Algebraische Grundbegriffe:  Gruppen

Wir brauchen die folgenden Grundbegriffe: Gruppe, Gruppen-Homomorphismus, Isomorphismus von Gruppen, Ordnung einer Gruppe, Untergruppe. Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt. In abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition.

Seien u_i mit i=1,...,n Elemente der Gruppe G. Man sagt, dass diese Elemente die Gruppe G erzeugen, wenn sich jedes Element g von G in der Form g = g₁...g_t schreiben lässt, wobei jedes der g_i die Form u_j oder u_j^-1 hat. Man nennt dann die Menge {u₁,...,u_n} ein (endliches) Erzeugendensystem der Gruppe G. Ganz allgemein gilt:  Sind u_i mit i=1,...,n Elemente der Gruppe G, so ist die Menge der Elemente g von G, die sich in der Form g = g₁...g_t schreiben lassen, wobei jedes der g_i die Form u_j oder u_j^-1 hat, eine Untergruppe von G, und zwar die kleinste Untergruppe von G, die diese Elemente u_i enthält.
Ist H eine Gruppe mit Untergruppen G und G', so wird H genau dann von G und G' erzeugt, wenn sich jedes Element von H in der Form h = g₁g₂...g_n schreiben lässt, wobei jedes g_i zu G oder G' gehört. Dies bedeutet gerade, dass es keine echte Untergruppe H' von H gibt, die G und G' enthält. Offensichtlich lässt sich dann jedes Element h von H in der Form h = g₁g₂...g_n schreiben, wobei die g_i mit ungeradem i zu G, die mit geradem i zu G' gehören.

Faktorgruppe

Ist U ein Normalteiler von G, so bilden die Restklassen von G nach U selbst eine Gruppe (bezüglich der offensichtlichen Multiplikation). Man schreibt G/U für diese Gruppe und nennt sie die Faktorgruppe von G modulo U.

Typische Beispiele: 
• Die von Null verschiedenen Untergruppen der (additiven) Gruppe der ganzen Zahlen sind die Gruppen nZ mit n = 1,2,3,..., und es ist Z/nZ = C_n (die zyklische Gruppe der Ordnung n).
• In der symmetrischen Gruppe S_n aller Permutationen der Menge {1,2,...,n} bilden die geraden Permutationen einen Normalteiler, die "alternierende" Gruppe A_n, und S_n/A_n ist isomorph zur zyklischen Gruppe C₂ der Ordnung 2.
• Sei k ein Körper, sei GL(n,k) die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit Koeffizienten in k, sei SL(n,k) die Untergruppe aller Matrizen mit Determinante 1. Es ist SL(n,k) ein Normalteiler, und GL(n,k)/SL(n,k) ist isomorph zur multiplikativen Gruppe k* des Körpers k. (Einen Isomorphismus erhält man durch die Determinantenbildung.)

Bemerkung. Sei f: A → G ein Gruppen-Homomorphismus. Dann ist

ein Pushout-Diagramm in der Kategorie der Gruppen.

Die Abbildung p kanonische Abbildung. (Jedem g in G wird unter p seine Restklasse modulo <f(A)> zugeordnet). Natürlich ist pf die triviale (= konstante) Abbildung, also ist das Diagramm kommutativ. Umgekehrt sei ein Gruppen-Homomorphismus α: G → Q gegeben, so dass αf trivial ist. Dies bedeutet aber, dass f(A) im Kern von α enthalten ist, also faktorisiert α über p.

Erster Noether'scher Isomorphiesatz. Ist f: G → H surjektiver Gruppenhomomorphismus und ist U = {g in G| f(g) = 1} - man nennt dies den Kern des Homomorphismus -, so ist U ein Normalteiler, G/U ist zu H isomorph, und man erhält einen Isomorphismus durch folgende (kanonische) Zuordnung:  das Bild der Restklasse gU sei f(g).

Kommutatoren

• Es gilt:  ab = [a,b]ba (nachrechnen!)
  Dies besagt gerade, dass [a,b] gerade derjenige Faktor ist, den man hinzufügen muss, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauschen will:  im Allgemeinen sind ja  ab und ba  zwei ganz verschiedene Elemente, aber man kann eben den Kommutator [a,b] als "Abweichungsfaktor" hinschreiben.

