gibt.

Beweis (und gleichzeitig Regel zur Bestimmung von P): Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis aus Eigenvektoren, sei λ_{i} der Eigenwert zu v_{i}. Bilde die (n × n)-Matrix P, deren j -te Spalte gerade v_{j} ist. Wegen Av_{j} = λ_{j}v_{j} entsteht also AP aus P, indem die j -te Spalte von P mit dem Skalar λ_{i} multipliziert wird. Ist demnach D die Diagonalmatrix mit Diagonalkoeffizienten λ_{1}, …, λ_{n}, so ist AP = P D. Nun ist P invertierbar, also P^{−1}AP = D.

Umgekehrt gilt: Ist P^{−1}AP = D = (d_{ij})_{ij} eine Diagonalmatrix, so ist die i-te Spalte von A ein Eigenvektor für A mit Eigenwert d_{ii}. (Denn AP = P D und diese Matrix entsteht aus P, in dem die i-te Spalte von P mit d_{ii} multipliziert wird. Ist also v_{i} die i-te Spalte von P, so ist f_{A}(v_{i}) = d_{ii}v_{i}.)

Zweite Formulierung. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, sei f: V → V ein Endomorphismus. Genau dann gibt es eine Basis aus Eigenvektoren zu f, wenn f durch eine Diagonalmatrix darstellbar ist.

Zur Erinnerung 1: Eine (n × n)-Matrix besitzt höchstens n Eigenwerte. Besitzt sie n Eigenwerte, so ist sie diagonalisierbar. Beweis: Sind (v_{1}, …, v_{t}) Eigenvektoren zu A mit paarweise verschiedenen Eigenwerten, so ist diese Folge linear unabhängig, also t ≤ n. Ist t = n, so ist dies eine Basis aus Eigenvektoren.

Zur Erinnerung 2: Sei A eine (n × n)-Matrix. Es ist ∑_{λ∈K} dim Eig(A, λ) ≤ n. Gleichheit gilt genau dann, wenn A diagonalisierbar ist. Beweis: Sei n(λ) = dim Eig(A, λ). Ist ∑_{λ∈K} n(λ) = n, so haben wir eine Basis aus Eigenvektoren konstruiert. Umgekehrt: Ist A eine Diagonalmatrix, so gibt es eine Basis (v_{1}, …, v_{n}) aus Eigenvektoren. Ist m(λ) die Anzahl der Vektoren v_{i} mit Eigenvektor λ, so ist also ∑_{λ} m(λ) = n. Andererseits ist m(λ) ≤ n(λ). Insgesamt sehen wir:

n = ∑_{λ} m(λ) ≤ ∑_{λ} n(λ) ≤ n,

und demnach gilt überall das Gleichheitszeichen (und es ist auch m(λ) = n(λ) für alle λ).

Zur Erinnerung 3: Ist p(λ) die Vielfachheit der Nullstelle λ im Polynom χ_{A}, so ist dim Eig(A, λ) ≤ p(λ). Ist p(λ) ≠ 0, so ist

1 ≤ dim Eig(A, λ) ≤ p(λ).

Läßt sich χ_{A} als Produkt von Linearfaktoren schreiben, so ist A genau dann diagonalisierbar, wenn dim Eig(A, λ) = p(λ) für alle λ ∈ K gilt.

Noch einmal das Beispiel A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]. Nur λ = 0 ist Eigenwert, und Eig(A, 0)

ist eindimensional. Also ist ∑ dim Eig(A, λ) = 1, aber n = 2. Es ist χ_{A} = T^{2}, einzige Nullstelle ist λ = 0 und p(0) = 2. Die Matrix A ist nicht diagonalisierbar.

Beispiel: Fibonacci-Zahlen. Dies ist die Folge der Zahlen

a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 5, a_{6} = 8, …,

dabei ist a_{0} = 0, a_{1} = 1, und man erhält die weiteren Zahlen durch a_{n+1} = a_{n−1}+a_{n}, für n ≥ 1.

Die Fibonacci-Matrix A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] liefert diese Folge vermöge

[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}a_{n−1} \\ a_{n} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}a_{n} \\ a_{n+1} \end{matrix} ] , also [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ]^{n} · [ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}a_{n} \\ a_{n+1} \end{matrix} ] .

