Die S3 sei wie üblich in den R4 eingebettet,
wir interpretieren aber R4 als C2, es sei
also
S3 = {(x,y)| x,y in C, |x|2+|x|2 = 1}.
Und wir interpretieren S2 als Einpunkt-Kompaktifizierung von
R2 = C, und zwar als die projektive Gerade
PC (sie entsteht aus C durch Hinzufügen des Punkts {∞}
= {1/0}).
Die Hopf-Abbildung η : S3 → PC bildet das Paar (x,y)
auf x/y ab.
Analoge Konstruktion: Die S7 sei wie üblich in den R8 eingebettet,
wir interpretieren aber R8 als H2
(dabei ist H der Schiefkörper der Quaternionen); es sei
also
S7 = {(x,y)| x,y in H, |x|2+|x|2 = 1}.
Und wir interpretieren S4 als Einpunkt-Kompaktifizierung von
R4 = H, und zwar als die projektive Gerade
PH (sie entsteht aus H durch Hinzufügen des Punkts {∞}
= {1/0}).
Die Hopf-Abbildung η' : S7 → PH bildet das Paar (x,y)
auf x/y ab.
Die Hopf-Abbildung S15 → S8
Analoge Konstruktion:
Die S15 sei wie üblich in den R16 eingebettet,
wir interpretieren aber R16 als 02
(dabei ist 0 die Algebra der Oktaven);
es sei also
S3 = {(x,y)| x,y in O, |x|2+|x|2 = 1}.
Und wir interpretieren S2 als Einpunkt-Kompaktifizierung von
R8 = O, und zwar als die projektive Gerade
PO (sie entsteht aus O durch Hinzufügen des Punkts {∞}
= {1/0}).
Die Hopf-Abbildung η" : S15 → PO bildet das Paar (x,y)
auf x/y ab.