Konstruktion. Die Menge der rationalen Zahlen im Einheitsintervall I = [0,1] ist abzählbar, sei s1, s2, ... eine Abzählung. Sei Ut die 1/2t+2-Umgebung von si in R. Die Menge X entstehe aus I, in dem man alle Teilmengen Ui entfernt.
Die Menge Ui hat Borel-Maß 1/2i+1, also hat die Vereinigungsmenge dieser Teilmengen Ui Borel-Maß höchstens 1/2, und demnach hat X Borel-Maß mindestens 1/2, ist also nicht abzählbar. (Wir verwenden: Es gibt ein Teilmengensystem, die "Borel-Mengen", das alle offenen Mengen enthält und unter abzählbaren Vereinigungen und Komplementbildung abgeschlossen ist und darauf ein Maß...)
Da es zu je zwei Punkten x < y in I ein si mit x < si < y gibt, ist X total unzusammenhängend. (Denn: Sei x < y in X, wähle ein si mit x < si < y. Dann ist x < si-1/2t+2 < si < si+ 1/2t+2 < y (da x,y beide nicht zu X gehören). Es ist X im Komplement von Ui enthalten, dies ist die disjunkte Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen A1, A2 wobei x in A1 und y in A2 liegt.)
Da die Menge der algebraischen Zahlen ebenfalls abzählbar ist, kann man entsprechend auch überabzählbare kompakte Mengen transzendenter Zahlen konstruieren.