Fassen wir A als Matrix in M(2 × 2, ℝ) auf, so besitzt A zwei Eigenwerte

λ_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) ≈ 1, 6180, λ_{2} = \frac{1}{2}(1 − \sqrt{5}) ≈ −0, 6180.

Ein Eigenvektor zu λ_{i} ist v_{i} = [ \begin{matrix}1 \\ λ_{i} \end{matrix} ] , denn λ_{i}^{2} = 1 + λ_{i}.

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{•}_{•}^{(1,λ_{1})}_{(1,λ_{2})} Eigenvektoren:

Da wir eine Basis aus Eigenvektoren kennen, wissen wir, daß A diagonalisierbar ist:

[ \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ] = P^{−1}AP = \frac{1}{λ_{2} − λ_{1}} [ \begin{matrix}λ_{2} & −1 \\ −λ_{1} & 1 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}1 & 1 \\ λ_{1} & λ_{2} \end{matrix} ] .

Das Diagonalisieren erlaubt es, hohe Potenzen von A zu berechnen:

A^{1000} = P · [ \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ]^{1000} · P^{−1} = P [ \begin{matrix}λ_{1}^{1000} & 0 \\ 0 & λ_{2}^{1000} \end{matrix} ] P^{−1},

und demnach auch zum Beispiel a_{1000} (denn dies ist gerade der Koeffizient von A^{1000} an den Positionen (2, 1) und (1, 2)).

Die Matrix A^{2} hat die gleichen Eigenvektoren wie A, ihre Eigenwerte sind beide positiv, nämlich

λ_{1}^{2} ≈ 2, 618 und λ_{2}^{2} ≈ 0, 382 .

Leitfaden 36

Schreiben wir einen beliebigen Vektor v ∈ ℝ^{2} als Linearkombination der Eigenvektoren v_{1}, v_{2} , etwa v = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}, so läßt sich die Folge der Bilder v, f^{2}(v), f^{4}(v), … sehr schön beschreiben: in der v_{1} -Richtung erfolgt jeweils eine Streckung (mit dem Faktor λ_{1}^{2} ), in der v_{2} -Richtung eine Schrumpfung (mit dem Faktor λ_{2}^{2} ).

(4.4) Nilpotente Matrizen.

Sei n eine natürliche Zahl. Eine Partition von n ist eine Folge λ = (λ_{1}, …, λ_{t}) von natürlichen Zahlen λ_{i}, so daß gilt λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{t} ≥ 1 und ∑_{i} λ_{i} = n. Jeder Partition ordnet man ein sogenanntes Young-Diagramm zu: man betrachtet ein Kästchenmuster mit t Kästchenreihen, linksbündig untereinander gesetzt, wobei die t-te Reihe aus λ_{i} Kästchen besteht. Analog zur Indizierung der Positionen in einer Matrix kann man diese Kästchen durch die Pare (i, j) mit 1 ≤ j ≤ λ_{i} und 1 ≤ i ≤ t indizieren. Beispiel: Das Young-Digramm zur Partition λ = (5, 4, 2, 2, 1, 1) hat die Form

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Wir wollen die Kästchen durchnummerieren, und zwar zeilenweise, von links nach rechts, und von oben nach unten:

\begin{matrix}. & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . 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jeder Position (i, j) haben wir auf diese Weise eine Zahl ν(i, j) zugeordnet, ν ist eine Bijektion zwischen der Menge {(i, j) | 1 ≤ j ≤ λ_{i}, 1 ≤ i ≤ t} und {1, 2, …, n}. Natürlich können wir ν durch eine Formel festlegen: es ist ν(i, j) = j + ∑_{r<i} λ_{r}.

Ist λ = (λ_{1}, …, λ_{t}) eine Partition von n, so bildet man die duale Partition λ′ = (λ′_{1}, …, λ′_{λ_{1}}) wie folgt: Es sei λ′_{j} = |{λ_{i} | λ_{i} ≥ j}|, dies ist im Young-Diagramm gerade die Anzahl der Kästchen in der j -ten Spalte. Insbesondere ist λ′ ebenfalls eine Partition von n. Die zu λ = (5, 4, 2, 2, 1, 1) duale Partition ist λ′ = (6, 4, 2, 2, 1).

