Kategorientheorie 1

Kategorielle Grundbegriffe 1: Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen

Der Begriff einer Kategorie

Wenn man von einer "Kategorie" spricht, so meint man eine Klasse mathematischer Objekte (die gleichartige Struktur haben) und die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen diesen Objekten, siehe die Beispiele weiter unten.

Eine Kategorie C ist durch folgende Daten gegeben:

Eine Klasse O(C), man nennt die Elemente in O(C) die Objekte der Kategorie.
(Statt von einer "Klasse" von Objekten zu reden, würde man wohl lieber sagen, dass eine "Menge" von Objekten gegeben ist, aber man muss wegen möglicher mengentheoretischer Schwierigkeiten auf ein anderes Wort als "Menge" zugreifen, also eben auf das Wort "Klasse").
Zu jedem Paar X,Y von Objekten eine Menge Mor(X,Y), man nennt die Elemente in Mor(X,Y) die Morphismen von X nach Y und man notiert so ein Element f in Mor(X,Y) auch in der Form f: X → Y. Statt Mor(X,Y) schreibt man auch Mor_C(X,Y) oder auch C(X,Y).
(DieNotation f: X → Y soll daran erinnern, dass in den meisten Fällen die Objekte Mengen mit einer Zustatzstruktur sind, und dass die Morphismen mengentheoretische Abbildungen sind, die die Zusatzstruktur respektieren; im allgemeinen bedeutet diese Notation f: X → Y aber nur, dass f zur Menge Mor(X,Y) gehört, und nicht etwa, dass "Elementen" von X "Elemente" von Y zugeordnet werden - im Rahmen der Kategorientheorie haben Objekte keine Elemente!)
Eine Verknüpfung Mor(X,Y) × Mor(Y,Z) → Mor(X,Z); das Bild des Paares (f,g) mit f: X →Y und g: Y →Z unter dieser Verknüpfung wird meist einfach als gf (oder g o f) notiert. Man nennt diese Verknüpfung die Komposition von Morphismen.

Dabei müssen folgende Axiome erfüllt sein:

(Assoziativität) Sind Morphismen f: X → Y, g: Y → Z, h: Z → A gegeben, so gilt (hg)f = h(gf).
(Identitäten) Zu jedem Objekt X gibt es einen Morphismus 1_X in Mor(X,X) mit f1_X = f und 1_Xg für und alle Morphismen f: X → Y und g: W → X.

Beispiele von Kategorien

Wir notieren jeweils die Objekte und die Morphismen, eigentlich müssten wir auch die Komposition der Morphismen notieren, aber in allen Fällen handelt es sich einfach um die Hintereinanderschaltung der Abbildungen, oder aber (im Fall der Homotopiekategorie der topologischen Räume) um eine durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen induzierte Operation. - Wir könnten natürlich auch darauf verzichten, die Objekte zu notieren, da der Name einer Kategorie üblicherweise einfach auf die Objekte verweist! Einigen der Kategorien wird hier ein Name gegeben (wie Gr für "Gruppen", Top für "topologische Räume), damit später damit gearbeitet werden kann).

Die Kategorie Men der Mengen
Die Kategorie Gr der Gruppen
Die Kategorie Ab der abelschen Gruppen
Die Kategorie der Vektorräume (über einem festen Körper k)
Die Kategorie der Ringe
Die Kategorie Top der topologischen Räume
Die Kategorie Top_* der punktierten topologischen Räume
Die Kategorie der metrischen Räume

Die Homotopie-Kategorie der topologischen Räume

OBJEKTE:	topologische Räume
MORPHISMEN:	Homotopieklassen stetiger Abbildungen
Im Gegensatz zu allen vorrangegangenen Beispielen sind hier die Morphismen keine Abbildungen, sondern Äquivalenzklassen von Abbildungen!

Ist C eine Kategorie, so zeigt man leicht, dass die im zweiten Axiom geforderten Elemente 1_X jeweils eindeutig bestimmt sind (so wie man bei Gruppen zeigt, dass es nur ein Einselement gibt).

Sind Morphismen f: X → Y und g: Y → X mit gf = 1_X und fg = 1_Y gegeben, so nennt man f,g (zueinander inverse) Isomorphismen und man sagt dann, dass die Objekte X, Y isomorph sind.