• Ist f: G → H ein Gruppen-Homomorphismus und ist H eine abelsche Gruppe, so wird jeder Kommutator in G auf das neutrale Element in H abgebildet. Also:  für a,b in G gilt:  f([a,b]) = 1 - ebenfalls leicht nachzurechnen!

• Ist [a,b] ein Kommutator, so ist auch das Inverse ein Kommutator,
  denn [a,b]^-1 = [a^-1,b^-1].
• Ist [a,b] ein Kommutator, so ist für jedes g in G auch g^-1[a,b]g ein Kommutator,
  denn g^-1[a,b]g = [g^-1ag,g^-1bg].

Es gilt: 

• Es ist G/G' eine abelsche Faktorgruppe.
• Ist U ein Normalteiler von G, so ist G/U genau dann abelsch, wenn G' in U enthalten ist.
• Ist f: G → A ein Gruppen-Homomorphismus und ist A abelsch, so ist G' im Kern von f enthalten.

Lemma. Die Gruppe G werde von den Untergruppen A und B erzeugt. Dann lässt sich jedes Element in G in der Form cab schreiben, wobei c in G', a in A und b in B liegt.

Beweis:  Sei M die Menge der Elemente von G, die sich in der Form cab schreiben lassen, wobei c in G', a in A und b in B liegt. Jedes Element aus A wie aus B liegt in M (denn ist a in A, so schreiben wir a = 1.a.1...) Zu zeigen ist:  M ist abgeschlossen unter Multiplikation und unter Invertieren...
• Multiplizieren wir cab mit c'a'b' (Dabei seien c, c' in G'; a, a' in A und b, b' in B.), so ergibt sich
  cabc'a'b' = c[ab,c'a']c'a'abb' = c"a"b"
  mit c"=c[ab,c'a']c', also in G'; mit a"=a'a, also in A und mit b"=bb', also in B.
• Das Inverse von cab ist
  (cab)^-1 = b^-1a^-1c^-1 = [b^-1,a^-1c^-1]a^-1c^-1b^-1 = [b^-1,a^-1c^-1] [a^-1,c^-1]c^-1a^-1b^-1 = c"a"b"
  mit c"=[b^-1,a^-1c^-1] [a^-1,c^-1]c^-1, also in G'; mit a" = a^-1, also in A, und b"=b^-1, also in B.

Bemerkung. Nimmt man statt zweier Untergruppen A und B, die G erzeugen, ein endliches Erzeugendensystem {u₁,...,u_n} von G, so ergibt sich entsprechend: 

Die Gruppe G werde von den Elementen u_i mit i=1,...,n erzeugt. Dann lässt sich jedes Element g von G in der Form g = c u₁^e(1)...u_n^e(n) schreiben mit ganzen Zahlen e(1),...,e(n) und einem Element c in der Kommutatorgruppe von G.

Daraus folgt: 

Folgerung. Ist ein Pushout

in der Kategorie der Gruppen gegeben, so ist G_ab = A_ab × B_ab.

Beweis:  Zuerst überlegt man sich, dass die Abbildungen u und v injektiv sind, dass man also annehmen kann, dass es Inklusionsabbildungen sind.

Sei Q = A_ab × B_ab. Sei α: A → Q die kanonische Abbildung (die Projektion modulo der Kommutatorgruppe gefolgt von der Inklusion). Sei entsprechend β: B → Q die kanonische Abbildung. Da in der linken oberen Ecke die Gruppe der Ordnung 1 steht, sind die beiden Kompositionen von dort nach Q gleich, also gibt es nach Definition eines Pushouts eine Abbildung q: G → Q. Wir zeigen, dass sie einen Isomorphismus G/G' → Q liefert.

• Da Q abelsch ist, ist G' im Kern von q enthalten.
• Umgekehrt wollen wir zeigen, dass der Kern von q in G' enthalten ist. Sei also g im Kern von q. Das Lemma besagt, dass sich g in der Form cab mit c in G', a in A und b in B schreiben lässt. Offensichtlich ist q(cab) = (α(a),β(b)). Da cab im Kern von q enthalten, ist also α(a) = 1 und β(b) = 1. Da α: A → A/A' = A_ab die kanonische Projektion ist, ist a in A'. Entsprechend ist b in B'. Wir sehen also, dass alle drei Elemente c,a,b in der Kommutatorgruppe G' liegen, also ist g = cab in G'.