Topologie I: Leitfaden 2

2. Trennung und Zusammenhang, Kompaktheit

Die Trennungsaxiome

Sei X ein topologischer Raum.

T₀	Zu je zwei Punkten x, y ∈ X gibt es eine offene Menge U, die einen der beiden, aber nicht beide Punkte enthält. Es ist also: "x ∈ U und y ∉ U" oder aber: "y ∈ U und x ∉ U".
T₁	Ist x ein Punkt in X, so ist {x} abgeschlossen. (Punkte sind abgeschlossen.) Äquivalent: Zu je zwei Punkten x, y ∈ X gibt es eine offene Menge U, die x, aber nicht y enthält.
T₂	Zu je zwei Punkten x, x' ∈ X gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit x ∈ U und x' ∈ U'.	Hausdorff'sch
T_2,5	Zu je zwei Punkten x, x' ∈ X gibt es offene Mengen U, U' mit x ∈ U und x' ∈ U', so dass die Abschlüsse von U und U' disjunkt sind.
T₃	Ist A eine abgeschlossene Teilmenge von X und x ein Punkt von X, der nicht in A liegt, so gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit: A ⊆ U und x ∈ U'.
T₄	Sind A, A' disjunkte abgeschlossene Teilmengen von X, so gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit A enthalten in U und A' enthalten in U'. Äquivalent: Ist A enthalten in U, wobei A abgeschlossen und U offen ist, so gibt es A' abgeschlossen und U' offen mit A ⊆ U und A' ⊆ U'.
T₅	Sind Y, Y' Teilmengen von X, so dass der Durchschnitt von Y mit dem Abschluss von Y' leer ist und auch der Durchschnitt von Y' mit dem Abschluss von Y leer ist, so gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit Y ⊆ U und Y' ⊆ U'.

Triviale Implikationen

T₁ impliziert T₀,
T₂ impliziert T₁,
T₃+T₁ impliziert T₂,
T₄+T₁ impliziert T₃,
T₅ impliziert T₄
und einige mehr...

Beispiel-Klassen. Man nennt einen topologischen Raum normal, falls er die Eigenschaften T₁ und T₄ hat. Ein normaler Raum ist offensichtlich Hausdorff'sch (also kann man auch definieren: normal = T₂ + T₄).

Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.
(Übungsaufgabe!)
Jeder metrische Raum ist normal.
Also gilt: Jeder Teilraum eines Rⁿ ist normal.

Zusammenhang

Sei X ein topologischer Raum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

Sind U₁, U₂ offene Mengen mit U₁ ∪ U₂ = X und U₁ ∩ U₂ = {}, so ist eine der beiden Mengen U_i leer.
Sind A₁, A₂ abgeschlossene Mengen mit A₁ ∪ A₂ = X und A₁ ∩ A₂ = {}, so ist eine der beiden Mengen A_i leer.
Die einzigen Teilmengen von X, die offen und abgeschlossen sind, sind {} und X selbst.
Sind X₁ und X₂ topologische Räume und ist X topologisch äquivalent zur topologischen Summe X₁+X₂, so ist eine der beiden Mengen X_i leer.
Es gibt keine stetige surjektive Abbildung X → {0,1} (versehen mit der diskreten Topologie).

Wenn diese Eigenschaften erfüllt sind, so nennt man X zusammenhängend.

Man nennt X total unzusammenhängend, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten x, y eine offene und abgeschlossene Teilmenge X' gibt, die x, aber nicht y enthält.

Beispiel für einen total unzusammenhängenden Raum

Cantor'sches Diskontinuum
Wir bilden den Durchschnitt C der Mengen C_t, dabei entsteht C_t aus dem Einheitsintervall auf folgende Weise: Teile [0,1] in 3^t gleichlange Intervalle, und entferne gewisse offene Intervalle U_i = ]i/3^t,(i+1)/3^t[, und zwar wird U_i entfernt, falls in der triadischen Entwicklung von i eine 1 vorkommt.

Wichtige Eigenschaften:
- C ist abgeschlossene (und beschränkte) Teilmenge von R, also kompakt.
- C ist total unzusammenhängend.
- C hat keine "isolierten Punkte" (es gibt keine einelementigen offenen Teilmengen).

