Der Unterraum Irr(R2) der Ebene
Sei Irr(R2) die Menge aller Punkte (x,y) in
der reellen Ebene R2, sodass mindestens eine der
beiden Zahlen x, y irrational ist (Also: Irr(R2)
ist das Komplement von Q2 in R2).
- Irr(R2) ist weg-zusammenhängend.
- Irr(R2) ist lokal-weg-zusammenhängend.
- Irr(R2) ist nicht semi-lokal-einfach-zusammenhängend.
- Irr(R2) besitzt demnach keine universelle
Überlagerung.
Alles beruht auf folgender Eigenschaft:
Ist p in Irr(R2), und sind reelle Zahlen
λ1 < λ2 gegeben, so gibt es eine
reelle Zahl λ mit λ1 < λ < λ2,
sodass die Gerade durch p mit Steigung λ vollständig in
Irr(R2) enthalten ist. (Denn es gibt überabzählbar
viele Geraden durch p mit Steigung λ mit λ1 < λ
< λ2, aber nur abzählbar viele Punkte in
Q2.)
- Man versuche sich eine Vorstellung der Fundamentalgruppe von
Irr(R2) bezüglich eines beliebigen Basispunkts zu bilden!