Man nennt ein solches δ eine Lebesgue-Zahl der Überdeckung.

Beweis: Wir können annehmen, dass U eine endliche Überdeckung ist, also etwa U = {U₁,...,U_n}.

Für jedes i sei f_i die Abstandsfunktion zum Komplement von U_i. Es gilt:

• f_i ist eine stetige Funktion X → R,
• f_i(x) = 0 für x im Komplement von U_i,
• f_i(x) > 0 für x in U_i.
Sei f = max f_i. Es gilt:
• f ist eine stetige Funktion,
• f(x) > 0 für alle x (denn U ist eine Überdeckung von X).

Eine stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten Raum nimmt ihr Infimum an, denn f(X) ist kompakte Teilmenge von R, also beschränkt und abgeschlossen. Es gibt also x₀ in X mit f(x₀) ≤ f(x) für alle x in X.

Setze δ = f(x₀). Dann gilt: Ist x in X, so ist δ ≤ f(x) = max f_i(x). Es gibt ein j mit f(x) = f_j(x). Also ist δ ≤ f_j(x). Demnach ist die δ-Umgebung U_δ(x) von x ganz in U_j enthalten.