Kommutative Diagramme
In der Kategorientheorie ist es üblich, Aussagen über die Gleichheit
von Morphismen durch Diagramme (ebene Diagramme, räumliche Diagramme) zu
veranschaulichen: solche Diagramme bestehen aus Punkten und Pfeilen, wobei die
Pfeile von einem dieser Punkte starten und in einem anderen dieser Punkte enden. Die
Punkte werden mit den Namen von Objekten der Kategorie C belegt, die
Pfeile mit den Namen von passenden Morphismen.
(Ist f: X → Y ein Morphismus in
C, so muss eben ein Pfeil, der mit f belegt ist, in X beginnen und in Y
enden.) Dabei dürfen durchaus mehrere Punkte mit dem gleichen Objekt,
mehrere Pfeile mit dem gleichen Morphismus belegt werden.
Ein derartiges Diagramm nennt man kommutativ, wenn
für alle Wege, die in einem Punkt starten und in einem Punkt enden,
die Kompositionen der entsprechenden Morphismen (entlang der jeweiligen Wege)
übereinstimmen.
Beispiel.
Dieses Diagramm ist kommutativ, wenn die folgenden beiden Bedingungen
erfüllt sind:
- g2f1 = h1g1,
- g3f2 = h2g2.
Denn dann gilt automatisch auch die zusätzliche Forderung, dass nämlich
die Kompositionen der drei Wege, die in X1 starten und in
Y3 enden, übereinstimmen. (Es sind dies die Morphismen
g3f2f1, h2g2f1 und
h2h1g1.)