S (Mengen)
S → |k[S]|
(Einbettung der
Erzeugendenmenge)
| V (k-Vektorräume)
(k ein Körper)
k[|V|] → V
| k[?] : S → V
k[S] = ein Vektorraum mit Basis S
(man nennt k[S] den von S frei erzeugten
Vektorraum).
| |?| : V → S
(Vergiss-Funktor)
| V(k[S],V) ≅ S(S,|V|)
S (Mengen)
S → |R[S]|
(Einbettung der
Erzeugendenmenge)
| Mod-R (R-Moduln)
(R ein Ring)
R[|M|] → M
| k[?] : S → Mod-R
R[S] = freier R-Modul mit Basis S
| |?| : Mod-R → S
(Vergiss-Funktor)
| HomR(R[S],M) ≅
S(S,|M|)
S (Mengen)
S → |F(S)|
(Einbettung der
Erzeugendenmenge)
| Gr (Gruppen)
F(|G|) → G
(zeigt: G ist
Faktorgruppe einer freien Gruppe)
| F : S → Gr
F(S) = die von S frei erzeugte Gruppe
| |?| : Gr → S
(Vergiss-Funktor)
| Gr(F(S),G) ≅ S(S,|G|)
Gr (Gruppen)
G → G/G'
(kanon. Projektion)
| Ab (abelsche Gruppen)
|A|/0 → A
(Identität)
| ?/?' : Gr → Ab
Bildung der maximalen abelschen Faktorgruppe.
| |?| : Ab → Gr
(Vergiss-Funktor)
| Ab(G/G',A) ≅ Gr(G,|A|)
S (Mengen)
S → |d(S)|
(eine Bijektion)
| Top (Top. Räume)
d(|X|) → X
(ebenfalls bijektiv)
| F : S → Top
d(S) = (S,P(S))
(S mit der diskreten Topologie)
| |?| : Top → S
(Vergiss-Funktor)
| Top(d(S),X) ≅ S(S,|X|)
Rechtsadjungierte Funktoren zu Vergiss-Funktoren:
(Notwendig ist: Der Vergiss-Funktor muss mit Koprodukten vertauschen!)
Top (Top. Räume)
X → t(|X|)
(Bijektion)
| S (Mengen)
|t(S)| → S
(ebenfalls bijektiv)
| |?| : Top → S
(Vergiss-Funktor)
| F : S → Top
t(S) = (S,{∅,S})
(S mit der trivialen Topologie)
| S(|X|,S) ≅ Top(X,t(S))
Tensor - Hom - Beziehungen:
Mod-R (R-Moduln)
(R ein Ring)
| Mod-S (S-Moduln)
(S ein Ring)
|
Gegeben ein R-S-Bimodul RTS
HomS(M⊗T,N) ≅
HomR(M,HomS(T,N))
Mod-R → Mod-S
Tensorieren mit T
| HomS(T,-) :
Mod-S → Mod-R
| Top
| Top
|
Gegeben ein lokalkompakter Raum L
Top(X×L,Y) ≅
Top(X,C(L,Y))
-×L : Top → Top
(Produktbildung mit L)
| HomS(T,-) :
C(L,-) : Top → Top
C(L,Y) = Top(L,Y) mit der kompakt-offenen Topologie
Andere Beispiele:
Simp
(Simpliziale Mengen)
S → |Sing(S)|
| Top (top. Räume)
|Sing(X)| → X
| |?| : Simp → Top
|S| = geometrische Realisierung von S
| Sing : Top → Simpl
Sing(X) = der singuläre Simplizialkomplex zu X
| Top(|S|,X) ≅
Simp(S,Sing(X))
Ab
(Abelsche Gruppen)
| Ab→
(Pfeilkategorie)
| Ab → Ab→
A wird (A→0) zugeordnet.
| Ab→ → Ab
(f:A→B) wird der Kern von f zugeordnet
| Ab→(A→0,f) ≅
Ab(A,Ker(f))
| | | | | | | | | | | | | | | | |