sin(1/x)

• Sei X' der Graph der Abbildung sin(1/x):  R₊ → R
• sei X" die Menge der Punkte (0,y) mit -1 ≤ y ≤ 1.
• Sei X die Vereinigung von X' und X".

Eigenschaften:

• X' ist topologisch äquivalent zu R₊ und X ist der Abschluss von X in der Ebene.

• X ist zusammenhängend.
• X ist nicht lokal zusammenhängend.
• X ist nicht weg-zusammenhängend: es gibt genau zwei Wegzusammenhangs-Komponenten
  Die Menge π₀(X) der Wegzusammenhangs-Komponenten von X mit der Quotiententopologie besitzt genau drei offene Mengen.

Der polnische Kreis

• Y' sei der Graph der Abbildung sin(1/x):  ]0,1/π] → R
• Y" sei der Kurvenzug, der aus der Strecke der Punkte (0,y) mit -1 ≤ y ≤ 1, dem oben Halbkreis mit Mittelpunkt (1/(2π),1) und Radius 1/(2π) und der Strecke mit den Punkten (1/π,y), mit 0 ≤ y ≤ 1, besteht.
• Sei Y die Vereinigung von Y' und Y".

Eigenschaften:

• Y ist weg-zusammenhängend,
• Y ist nicht lokal zusammenhängend.

• Sei X der Unterraum aller Punkte (0,y) mit -1 ≤ y ≤ 1, dies ist ein Intervall. Es ist Y/X homöomorph zum Kreis S¹,
  denn die Abbildung x.sin(1/x) : [0,1/π] → R liefert einen Homöomorphismus zwischen dem Intervall [0,1/π] und dem Graph dieser Abbildung.
  Also gilt: H₁(Y/X) = Z, dagegen: H₁(Y,X) = 0,