Kompaktheit

Man nennt einen Raum kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Dabei ist eine Überdeckung von X eine Familie (Y_i)_{i ∈ S}, wobei Y_i Teilmengen von X sind, so dass X die Vereinigung dieser Teilmengen ist. Die Überdeckung (Y_i)_i heißt offen, falls alle Y_i offen sind; sie heißt endlich, wenn die Indexmenge S endlich ist. Eine Teilüberdeckung ist von der Form (Y_i)_{i ∈ S'}, wobei S' ⊆ S ist.
Ist Y eine Teilmenge des topologischen Raums X, so heißt Y kompakter Teilraum, falls Y mit der Relativtopologie kompakt ist. Statt relativ-offene Teilmengen von Y kann man auch offene Teilmengen von X betrachten (und arbeitet dann mit einer Familie offener Mengen (Y_i)_i von X, so dass Y in der Vereinigung dieser Y_i enthalten ist...)

Satz 2.
1.   Abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raums sind kompakt.
2.   Kompakte Teilmengen eines Hausdorffraums sind abgeschlossen.
3.   Bilder kompakter Teilmengen unter stetigen Abbildungen sind kompakt.
4.   Ist f: X → Y eine stetige Abbildung mit X kompakt, Y Hausdorffsch, so gilt: Ist A abgeschlossen in X, so ist f(A) abgeschlossen in Y.
5.   Ist f: X → Y stetige bijektive Abbildung mit X kompakt, Y Hausdorffsch, so ist f ein Homöomorphismus.

Beweise.

Der Beweis von (1) ist einfach! Sei X kompakt. Sei A abgeschlossen in X. Nimm eine offene Überdeckung von A durch offene Teilmengen des Gesamtraums und zusätzlich das Komplement von A...

Der Beweis von (2) ist wichtig: Sei X ein Hausdorff-Raum. Nimm eine kompakte Teilmenge Y von X. Sei z ∈ X, das nicht in Y liegt. Zu konstruieren ist eine offene Menge U, so dass z ∈ U und U im Komplement von Y enthalten ist. Zu jedem y ∈ Y wähle U_y, V_y offene disjunkte Mengen mit z ∈ U_y und y ∈ V_y. Die Mengen (V_y)_{y ∈ Y} bilden eine offene Überdeckung von Y, also gibt es eine endliche Teilüberdeckung, etwa (V_y)_{y ∈ Y'}. Sei nun U der Durchschnitt der Mengen U_y mit y ∈ Y'. Dies ist ein endlicher Durchschnitt offener Mengen, also offen. Es ist z ∈ U_y für jedes y, also z ∈ U. Und U liegt im Komplement von Y, denn liegt x in Y, so liegt y in einem V_y mit y ∈ Y', also gerade nicht in dem entsprechenden U_y (die U's und V's mit gleichem Index sind disjunkt) und demnach nicht in U.

Beweis von (3) ist ziemlich trivial. Sei f: X → Y stetig. Nimm eine offene Überdeckung (U_i)_i von f(X), nimm die Urbilder f^-1(U_i), wir erhalten eine offene Überdeckung von X...

(4) folgt unmittelbar aus (1), (2), (3). Ist A abgeschlossen in X, so ist A nach (1) kompakt, also f(A) kompakt nach (3), also abgeschlossen nach (2).

(5) folgt unmittelbar aus (4).

Lebesgue-Zahl einer Überdeckung eines kompakten metrischen Raums

Satz. Sei X ein kompakter metrischer Raum und U eine offene Überdeckung von X. Dann gibt es eine reelle Zahl δ > 0 mit folgender Eigenschaft: für jedes x ∈ X liegt die δ-Umgebung von x ganz in einer der Mengen in U.

Man nennt ein solches δ eine Lebesgue-Zahl der Überdeckung.

₁

Für jedes i sei f_i die Abstandsfunktion zum Komplement von U_i. Es gilt:

f_i ist eine stetige Funktion X → R,
f_i(x) = 0 für x im Komplement von U_i,
f_i(x) > 0 für x ∈ U_i.

f ist eine stetige Funktion,
f(x) > 0 für alle x (denn U ist eine Überdeckung von X).

Eine stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten Raum nimmt ihr Infimum an, denn f(X) ist kompakte Teilmenge von R, also beschränkt und abgeschlossen. Es gibt also x₀ ∈ X mit f(x₀) ≤ f(x) für alle x ∈ X.

Setze δ = f(x₀). Dann gilt: Ist x ∈ X, so ist δ ≤ f(x) = max f_i(x). Es gibt ein j mit f(x) = f_j(x). Also ist δ ≤ f_j(x). Demnach ist die δ-Umgebung U_δ(x) von x ganz in U_j enthalten.

