6. Die Fundamentalgruppe des Kreises

Stetige Abbildungen S¹ → S¹

Als Erstes mache man sich klar, dass es Unmengen an stetigen Abbildungen S¹ → S¹ gibt. Um eine eher exotische Abbildung vor Augen zu haben, beginne man mit einer Peano-Kurve F: I → I×I (mit F(0) = [0,0] und F(1) = [1,1]) (siehe Kapitel 1). Schaltet man die erste Projektion p₁: I×I → I dahinter, so erhält man eine Abbildung f = p₁F: I → I mit f(0) = 0 und f(1) = 1. Da S¹ aus I durch Identifikation von 0 und 1 entsteht, liefert f eine stetige Abbildung S¹ → S¹ mit folgender Eigenschaft:  Das Urbild eines jeden Punkts ist überabzählbar!

Wichtige Beispiele sind die Potenzfunktionen zⁿ mit n ∈ Z. (Die Multiplikation auf dem Einheitskreis, die hier verwandt wird, ist die der komplexen Zahlen!)

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Ist X ein beliebiger topologischer Raum, so sei daran erinnert, dass man eine stetige Abbildung S¹ → X eine Schlinge in X nennt. Wir betrachten hier also Schlingen in S¹.

Lemma. Definiere e: R → S¹ durch e(t) = exp(2πit) für t ∈ R. Sei f: I → S¹ eine stetige Abbildung. Sei f(0) = s. Zu jedem r ∈ R mit e(r) = s gibt es genau eine stetige Abbildung F: I → R mit f = eF und F(0) = r. Man nennt F die Hochhebung von f mit Anfangspunkt r.

Zusatz:  Ist F eine Hochhebung (mit Anfangspunkt r), so ist auch F+z mit z ∈ Z eine Hochhebung (mit Anfangspunkt r+z), und man erhält alle Hochhebungen auf diese Weise. (Dabei steht F+z für die Abbildung (F+z)(t) = F(t)+z.)

Beweis:  Ist f nicht surjektiv, so ist die Behauptung klar. (Denn liegt der Punkt y von S¹ nicht im Bild von f, so ist f eine Abbildung I → S¹\{y}. Das Urbild von S¹\{y} unter e ist eine abzählbare Vereinigung offener disjunkter Intervalle, die jeweils homöomorph auf S¹\{y} abgebildet werden ...)

Im Allgemeinen sucht man eine natürliche Zahl k, so dass die Bilder der Intervalle [(i-1)/k,i/k] mit 1 ≤ i ≤ k unter f auf echte Teilmengen von S¹ abgebildet werden. (Nimm eine offene Überdeckung {U₁, U²} von S¹ durch zwei echte Teilmengen, und betrachte {f^-1(U₁),f^-1(U₂)}. Dies ist eine offene Überdeckung von I, also gibt es dazu eine Lebesgue-Zahl δ (siehe Kapitel 2). Sei k eine natürliche Zahl > 1/δ.)
Nun definiert man induktiv die Einschränkungen F_i = F|_{[(i-1)/k,i/k]}, und zwar als Hochhebungen von f_i = f|_{[(i-1)/k,i/k]}: Es sei F₁ die Hochhebung von f₁ mit Anfangspunkt r. Ist schon F_i definiert, so sei F_i+1 die Hochhebung von f_i+1 mit Anfangspunkt F_i(i/k). Da nach Konstruktion der Endpunkt von F_i mit dem Anfangspunkt von F_i+1 übereinstimmt, erhalten wir insgesamt eine stetige Abbildung F:I → R, und offensichtlich ist dies auch die einzige Hochhebung von f mit Anfangspunkt r.

Eigenschaften des Abbildungsgrads: 

1. Die Potenzfunktion zⁿ ist eine stetige Funktion S¹ → S¹. Ihr Abbildungsgrad ist d(zⁿ) = n.
2. Ist f: S¹ → S¹ stetig und nicht surjektiv, so ist d(f) = 0.
3. Sind f,g: S¹ → S¹ stetige Abbildungen, so ist d(fg) = d(f) + d(g) und d(f/g) = d(f) - d(g). (Dabei ist (fg)(x) = f(x)g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x), und zwar fassen wir S¹ als Menge der komplexen Zahlen mit Betrag 1 auf und verwenden die Multiplikation komplexer Zahlen.)
4. Wichtig: Homotope Schlingen haben den gleichen Abbildungsgrad.
   Ist f: S¹×I → S¹ stetig mit f(0,t) = f(1,t) für alle t, so haben alle Abbildungen f|_S¹×{t} den gleichen Abbildungsgrad
   Beweis:  Wir setzen f_t(x) = f(x,t) und erhalten auf diese Weise für jedes 0 ≤ t ≤ 1 eine stetige Abbildung f_t: S¹ → S¹. Wir fassen S¹ als Menge der komplexen Zahlen mit Betrag 1 auf. Wähle eine natürliche Zahl n mit folgender Eigenschaft:  Sind t,t' ∈ I mit |t-t'| ≤ 1/n, so ist |f(x,t)-f(x,t')| < 1. (Verwende die gleichmäßige Stetigkeit von f.) Multiplizieren wir f(x,t)-f(x,t') mit f(x,t')^-1, so erhalten wir |f(x,t)/f(x,t') - 1| < 1. Wir sehen also, dass die Funktion f_t/f_t': S¹ → S¹ nicht surjektiv ist, also den Abbildungsgrad 0 hat. Demnach ist d(f_t) = d(f_t'). Insbesondere sieht man durch Induktion, dass gilt:  d(f₀) = d(f_t) für t = i/n für i=1,...,n.