Constructing Boy's Surface

Original-Version (Joe Fields)

Step-by-step instructions for making your very own Boy's surface (A strange and beautiful embedding of a punctured projective plane).

First you will need a pattern (as ps-file, or as pdf-file). Also, scissors (although a matte knife or single-edged razor blade is better) and some tape.
Print the pattern three times. For best results, use as heavy stock as is available for your printer.
Cut out the patterns.
Cut through the loop in one of your patterns and tape it back together after linking it with another.
Now bring the "points" of the teardrop shaped cutouts together.
Curl-up one of the "legs" of one piece and position it so that is is held by the teardrop-shaped hole in the other. Indeed, the pieces can be positioned so that one leg of each piece is curled up inside the hole of the other:
The last piece has to also have its loop cut, but it must be reattached after linking with both other loops. The last link has to be positioned in such a way that it will trap both of the free legs of the previously assembled pair. (Symmetrically, it's legs get curled up into the other pieces' holes.)
A few more bits of tape placed strategically will give you a fairly sturdy Boy's surface

Aber man beachte, dass man auf diese Weise nur das "Innenleben" der Boy'schen Fläche bekommen hat - man sieht die genaue Lage der Doppelpunkte und des Dreifachpunkts, muss sich allerdings den Rest der Fläche hinzudenken.

Der Bastelboden liefert kreisförmige Flächenstücke mit einer Ecke (und jeweils drei Klebekanten), die in die Zylinderstücke einzupassen sind - auf diese Weise versteht man besser die Selbstdurchdringungen der Fläche. (Weiß man, wo sie einzufügen sind, so erübrigt sich eigentlich das Einfügen!)
Wichtig aber ist, dass man sich entscheidet, wie man die Fläche schließt! Denn was man bisher erhalten hat, ist eine gelochte Boy'sche Fläche...
Genauer: die drei Papierteile (zusammen mit den einzusetzenden kreisförmigen Flächenstücken) setzen sich zu folgendem Möbius-Band zusammen:

Die punktierte Mittellinie gibt die Durchdringungslinien an (die gestrichelten Linien sind Klebelinien).

Die folgende Skizze verdeutlicht die Lage im R³. Man sieht die drei großen Flächenstücke (die hier jetzt quadratisch gezeichnet sind - oben waren sie kreisförmig). Die punktierte Linie ist wieder die Durchdringungslinie.

Hier noch ein einzelnes FLächenstück zusammen mit den zugehörigen Anschluss-Streifen: