Topologie: Whitehead-Abbildung/title> </head> <h2>Whitehead-Abbildung</h2> Seien a, b natürliche Zahlen (≥1). Die Whitehead-Abbildung <center> w<sub>ab</sub> : S<sup>a+b-1</sup> → S<sup>a</sup>vS<sup>b</sup> </center> ist folgendermaßen definiert: Betrachte S<sup>a+b-1</sup> als Rand ∂W<sup>a+b</sup> des Würfels W<sup>a+b</sup>, es ist <center> ∂W<sup>a+b</sup> = (∂W<sup>a</sup>+W<sup>b</sup>) ∪ (W<sup>a</sup>+∂W<sup>b</sup>) </center> Definiere <table> <tr><td rowspan=2> w<sub>ab</sub>(x,y) = <td>x/~ <td rowspan=2> für <td>x in ∂W<sup>a</sup> <td rowspan=2> und <td>y in W<sup>b</sup> <tr><td>y/~ <td>W<sup>a</sup> <td>∂W<sup>b </table> (dabei sei x/~ die Äquivalenzklasse von x in W<sup>a</sup>/∂W<sup>a</sup> = S<sup>a</sup>, entsprechend sei y/~ die Äquivalenzklasse von y in W<sup>b</sup>/∂W<sup>b</sup> = S<sup>b</sup>). <p> Sind stetige Abbildung α : S<sup>a</sup> → X und β : S<sup>b</sup> → X gegeben, so schreibt man [α,β] für die Komposition von w<sub>ab</sub> mit der Abbildung S<sup>a</sup>vS<sup>b</sup> → X, die auf S<sup>a</sup> durch α, auf S<sup>b</sup> durch β gegeben ist. <hr> Es gilt: <ul> <table><tr><td bgcolor="yellow"> (1) Seien p<sub>a</sub> : S<sup>a</sup>vS<sup>b</sup> → S<sup>a</sup> und p<sub>b</sub> : S<sup>a</sup>vS<sup>b</sup> → S<sup>b</sup> die Projektionsabbildungen. <br>Die Abbildungen p<sub>a</sub>w<sub>ab</sub> und p<sub>b</sub>w<sub>ab</sub> sind null-homotop. </table> <p> Beweis: Die Abbildung p<sub>a</sub>w<sub>ab</sub> : ∂W<sup>a+b</sup> → S<sup>a</sup> läßt sich offensichtlich auf W<sup>a+b</sup> fortsetzen, nämlich durch W<sup>a+b</sup> → W<sup>a</sup> → W<sup>a</sup>/∂W<sup>a</sup>, wobei die erste Abbildung die Projektion auf die ersten a Koordinaten ist. <p> <table><tr><td bgcolor="yellow"> (2) Die Einhängung Σw<sub>ab</sub> ist null-homotop. </table> <p> Beweis: Die Abbildung Σw<sub>ab</sub> : Σ (∂W<sup>a+b</sup>) → ΣS<sup>a</sup>vΣS<sup>b</sup> ist die folgende Zuordnung: <ul> <li> (x,y,t) wird auf (x,t)/~ abgebildet, falls y zu ∂W<sup>b</sup> gehört, <li> (x,y,t) wird auf (y,t)/~ abgebildet, falls x zu ∂W<sup>a</sup> gehört, </ul> (dabei ist x in W<sup>a</sup>, y in W<sup>b</sup>, und t (in I) ist die Einhängungskoordinate. <p> Es gilt <center> Σw<sub>ab</sub> = w<sub>a+1,b+1</sub>f, </center> wobei f : Σ(∂W<sup>a+b</sup>) → ∂(W<sup>a+1</sup> × W<sup>b+1</sup>) durch f(x,y,t) = (x,t;y,t) gegeben ist. <p> Jede Abbildung S<sup>a+b</sup> = Σ(∂W<sup>a+b</sup>) → ∂(W<sup>a+1</sup> × W<sup>b+1</sup>) = S<sup>a+b+1</sup> ist aber nullhomotop, und mit f ist auch Σw<sub>ab</sub> null-homotop. </ul> Dagegen: <ul> Für den Spezialfall a = b = 2n gilt: <br> <table><tr><td bgcolor="yellow"> Die Abbildung w<sub>2n,2n</sub> ist <b>nicht</b> null-homotop. </table> <p>Beweis: Die Abbildung w<sub>2n,2n</sub> hat die Hopf-Invariante 2 oder -2, siehe zum Beispiel Hilton-Wylie, Theorem 9.5.15. </ul> <hr> <font size=1> <address><a href="mailto:sek@mathematik.uni-bielefeld.de">BIREP</a></address>   Last modified: Mon Apr 26 19:16:47 CEST 2004  </font> </body> </html>