Kategorientheorie 3

Objekte mit universellen Eigenschaften

Initiales Objekt, finales Objekt

Man nennt 0 ein initiales Objekt, falls es zu jedem Objekt X der Kategorie genau einen Morphismus 0 → X gibt.
Dualer Begriff: Man nennt 0' ein finales Objekt, falls es zu jedem Objekt X der Kategorie genau einen Morphismus X → 0' gibt.

Produkt, Koprodukt

Sei C eine Kategorie. Sei X_i eine Familie von Objekten in C.

Man nennt (X,p_i : X → X_i) Produkt der Objekte X_i, falls die Zuordnung

Hom(W,X) → Π Hom(W,X_i) die f aus Hom(W,X) auf (p_if) abbildet, für alle Objekte W bijektiv ist.
(man kann dies folgendermaßen formulieren: Zu jedem Objekt W und jeder Familie von Morphismen f_i : W → X_i gibt es genau ein f : W → mit f_i = p_if - die Existenz der Morphismen f_i ist die Surjektivität der Zuordnung, die Eindeutigkeit der Morphismen f_i die Injektivität.)

Dualer Begriff: Koprodukt. Es ist also (X,u_i : X_i → X) Koprodukt der Objekte X_i, wenn die Zuordnung

Hom(X,Y) → Π Hom(X_i,Y) die f aus Hom(X,Y) auf (fu_i) abbildet, für alle Objekte Y bijektiv ist.