T₄-Räume

Satz 3. Sei X ein T₄-Raum

(Urysohn) Sind A, A' disjunkte abgeschlossene Teilmengen von X, so gibt es eine stetige Funktion f: X → I mit f(A) = 0, f(A') = 1.
(Tietze) Ist A eine abgeschlossene Teilmenge von X und g: A → I eine stetige Abbildung, so gibt es eine stetige Abbildung g': X → I, deren Einschränkung auf A gerade g ist.
(Tietze') Ist A eine abgeschlossene Teilmenge von X und g: A → R eine stetige Abbildung, so gibt es eine stetige Abbildung g': X → R, deren Einschränkung auf A gerade g ist.

Bemerkung 1. Es gilt trivialerweise die Umkehrung von (Urysohn): Gibt es eine stetige Funktion f: X → I mit f(A) = 0, f(A') = 1, so gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit A ⊆ U und A' ⊆ U': zum Beispiel sei U das Urbild unter f von [0,1/2[ und U' das Urbild von ]1/2,1].

Bemerkung 2. (Tietze) impliziert (Urysohn): Die Vereinigung von A und A' ist abgeschlossen. Durch f(A) = 0 und f(A') = 1 wird auf dieser Vereinigung eine stetige Funktion mit Werten in I definiert. (Tietze) liefert eine stetige Fortsetzung!

(Zur Erinnerung: Man nennt eine rationale Zahl einen dyadischen Bruch, wenn der Nenner eine Zweierpotenz ist.)

ⁿ

₄

Eine andere Visualisierung, und zwar des ersten und des zweiten Schritts:

Zusätzlich setzen wir U(a) = {}, falls a ≤ 0, und U(a) = X, falls 1 < a. Dann ist U(a) für alle dyadischen Zahlen definiert.
(Setzen wir A(a) = {}, falls a < 0, und A(a) = X, falls 1 ≤ a, so haben wir U(a) und A(a) für alle dyadischen Zahlen definiert, und es gilt ganz allgemein: U(a) ist jeweils in A(a) enthalten, und ist a < b, so ist A(a) in U(b) enthalten.)

Sei nun x ∈ X. Sei f(x) das Infimum der dyadischen Zahlen a mit x ∈ U(a). (Es gibt solche Zahlen a, zum Beispiel a = 2, und die Menge dieser Zahlen ist nach unten beschränkt, zum Beispiel durch a = -2.)

Offensichtlich gilt: 0 ≤ f(x) ≤ 1, für alle x.

Zu zeigen bleibt die Stetigkeit von f. Es gilt

Ist x ∈ A(b), so ist f(x) ≤ b.
Ist x ∉ U(b), so ist b ≤ f(x).

Beweis von 1: Ist x ∈ A(b), so ist x ∈ U(c) für jedes b < c, also ist jede untere Schranke der c mit x ∈ U(c) kleiner oder gleich b, also f(x) ≤ b.
Beweis von 2: Ist x ∉ U(b) und ist x ∈ U(a), so ist b < a. (Denn wäre a ≤ b, so wäre U(a) ⊆ U(b), also x ∈ U(b), Widerspruch.) Also ist b eine untere Schranke aller a mit x ∈ U(a) und demnach b ≤ f(x).

(Wir brauchen das nicht im weiteren Beweis, aber es erleichtert die Vorstellung.)

Nun also der Stetigkeitsbeweis: Wir betrachten ein x ∈ X und ein ε > 0. Wir zeigen: es gibt eine offene Menge U in X, die x enthält und deren Bild ganz in U_ε(f(x)) liegt. Wähle dyadische Zahlen a, b mit
f(x)-ε < a < f(x) < b < f(x)+ε,
und nimm U = U(b)-A(a). (Also: U ist der Durchschnitt von U(b) mit dem Komplement von A(a).)

Dies ist eine offene Menge (als Durchschnitt zweier offener Mengen).
x ∈ U(b), denn nach 2. würde sonst b ≤ f(x) gelten.
x ∉ A(a), denn nach 1. würde sonst f(x) ≤ a folgen. Also x ∈ U.
Ist y ∈ U, so ist y ∈ U(b), also nach Definition von f(y) ist f(y) ≤ b.
Ist y ∈ U, so ist y ∉ A(a), also auch ∉ U(a) (denn U(a) ⊆ A(a)), also haben wir nach 2.: a ≤ f(y).
Also: Ist y ∈ U, so liegt f(y) in der ε-Umgebung von f(x).
Es bleibt zu zeigen: f ist auf A konstant 0, und f ist auf dem Komplement von U konstant 1.