Jeder Partition λ von n ordnet man einen Endomorphismus f_{λ}: K^{n} → K^{n} wie folgt zu. Man benennt die kanonischen Basisvektoren e_{1}, …, e_{n} um, und zwar setzt man e_{ij} = e_{ij}^{(λ)} = e_{ν(ij)} . Setze

f_{λ}(e_{ij}) = e_{i,j−1} falls j > 1, und f_{λ}(e_{i1}) = 0 für alle i.

37 Lineare Algebra (1999/2000)

Wir ordnen der Partition λ auch eine (n×n)-Matrix J(λ) zu (die Jordan-Matrix zur Partition λ mit Eigenwert 0), hier als typisches Beispiel der Fall λ = (5, 4, 2, 2, 1, 1) :

J((5, 4, 2, 2, 1, 1)) = _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0} ^{0}^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1}

wobei alle weiteren Einträge Nullen sind. Die allgemeine Regel lautet: es ist J(λ) = (a_{ij})_{ij} mit a_{r,r+1} = 1 für alle r, die nicht von der Form ∑_{i≤s} λ_{i} sind, und a_{ij} = 0 sonst. Entlang der Diagonale sind also entsprechende (λ_{i} × λ_{i})-Matrizen aufgereiht.

Natürlich ist J(λ) die Matrizendarstellung von f_{λ} bezüglich der kanonischen Basis des K^{n}.

Satz. Sei λ eine Partition. Es ist

Ker(f_{λ}^{s}) = span{e_{ij} | 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ i ≤ λ′_{j}},
Im(f_{λ}^{s}) = span{e_{ij} | 1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ λ_{i} − s}.

und

dim Ker(f_{λ}^{s}) = ∑_{j=1}^{s} λ′_{j} und dim Im(f_{λ}^{s}) = ∑_{j≥s+1} λ′_{j}.

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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Ker(f^{4})  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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Im(f^{4})_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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Beweis: Sei f = f_{λ}. Es ist

f^{s}(e_{ij}) = e_{i,j−s} falls j > s, und f^{s}(e_{ij}) = 0 falls j ≤ s.

Trivialerweise ist

Ker(f^{s}) ⊇ span{e_{ij} | 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ i ≤ λ′_{j}},

also ist dim Ker(f^{s}) ≥ ∑_{j=1}^{s} λ′_{j}.

Ebenfalls sieht man unmittelbar, daß für 1 ≤ j ≤ λ_{i} − s jedes Element e_{ij} = f^{s}(e_{i,j−s}) zu Im(f^{s}) gehört, also gilt

Im(f^{s}) ⊇ span{e_{ij} | 1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ λ_{i} − s},

und f^{s} liefert eine Bijektion zwischen den Elementen e_{ij} mit j > s und den Elementen e_{ij} mit j ≤ λ_{i} − s. Die Anzahl der Elemente e_{ij} mit j > s ist aber ∑_{j>s} λ′_{j}.

Insgesamt sehen wir:

dim Ker(f^{s}) ≥ ∑_{j=1}^{s} λ′_{j} und dim Im(f^{s}) ≥ ∑_{j>s} λ′_{j}.

Die Summe der beiden rechten Seiten ist n, weil λ′ eine Partition von n ist. Die Summe der beiden linken Seiten ist ebenfalls n, nach dem Dimensionssatz für lineare Abbildungen. Also gilt jeweils das Gleichheitszeichen.

Folgerung 1.

dim Ker(f_{λ}^{s}) − dim Ker(f_{λ}^{s−1}) = λ′_{s}.

Folgerung 2. Seien λ, μ Partitionen von n. Ist λ ≠ μ, so sind die Matrizen J(λ) und J(μ) nicht ähnlich.

