Topologie: Kreisbouquet

Das Unendliche Kreis-Bouquet

Sei B die punktierte Summe von abzählbar vielen Kreisen K_i (mit i in N), verwendet wird die hier Summen-Topologie (also die schwache Topologie), B ist also ein CW-Komplex. Der Basispunkt von B sei b.

Eine Umgebungsbasis von b in B erhält man wie folgt: Für jedes i in N sei a(i) eine natürliche Zahl und U(i) die 1/n(i)-Umgebung von b in K_i. Sei U(a) die Vereinigung dieser Mengen U(i) (als Teilmengen von B).

Der Punkt b besitzt keine abzählbare Umgebungsbasis.

B' habe die gleiche Grundmenge wie B, nun nehmen wir aber die sogenannte starke Topologie: Eine Umgebungsbasis von b in B' ist durch die Mengen U(a), wobei a eine konstante Funktion ist, gegeben.

Behauptung. Die identische Abbildung 1 : B → B' ist stetig und ist eine Homotopie-Äquivalenz.

Wir realisieren den Kreis als Dreieck K mit den Ecken b,c,d und bilden für jede reelle Zahl r zwischen 0 und 1/2 die stückweise affine Abbildung f(r) : K → K, die c und d auf sich abbildet, während die Punkte b, rb+(1-r)c und rb+(1-r)d auf b abgebildet werden. Diese Abbildung f(r) ist für r = 1 die Identität, sonst nicht injektiv. Für r = 0 wird jeweils die Hälfte der Kanten bc und bd auf b abgebildet, die anderen beiden Hälften werden mit dem Faktor 2 gestreckt...

Die Einschränkung von f auf jeden Kreis K_i sei die Abbildung f(0) (aufgefasst als Abbildung K_i → K_i). Man zeigt: f ist stetig und man erhält die gewünschten Homotopien (mit Indexmenge [0,1/2]) mithilfe der Abbildungen f(r)...