Eine Peano-Kurve

Konstruktion einer Peano-Kurve: Wir definieren stetige, stückweise lineare Abbildungen f_n : I → I × I mit f_n(0) = (0,0) und f_n(1) = (1,1) auf folgende Weise:

• f₀(x) = (x,x) für alle x in I.
• Um f₁ zu definieren, werde I in 9 gleich lange Strecken geteilt, also in die Teilintervalle [(i-1)/9,i/9] mit 1 ≤ i ≤ 9. Entsprechend wird I × I in 9 gleich große Quadrate geteilt. Diese Quadrate werden geeignet durchnummeriert (siehe das Bild n=1), und das i-te Intervall [(i-1)/9,i/9] wird nun unter f₁ in das i-te Quadrat abgebildet, und zwar werden die einzelnen Teilintervalle jeweils auf Diagonalen abgebildet.
  (Durch die Forderungen,
  • dass f₁ stetig ist,
  • dass f₁(0) = (0,0) gilt,
  • dass die 9 Einschränkungen auf die Teilintervalle linear sind
  • und dass wir jeweils erst horizontal, dann vertikal laufen,
  ist die Nummerierung der Teilquadrate und damit auch f₁ eindeutig bestimmt.)
• Um f₂ zu definieren, werde I in 9² gleich lange Strecken geteilt. Entsprechend wird I × I in 9² gleich große Quadrate geteilt. Die Nummerierung erfolgt wie im Bild n=2 angedeutet (Man läuft innerhalb der 9 Teilquadrate des Schritts n=1 jeweils erst horizontal, dann vertikal.), und unter f₂ wird wieder das i-te Intervall in eine Diagonale des i-ten Quadrats abgebildet.
• Allgemein: Um f_n zu definieren, werde I in 9ⁿ gleich lange Strecken geteilt; entsprechend wird I × I in 9ⁿ gleich große Quadrate geteilt. Die Nummerierung der Quadrate erfolgt induktiv. Man läuft jeweils erst horizontal, dann vertikal. Unter f_n wird das i-te Intervall in eine Diagonale des i-ten Quadrats abgebildet.
  

  Es ist einfach zu sehen: Die Funktionenfolge f_n konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f (die natürlich wieder stetig ist). Dies ist die gesuchte Peano-Kurve.

  Es gilt:

  1. Ist x = a/9ⁿ, wobei a eine natürliche Zahl mit 0 ≤ a ≤ 9ⁿ ist, so ist f_m(x) = f_n(x) für alle m ≥ n, also auch f(x) = f_n(x).
  2. f ist surjektiv. Zum Beweis reicht es zu zeigen, dass das Bild von f dicht ist. (Denn nach Satz 2 ist das Bild abgeschlossen: I ist kompakt, f ist stetig, und I×I ist Hausdorffsch.) Es liegen alle Paare (a/3ⁿ,b/3ⁿ) mit natürlichen Zahlen a,b ≤ 3ⁿ im Bild von fⁿ, also nach 1. auch im Bild von f. Die Menge dieser Paare (a/3ⁿ,b/3ⁿ) (mit n beliebig) ist aber dicht in I×I.
  3. f ist nicht injektiv: Jedes Paar (a/3ⁿ,b/3ⁿ) mit 0 < a,b < 3ⁿ hat genau zwei Urbilder, die übrigen Elemente von I×I haben nur ein Urbild.