Beweis: Angenommen, die Matrizen J(λ) und J(μ) sind ähnlich. Dann sind auch die Matrizen J(λ)^{s} und J(μ)^{s} für jedes s ähnlich. Sind aber Matrizen A, B ähnlich, so haben die Kerne der linearen Abbildungen f_{A} und f_{B} die gleiche Dimension. Es ist f_{J(λ)^{s}} = f_{λ}^{s} und f_{J(μ)^{s}} = f_{μ}^{s}. Wir verwenden nun Folgerung 1:

λ′_{s} = dim Ker(f_{λ}^{s}) − dim Ker(f_{λ}^{s−1}) = dim Ker(f_{μ}^{s}) − dim Ker(f_{μ}^{s−1}) = μ′_{s}.

Da λ′_{s} = μ′_{s} für alle s gilt, ist λ′ = μ′, also λ = μ.

Satz. Zu jeder nilpotenten (n × n)-Matrix A gibt es eine Partition λ von n, so daß A und J(λ) ähnlich sind. Zusatz: Dabei kann λ folgendermaßen bestimmt werden: Die zu λ duale Partition λ′ ist durch

λ′_{j} = dim Ker(f^{j}) − dim Ker(f^{j−1})

für alle j ≥ 1 gegeben (durch λ′ ist λ = λ′′ eindeutig bestimmt).

Für den Beweis verwenden wir folgendes Lemma:

Lemma. Sei f nilpotenter Endomorphismus von V , sei j ≥ 2. Sei (v_{1}, …, v_{s}) eine Folge von Elementen in Ker(f^{j}), die modulo Ker(f^{j−1}) linear unabhängig ist. Dann ist (f(v_{1}), …, f(v_{s})) eine Folge von Elementen in Ker(f^{j−1}), die modulo Ker(f^{j−2}) linear unabhängig ist.

Beweis: Natürlich gehört jedes Element f(v_{i}) zu Ker(f^{j−1}), denn f^{j−1}f(v_{i}) = f^{j}(v_{i}) = 0. Seien nun Elemente λ_{i} ∈ K gegeben, so daß ∑_{i} λ_{i}f(v_{i}) zu Ker(f^{j−2}) gehört. Dann gehört ∑_{i} λ_{i}v_{i} zu Ker(f^{j−1}), denn f^{j−1}(∑_{i} λ_{i}v_{i}) = f^{j−2}f(∑_{i} λ_{i}v_{i}) = f^{j−2}(∑_{i} λ_{i}f(v_{i})) = 0. Da die Folge (v_{1}, …, v_{s}) modulo Ker f^{j−1} linear unabhängig ist, folgt λ_{i} = 0 für 1 ≤ i ≤ s.

Beweis des Satzes und des Zusatzes: Setzen wir

λ′_{j} = dim Ker(f^{j}) − dim Ker(f^{j−1}),

so folgt aus dem Lemma sofort, daß λ_{j} eine Partition ist: denn ist (v_{1}, …, v_{s}) eine Komplementärbasis von Ker(f^{j−1}) in Ker(f^{j}), so ist s = λ′_{j}. Das Lemma besagt, 39 Lineare Algebra (1999/2000)

daß (f(v_{1}), …, f(v_{s})) zu einer Komplementärbasis von Ker(f^{j−2}) in Ker(f^{j−1}) fortgesetzt weren kann, also ist t ≤ λ′_{j−1} .

Sei f^{r} = 0. Betrachte die Kette von Unterräumen:

0 = Ker(f^{0}) ⊆ Ker(f) ⊆ Ker(f^{2}) ⊆ ⋯ ⊆ Ker(f^{r−1}) ⊆ Ker(f^{r}) = V.

Wir konstruieren induktiv Komplementärbasen (v_{1,j}, …, v_{λ′_{j},j}) von Ker(f^{j−1}) in Ker(f^{j}), und zwar in absteigender Folge, wir beginnen also mit j = r, dann kommt j = r − 1, und so weiter, bis schließlich j = 1. Induktionsanfang: Wähle eine beliebige Komplementärbasis (v_{1,r}, …, v_{λ′_{r},r}) von Ker(f^{r−1}) in Ker(f^{r}) = V.

Induktionsschritt: sei schon (v_{1,j}, …, v_{λ′_{j},j}) konstruiert, dies sei also eine Komplementärbasis von Ker(f^{j−1}) in Ker(f^{j}), für ein 1 ≤ j ≤ r. Ist 2 ≤ j, so wende f an, wir erhalten eine Folge (f(v_{1,j}), …, f(v_{λ′_{j},j})), die nach dem Lemma in Ker(f^{j−1}) liegt und modulo Ker(f^{j−2}) linear unabhängig ist. Wir setzen

(∗)  v_{i,j−1} = f(v_{i,j}) für 1 ≤ i ≤ λ′_{j}.