Es sollte klar sein, was man unter einer Unterkategorie versteht: C' ist eine Unterkategorie der Kategorie C, wenn gilt:

O(C') ist eine Unterklasse von O(C).
für jedes Paar von Objekten X, Y in O(C') ist C'(X,Y) eine Teilmenge von C(X,Y),
Ist f in C'(X,Y) und g in C'(Y,Z), so gehört gf (gebildet in C) zu C'(X,Z).
Für jedes X in C' ist 1_X (gebildet in C) in C'(X,X).

Gilt in (2) sogar:

für jedes Paar von Objekten X, Y in O(C') ist C'(X,Y) = C(X,Y)

so nennt man C' eine volle Unterkategorie von C. In diesem Fall sind die Bedingungen (3) und (4) automatisch erfüllt.

Beispiel: Die Kategorie Ab der abelschen Gruppen ist eine volle Unterkategorie der Kategorie Gr der Gruppen.

Funktoren

Seien C und D Kategorien. Ein Funktor F: C → D ist durch folgende Daten gegeben:

Jedem Objekt X in O(C) ist ein Objekt F(X) in O(D) zugeordnet.
Jedem Morphismus f in C(X,Y) ist ein Morphismus F(f) in D(F(X),F(Y)) zugeordnet,

wobei die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sein müssen:

Sind Morphismen f: X → Y und g: Y → Z in C gegeben, so ist F(gf) = F(g)F(f).
Für jedes Objekt X in C ist F(1_X) = 1_F(X).

kovarianten Funktoren

(und nicht in D(F(X),F(Y)))

(statt F(gf) = F(g)F(f))

Beispiele von Funktoren:

π₁: Top_* → Gr.
H₁: Top → Ab.
Ist C' eine Unterkategorie der Kategorie C, so ist die Inklusion ein Funktor, man nennt ihn einen Einbettungskfunktor.
- Beispiel: der Einbettungsfunktor Ab → Gr.
Vergissfunktoren: Dies sind Funktoren, die dadurch gegeben sind, dass man eine gegebene Zusatzstruktur vergisst.
- Der Vergissfunktor Gr → Meng (jeder Gruppe wird die zugrundeliegende Menge zugeordnet, jeder Gruppenhomomorphismus f diese Abbildung f, nun einfach ausgefasst als mengentheoretische Abbildung, zugeordnet).
- Der Vergissfunktor Top → Meng (jedem topologischen Raum wird die zugrundeliegende Menge zugeordnet, jeder stetigen Abbildung f diese Abbildung f, nun einfach ausgefasst als mengentheoretische Abbildung, zugeordnet).
- Der Vergissfunktor Top_* → Top (jedem punktierten Raum (X,x₀) wird der Raum X zugeordnet - man "vergisst" den Basispunkt; jeder punktierten Abbildungen f: (X,x₀) → (Y,y₀) wird diese Abbildung f, nun einfach ausgefasst als Abbildung f: X → Y, zugeordnet).

Natürliche Transformationen

Seien C und D Kategorien. Seien F,G: C → D Funktoren. Eine natürliche Transformation φ: F → G ist folgendermaßen gegeben:

Zu jedem Objekt X in O(C) ist ein Morphismus φ_X: F(X) → G(X) gegeben,

sodass gilt:

Für jeden Morphismus f: X → Y in C gilt φ_YF(f) = G(f)φ_X.

Beispiel einer natürlichen Transformation:

Betrachte den Funktor H₁: Top → Ab als Funktor Top_* → Gr (also als Hintereinanderschaltung des Vergissfunktors Top_* → Top, des eigentlichen Funktors H₁ und des Einbettungsfunktors Ab → Gr).
Die Hurewicz-Homomorphismen
φ_(X,x): π₁(X,x) → H₁(X) liefern eine natürliche Transformation φ: π₁ → H₁

OBJEKTE:	punktierte topologische Räume
MORPHISMEN:	stetige Abbildungen, die Basispunkt auf Basispunkt abbilden

OBJEKTE:	Ringe
MORPHISMEN:	Ring-Homorphismen