Kategorielle Grundbegriffe:  additive Kategorien

1. Hom(X,Y) ist eine abelsche Gruppe, für jedes Objektpaar X,Y
2. Die Komposition ist links-distributiv
   (es gilt also jeweils also f(g₁+g₂) = fg₁+fg₂)
   und auch rechts-distributiv
   (es gilt jeweils (g₁+g₂)h = g₁h+g₂h)
3. Jede endliche Menge von Objekten besitzt ein Koprodukt.

Offensichtlich gilt: In einer additiven Kategorie ist die Endomorphismenmenge jedes Objekts ein Ring (mit 1) [man nennt daher additive Kategorien manchmal auch "Ringe mit mehreren Objekten"].

Satz. Sei A eine additive Kategorie, dann gibt es in A auch (endliche) Produkte, und Koprodukte und Produkte stimmen überein.

Genauer gilt: Sei (A,qi) ein Koprodukt der Objekte A1,...,An in A. Dann gibt es Morphismen pi : A → Ai, so dass (A,pi) Produkt der Objekte A1,...,An ist.

Beweis: Seien also die Objekte A₁,...,A_n gegeben. Sei (A,q_i) ihr Koprodukt. Definiere p_j: A → A_i durch

pjqi =	1	für	j = i
	0		j ≠ i

(dabei sei jeweils 1 der Identitätsmorphismus, und 0 das Nullelement der abelschen Gruppe Hom(A_i,A_j)). Setzt man h = Σ_i=1ⁿ q_ip_i, so gilt hq_j = q_j für alle j (nachrechnen - hier verwendet man die Rechts-Distributivität), also folgt h = 1 (da die Morphismen q_j zu einem Koprodukt gehören).

Wir zeigen nun: (A,p_i) ist Produkt.
Seien also Morphismen f_i : Z → A_i gegeben. Definiere f : Z → A durch f = Σ q_jf_j.

Es ist p_if = p_i(Σ q_jp_j) = f_i (verwendet wure die Links-Distributivität).

Ist andererseits ein Morphismus f' : Z → A mit p_if' = f_i für alle i gegeben, so ist f' = (Σ q_ip_i)f' = Σ q_ip_if' = Σ q_if_i = f (hier braucht man die Rechts-Distributivität).

Zusatz. Wir haben gezeigt: Gilt (1) und die Links-Distributivität, so ist jedes Koprodukt zumindest ein "schwaches Produkt" (es gilt die Existenzaussage, aber möglicherweise nicht die Eindeutigkeits-Aussage).

Folgerung. Sei A eine additive Kategorie, dann ist auch die duale Kategorie additiv.

Abschwächung 1. Sind nur die Bedingungen (1) und (2) erfüllt, so spricht man von einer prä-additiven Kategorie.
Jede volle Unterkategorie einer additiven Kategorie ist eine prä-additive Kategorie.
Zu jeder prä-additiven Kategorie C kann man (durch Hinzufügen "formaler Summen") eine additive Kategorie A konstruieren, sodass eine volle Unterkategorie ist und jedes Objekt in A eine endliche direkte Summe von Objekten in C ist; die Kategorie A ist durch C bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt.

Abschwächung 2. Setzt man nur voraus, dass die Bedingung (1) und die Links-Distributivität gilt, so erhält man etwas, was man links-fast-prä-additiv nennen sollte: die Endomorphismenmengen von Objekten in derartigen Kategorien sind "Links-Fastringe" (die Addition ist eine Gruppe, die Multiplikation eine Halbgruppe, es gilt das Links-Distributivgesetz; dabei wird meist nicht vorausgesetzt, dass die additive Gruppe abelsch ist).

Typisches Beispiel eines Rechts-Fastrings: Sei V ein Vektorraum, A(V) die Menge der affinen Abbildungen V → V. Addition sei punktweise definiert, als Multiplikation nimmt man die Komposition.