Wir können diese Folge (v_{1,j−1}, …, v_{λ′_{j},j−1}) zu einer Komplementärbasis

(v_{1,j−1}, …, v_{λ′_{j},j−1}, v_{λ′_{j}+1,j−1}, …, v_{λ′_{j−1},j−1})

von Ker(f^{j−2}) in Ker(f^{j−1}) fortsetzen.

Die Elemente v_{i,j} mit 1 ≤ i ≤ λ′_{j} und 1 ≤ j ≤ r bilden eine Basis von V und (∗) zeigt, daß die Wirkung von f auf dieser Basis genau der Wirkung von J(λ) auf den Basiselementen e_{ij}^{(λ)} entspricht.

Folgerung. Sei A ∈ M(n × n, K). Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) A ist nilpotent. (ii) A ist ähnlich zu einer Matrix der Form J(λ), mit λ Partition von n. (iii) χ_{A} = (−1)^{n}T^{n}. (iv) A^{n} = 0.

Beweis: (i) ⟹ (ii): Dies wurde gerade bewiesen. (ii) ⟹ (iii): Ist A ähnlich zu J(λ), so ist χ_{A} = χ_{J(λ)} = (−1)^{n}T^{n}. (iii) ⟹ (iv): Dies folgt aus dem Satz von Cayley-Hamilton.

Hier alle Partitionen λ von n= 5 und die zugehörigen Young-Diagramme und die Jordanmatrizen J(λ):

(5)^{.............................................................................................................................................................................. ............... ............... ............... ...............}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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...............}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0 0 0 0 0 1 1 1 0_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  (3, 2)^{.......................................................... .................................................................................................................................. .............................}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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...............}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0 0 0 0 0 1 1 0 0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  (2, 2, 1)^{.......................................................... ...............................................................................................................................................................}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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...............}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0 0 0 0 0 1 0 0 0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  (1, 1, 1, 1, 1)^{............................................................................................................................................................................................. ............... ............... ...............}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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Beispiel. Sei

A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & −2 & 1 & −1 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ −2 & 4 & −2 & 2 \end{matrix} ] .

Sei f = f_{A}: V → V , mit V = K^{4} . Es ist

V_{1} = Ker(f) = span\{[ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ]\}, V_{2} = Ker(f^{2}) = span\{[ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ]\},

und Ker f^{3} = V. Insbesondere ist A nilpotent. Wir sehen also:

λ′_{1} = dim Ker(f) = 2,
λ′_{2} = dim Ker(f^{2}) − dim Ker(f) = 3 − 2 = 1,
λ′_{3} = dim Ker(f^{3}) − dim Ker(f^{2}) = 4 − 3 = 1.

Also

λ′ = (2, 1, 1), daher λ = (3, 1).

Wähle v_{13} ∈ V \ V_{2}, zum Beispiel v_{13} = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] . Wir berechnen

v_{12} = Av_{13} = [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix} ] und v_{11} = Av_{12} = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ] .

Wir ergänzen v_{11} durch einen Vektor v_{21} ∈ V_{1} zu einer Basis von V_{1} , zum Beispiel

wählen wir v_{21} = [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] . Dann haben wir also Vektoren v_{ij} konstruiert, die in das

Young-Diagramm zur Partition λ = (3, 1) passen:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} v_{11} v_{12} v_{13} v_{21}

Die Matrix P habe als Spalten die Vektoren v_{11}, v_{12}, v_{13}, v_{21} . Dann gilt

P^{−1}AP = J((3, 1)).

Nach Konstruktion muß dies richtig sein (wenn wir uns nicht verrechnet haben). Man kann es natürlich auch nachträglich verifizieren; dafür muß man noch P^{−1} berechnen. Es ist

[ \begin{matrix}0 & 2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & −2 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{matrix} ]·[ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & −2 & 1 & −1 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ −2 & 4 & −2 & 2 \end{matrix} ]·[ \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & −2 & 0 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] .