Uniforme Polyeder
Definition
Uniform polyhedra consist of
- a finite number of regular faces
(such regular faces may be non-convex polygons:
the non-convex regular polygons are called star polygons,
such as the pentagram;
a star n-gon is obtained by connecting every dth vertex
of an ordinary n-gon, usually such a star n-gon is denoted by n/d)
- with congruent vertices (d.h.: die Symmetriegruppe operiert transitiv
auf der Menge der Ecken);
- only two faces are allowed to meet at a polyhedron edge.
Demnach gilt:
Jedes uniforme Polyeder ist eine kompakte Mannigfaltigkeit
|
(und zwar eine Realisierung im R3, wobei allerdings fast immer Selbstdurchdringungen auftreten).
If we drop the assumption that only two faces meet at an edge,
there are for example two polyhedra in which
four faces meet at an edge, the great
complex icosidodecahedron and small complex icosidodecahedron
(both of which are compounds of two uniform polyhedra), see
mathworld;
Das Kuboktaeder zusammen mit den vier Sechsecken liefert ein Polyeder, bei dem
jede Kante Randkante von drei Flächen ist - und es gibt viele
weitere derartige Beispiele.
-
Zusätzlich soll
vorausgesetzt werden, dass die Fläche zusammenhängend ist.
In case the surface is not connected, one deals with
Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, das einfachste Beispiel sind
zwei sich durchdringende Tetraeder - Kepler's "Stella octangula": siehe
das linke Bild; rechts ein Verbund von 5 Tetraedern:
Note that a uniform polyeder does not have to be convex (as we have mentioned,
the regular faces may be non-convex polygons; also, we can arrange the
faces around a vertex in a non-convex way...
Klassifikation
There are 75 such polyhedra and additional prisms and antiprisms
(they exist for each regular n-gon, for n= 3, 4, ... ;
often one adds to the list of 75 solids the 5 prisms and antiprisms related to
5-gones: the pentagonal prism, pentagonal antiprism,
pentagrammic prism, pentagrammic antiprism, and pentagrammic crossed antiprism;
in this way one gets a list of 80 solids...).
Quelle)
Klickt man dort eines der kleinen Bilder an, so erhält man Informationen
über diesen Körper!
Jeweils von einander abgeteilt sind:
- 4 Körper mit tetraedraler Symmetrie-Gruppe,
- 17 Körper mit oktaedraler Symmetrie-Gruppe,
- 54 Körper mit ikosaedraler Symmetrie-Gruppe
- (und die letzten 5 mit diedraler Symmetrie-Gruppe).
Zur Identifizierung der verschiedenen uniformen Polyeder wird üblicherweise das
Wythoff-Symbol
verwandt.
There is one uniform polyhedron that cannot be constructed with Wythoff's method
(it is the only one with more than six faces around a vertex - it has 8 of them!):
the Great Dirhombicosidodecahedron.
The Great Dirhombicosidodecahedron consists of
40 equilateral triangles, 24 regular pentagrams, and 60 squares.
It has the largest number of faces (124) and edges (240) of all uniform polyhedra. The squares come in 20 coplanar pairs, that is, two squares each lie in the same plane, rotated against each other.
Eigenschaften
- The vertices of a uniform polyhedron all lie on a sphere (its center is called the geometric centroid).
- The vertices joined to a fixed vertex lie on a circle.
Spezielle Klassen
- Platonische Körper: convex regular polyhedra (each one has identical regular faces, and congruent vertices).
Es gibt genau 5 platonische
Körper: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder.
(Dualität liefert wieder platonische Körper)
- Archimedische Körper:
Convex uniform polyhedra, excluding the Platonic solids as well as
prisms and antiprisms.
Each one has regular faces, but not all the same, and all the vertices are
congruent.
Es gibt genau 13 archimedische Körper.
(Dualität liefert die Catalan-Körper)
- Kepler-Poinsot Körper:
The Kepler-Poinsot solids are the non-convex regular polyhedra. Each one has identical regular faces, and identical regular vertex figures.
Es gibt genau 4 Kepler-Poinsot Körper: das große
Dodekaeder, das große Ikosaeder,
das kleine und das große Stern-Dodekaeder.
Die beiden Stern-Dodekader wurden 1619 erstmals von Johannes Kepler beschrieben (wobei das erste bereits im 15. Jahr. auf einem Mosaik von Uccello auftaucht), die anderen beiden 1809 von Louis Poinsot. Jedoch findet sich schon 1568 in dem Buch Perspectivia Corporum Regularium von Wenzel Jamnitzer eine Abbildung des Großen Dodekaeders. Cauchy bewies dann 1810, dass es keine weiteren regulären Polyeder geben kann.
(Dualität liefert wieder Kepler-Poinsot Körper)
Geschichte
The Platonic Solids, discovered by the Pythagoreans, where described
by Plato (in the Timaeus).
Johannes Kepler was the first person since antiquity to
systematically describe all the Archimedean solids.
(However, he made one
mistake).
Badoureau discovered 37 nonconvex uniform polyhedra in the late
nineteenth century (1881), many previously unknown.
- In der Arbeit: Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; and Miller, J. C. P. Uniform Polyhedra. (Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 246, 401-450, 1954)
wurde die Vermutung formuliert, dass es genau 75 solche Körper gibt.
-
Bewiesen wurde dies 1975 von J. Skilling: Uniform polyhedra.
Phil. Trans. Royal Soc. London, Ser. A, 278:111-135, 1975.
- Siehe auch Zvi Har'El:
Uniform solution for uniform polyhedra. Geometriae Dedicata, 47, 1993.
Links: Systematisch
Links: Historische Materialien
Beispiele im Rahmen der Topologie-Vorlesung
- Das Heptaeder (oder "Tetrahemihexaeder" = Nr.04).
Es handelt sich um die reelle projektive Ebene N1.
(siehe Übungausgabe I.7.2).
- Das große Dodekaeder (Nr. 35).
Es handelt sich um die Fläche F4
(siehe Übungausgabe II.5.1).
- Das Oktahemioktaeder (= Nr.03).
Es handelt sich um F1, also den
Torus
(siehe Übungausgabe II.6.1).
- Das Cubohemioktaeder (= Nr.15).
Es handelt sich um N4
(siehe Übungausgabe II.7.1).
Euler-Charakteristik
- für orientierbare Flächen:
Euler-Charakteristik | Nr bei MathConsult
|
2 | 1,2,5,.. (31 Fälle)
|
0
| 3
|
-4
| 13
,14,16
|
-6
| 34
,35,... (10 Fälle)
|
-8
| 30
,31,... (6 Fälle)
|
-16
| 33
,41,... (8 Fälle)
|
-56 | 75
|
- für nicht-orientierbare
Flächen:
Euler-Charakteristik | Nr bei MathConsult
|
1
| 4
|
-2
| 15
|
-4
| 48
,71
|
-6
| 18
,21
|
-8
| 62
,66
|
-10
| 55
|
-12
| 50
,70
|
-18
| 39
,73
|
-28
| 49
,63
|
(Siehe die Einzel-Informationen bei
MathConsult und die genannte Arbeit von Zvi Hav'El.)