Neu / New

01.07.2007

Die Ergebisse der 3. Klausur liegen vor.

08.02.07

Der Fisch modulo 1 wurde auf die Materialien-Seite verbannt (siehe den Link R/Z am Ende unter "Weiteres").

10.01.07. Geschichte/History

Unter "Geschichte" gibt es eine chronologische Tabelle aller Mathematiker, die im Laufe der bisherigen Vorlesung eine Rolle spielten.

21.10.06. Das Neueste vom Tage

(Focus online) Zwei US-Forscher haben die bislang größte Primzahl entdeckt. Sie hat ausgeschrieben mehr als 9,8 Millionen Stellen (genau: 9 808 358)

Curtis Cooper und Steven Boone von der Central Missouri State University verpassen mit ihrem Rekord knapp das von der Electronic Frontier Foundation ausgelobte Preisgeld von 100 000 US-Dollar für die erste Primzahl mit mehr als 10 Millionen Stellen. Dasselbe Forscherteam hatte bereits den vorigen Rekordhalter mit 9,15 Millionen Stellen entdeckt, wie das Internet-Primzahlenprojekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) in Orlando berichtete.

Die neue Primzahl ist die 44. bekannte Mersenne-Primzahl. Mersenne-Zahlen, nach dem französischen Mönch Marin Mersenne benannt, berechnen sich nach der Formel "(2 hoch n) minus 1". Die neue Rekordzahl trägt den Namen M32582657 und ist demnach

232 582 657 - 1.
Cooper und Boone fanden die Primzahl mit Hilfe von 700 Computern, die dafür insgesamt neun Monate rechneten. An einem einzigen Computer hätte die Berechnung mehr als 4000 Jahre gedauert, berichtete GIMPS.

GIMPS: With five record primes found in less than 3 years, GIMPS has been on an incredible lucky streak. Never before have Mersenne primes been bunched so closely together. When looking at the exponents, we expect only 1.78 Mersenne primes between powers of two, and prior to 2003, a maximum of 3 Mersenne primes were found between powers of two. The last 5 Mersenne prime exponents all fell between 224 and 225 - and we haven't finished testing all the exponents in that range!

20.10.2006. Eine kleine Geschichte:

Beim Beweis des Bertrand'schen Postulats nehmen wir an, dass d = 1 gilt (dass es also keine Primzahlen p mit n < p < 2n gibt), um dann (nach langen Rechnungen) einen Widerspruch zu erhalten. Wie Sie sich erinnern, hatte ich zur Motivation die Primfaktorzerlegung der Binomialkoeffizienten binom(2n,n) für viele n ausgedruckt, und man sah, dass es in allen Fällen eine Vielzahl von Primzahlen p mit n < p < 2n gibt.

Ein Student meinte nun: die Annahme d = 1 ist doch völlig unsinnig sei, da wir schon gesehen haben, dass es es üblicherweise nicht nur eine, sondern immer sehr viele Primzahlen p mit n < p < 2n gibt.

So ist die Mathematik! Bewiesen werden Sachverhalte, die offensichtlich richtig sind. Genauer sollte man sagen: Sachverhalte, die offensichtlich richtig sein sollten. Erst, wenn ein mathematischer Beweis existiert, weiß man, dass sie wirklich richtig sind. (Es hätte ja sein könnte, dass die "offensichtliche Tatsache" für ganz große Zahlen gar nicht mehr richtig ist).

Wichtiger aber noch: Bewiesen werden meist nur Aussagen, die viel schwächer sind als die Wirklichkeit. Zum Beispiel zeigen wir nur: es gibt mindestens eine Primzahl p mit n < p ≤ 2n. Und später wird noch gezeigt: es gibt mindestens zwei solche Primzahlen, falls n > 5, und dergleichen. Gerne würde man eine genaue Formel für die Anzahl der Primzahlen p mit n < p <2n kennen. Aber dies scheint ein hoffnungsloses Problem zu sein!

19.10.2006. Korrektur

In der heutigen Vorlesung habe ich bei der Abschätzung von b auf (1) und (3) verwiesen, dies hat wohl zur Verwirrung geführt!

Der Verweis auf (1) ist völlig unsinng. Gebraucht wird (3), und zwar in der Form (3'): Ist p > sqrt(2n), so ist die p-adische Bewertung von binom(2n,n) gleich 0 oder 1.

Dass (3') aus (3) folgt, ist einfach (und wurde am Dienstag schon gezeigt).

Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Verantwortlich: C.M.Ringel
E-Mail: ringel@mathematik.uni-bielefeld.de