Wir brauchen vor allem die offenen Mengen U(a); statt A(a) hätten wir jeweils (außer für a = 0) auch den Abschluss von U(a) nehmen können!)

Um (Tietze) zu beweisen, zeigen wir zuerst folgendes Lemma:

Lemma. Sei X ein T₄-Raum, A eine abgeschlossene Teilmenge, sei r>0 reelle Zahl. Dann gilt: Zu jeder stetigen Abbildung g: A → [-r,r] gibt es eine stetige Abbildung G: X → [-r/3,r/3], so dass für alle x ∈ A gilt: |g(x)-G(x)| ≤ 2r/3.

Wir nennen G eine "Drittelapproximation von g".

Beweis: Sei B das Urbild unter g des Intervalls [-r,-r/3] und B' das Urbild des Intervalls [r/3,r]. Dies sind abgeschlossene Mengen in A (denn g ist stetig), also abgeschlossen in X (denn A ist abgeschlossen in X). Das Urysohn-Lemma liefert eine stetige Funktion G: X → [-r/3,r/3], die auf B den Wert -r/3, auf B' den Wert r/3 annimmt. Dies ist die gesuchte Abbildung.

Beweis von (Tietze). Sei also ein stetiges g: X → [-1,1] gegeben. Wähle eine Drittelapproximation G₁ zu g, dies ist also eine Abbildung G₁: A → [-1/3,1/3], mit |g(x)-G₁(x)| ≤ 2/3.

Als nächstes wählen wir eine Drittelapproximation zu g-G₁: A → [-2/3,2/3] usw. ...
Induktionsschritt: Seien schon stetige Abbildungen G_i: A → [-2^i-1/3ⁱ,2^i-1/3ⁱ] konstruiert für 1 ≤ i ≤ n mit |g(x)-G₁(x)-....-G_n| ≤ (2/3)ⁿ.
Wir wählen eine Drittelapproximation G_n+1 zu g-G₁-...-G_n: A → [-(2/3)ⁿ⁺¹,(2/3)ⁿ⁺¹]. Dieses G_n+1 ist eine stetige Abbildung G_n+1: X → [-2ⁿ/3ⁿ⁺¹,2ⁿ/3ⁿ⁺¹], und es gilt |g(x)-G₁(x)-....-G_n+1| ≤ (2/3)ⁿ⁺¹.

Es bleibt zu zeigen, dass die Reihe g' = G₁+...+G_n+... punktweise konvergiert, eine stetige Abbildung g': X → [-1,1] liefert und dass die Einschränkung von g' auf A mit g übereinstimmt. (Alles wie in der Analysis: wir verwenden das Weierstrass'sche Kriterium für "gleichmäßige Konvergenz").

Die zweite Fassung des Tietze'schen Fortsetzungssatzes folgt aus der ersten: Sei also A abgeschlossene Teilmenge des T₄-Raums X und g: A → R eine stetige Abbildung. Bekanntlich ist R topologisch äquivalent zum offenen Intervall ]0,1[; sei h: R → ]0,1[ ein Homöomorphismus.
(Zum Beispiel kann man h(x) = 1/π arctan(x) + 1/2 nehmen!)
Jetzt betrachte hg: A → ]0,1[. Wie wir schon wissen, besitzt hg eine stetige Fortsetzung auf X. Um allerdings den schon bewiesenen Tietze'schen Satz zu verwenden, müssen wir hg als Abbildung A → [0,1] auffassen (denn der Zielraum muss das Einheitsintervall oder ein dazu topologisch äquivalenter Raum sein). Die Fortsetzung ist also eine stetige Abbildung s: X → [0,1] (mit s|_A = hg). Sollte das Bild dieser Abbildung in ]0,1[ enthalten sein, so können wir die Umkehrabbildung h^-1 anwenden, aber im Allgemeinen wird das nicht der Fall sein.
Trick: Wir verwenden noch einmal das Urysohn-Lemma, und zwar für A und B= s^-1({0,1}). Beachte, dass B abgeschlossen in X ist und disjunkt zu A. Also gibt es ein stetiges f: X → [0,1] mit f(A) = 1 und f(B) = 0. Man sieht sofort: Multiplizieren wir s mit f, so erhalten wir eine stetige Abbildung sf: X → [0,1], deren Bild ganz in ]0,1[ enthalten ist, und sf ist ebenfalls eine Fortsetzung von hg, also sf|_A = hg. Die Hintereinanderschaltung von sf: X → [0,1] und h^-1: ]0,1[ → R ist die gewünschte Fortsetzung von g.