Simpliziale Approximation

Definitionen

• Sei K = (K,S) ein Simplizialkomplex und |K| eine geometrische Realisierung von K; jedes x in |K| ist also eine Konvex-Linearkombination der Form Σ_i=0^t λ_i p_i, dabei ist p₀,...,p_t in S (und es sind die λ_i reelle Zahlen ≥0 mit Σλ_i = 1). Setzt man zusätzlich voraus, dass λ_i > 0 für alle i gilt, so ist das Simplex {p₀,...,p_t} durch x eindeutig bestimmt, man nennt es den Träger tr(x) von x.
• Simpliziale Abbildungen. Seien K = (K,S) und L = (L,T) Simplizialkomplexe. Eine Abbildung g : K → L heißt simplizial, falls für jedes Simplex σ in S gilt g(σ) ist ein Simplex in T; einer derartigen simplizialen Abbildung g ist eine affine Abbildung |g| : |K| → |L| zugeordnet: die Konvex-Linearkombination Σ λ_i p_i wird auf Σ λ_i g(p_i) abgebildet (sie bildet offensichtlich |K| in |L| ab); auch diese Abbildung nennt man "simplizial".
  Es sollte folgendes betont werden: Ist σ ein n-Simplex, so ist g(σ) ein m-Simplex mit m ≤ n (der Fall m < n ist ausdrücklich zugelassen!).
• Simpliziale Approximation einer stetigen Abbildung f : |X| → |Y|. Man nennt die simpliziale Abbildung g : X → Y simpliziale Approximation von f, falls für jedes x in |X| gilt: |g|(x) gehört zu |tr(f(x))| von f(x) (liegt also auf dem "abgeschlossenen Träger" von f(x)).

  Lemma. Ist g eine simpliziale Approximation von f, so sind die Abbildungen f und |g| homotopie-äquivalent.

  Beweis: Setze H_t = (1-t)f+t|g|, dies ist definiert, denn für jedes x in X liegen f(x) und |g|(x) innerhalb eines Simplexes σ, also können wir die Konvex-Linearkombination bilden (und die Bildung der Konvex-Linearkombination ist unabhängig von der Auswahl von σ).

• Baryzentrische Unterteilung βX von X. Die Ecken p_σ von βX entsprechen bijektiv den Simplizes σ von X, in Simplex von βX ist von der Form {p_σ(1),p_σ(2),..., p_σ(t)}, wobei σ(1) < σ(2) < ... < σ(t) eine Inklusionskette von Simplizes in X ist.

  Als geometrische Realisierung von βX nimmt man folgendes: Sei schon eine geometrische Realisierung |X| von X gegeben. Nimm als Ecke p_σ den Schwerpunkt des Simplexes σ. Man sieht dann, dass gilt: |βX| = |X|

  Lemma. Ist X ein m-dimensionaler Simplizialkomplex, und ist der Durchmesser der Simplizes von X durch d beschränkt, so ist der Durchmesser der Simplizes von βX durch md/(m+1) beschränkt.

• Induktiv setzen wir: β₀X = X und β_n+1X = β(β_nX).

Satz: Existenz einer simplizialen Approximation). Seien X, Y endliche Simplizialkomplexe. Sei f : |X| → |Y| stetig. Dann gibt es eine natürliche Zahl n und eine simpliziale Approximation g : βnX → Y zu f.

Der Beweis wird genauer zeigen, wie man eine simpliziale Approximation erhält. Dazu brauchen wir den Begriff des Sterns einer Ecke:

• Sei X ein endlicher Simplizialkomplex, sei p eine Ecke von X. Der Stern st(p) der Ecke p ist die Menge aller z in |X|, sodass p zum Träger tr(z) gehört.

  Für p in X und z in |X| sind also die folgenden beiden Aussagen äquivalent: p gehört zu tr(z) z gehört zu st(p)

  Hier als Beispiel Links ein 2-Simplex, rechts die Sterne der drei Ecken:
  Ein komplizierteres Beispiel: (Die Sterne sind jeweils rot markiert)

  Lemma. Der Stern st(p) ist das Komplement in |X| der Vereinigung aller |σ|, wobei σ die Simplizes von X durchläuft, die p nicht enthalten.

  Beweis: Wir zeigen, dass die Vereinigung V aller |σ| mit p nicht in σ, gerade das Komplement von st(p) ist. Sei also z in V. Es gibt also ein Simplex σ das p nicht enthält, sodass z zu |σ| gehört. Der Träger von z ist eine Teilmenge von σ; da p nicht in σ liegt, ist p nicht im Träger von z, also ist z nicht in st(p). Ist umgekehrt z nicht in st(p), so ist p nicht in tr(z). Also ist tr(z) ein Simplex, das p nicht enthält, und das demnach an der Vereinigungsbildung teilnimmt: also |tr(z)| ist Teilmenge von V. Da z zu |tr(z)| gehouml;rt, ist also z in V.

  Eigenschaften.

  1. st(p) ist offen in |X|
     (Denn das Komplement von st(p) ist Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Teilmengen der Form |σ|.)
  2. |X| ist die Vereinung der Sterne st(p), mit p in X.
     (Denn für jedes z in |X| gibt es mindestens ein p mit p in tr(z).)
  3. Also gilt: Die Teilmengen st(p) bilden eine offene Überdeckung von |X|.
  4. Hat jedes Simplex von |X| einen Durchmesser kleiner oder gleich d, so hat jeder Stern st(p) einen Durchmesser kleiner oder gleich 2d.
     (denn sind z, z' zwei Punkte in st(p), so gehören z und p zu einem Simplex, entsprechend gehören z' und p zu einem Simplex.)

Beweis von a: Die Menge der Sterne st(q) mit q in Y bildet eine offene Überdeckung von |Y|, also bilden die Urbilder f^-1(st(q)) eine offene Überdeckung von |X|. Da |X| kompakt ist, gibt es eine Lebesgue-Zahl δ zu dieser offenen Überdeckung. Sei nun n so gross, dass die Simplizes in β_n einen Durchmesser kleiner als δ/2 haben, dann hat st(p) einen Durchmesser kleiner als δ, liegt also in einem geeigneten f^-1(st(q)).

Beweis von b: Aus der Sternbedingung folgt:

Ist p in tr(z), so ist g(p) in tr(f(z)). Für z in |X| mit tr(z) = {p0,...,pt} ist {g(p0),...,g(pt)} eine Teilmenge von tr(f(z)).

(Beachte, dass in der Aufzählung g(p₀),...,g(p_t) Ecken mehrfach vorkommen können, denn g ist ja nicht notwendig injektiv; die Dimension des Simplexes {g(p₀),...,g(p_t)} kann also echt kleiner als t sein!)

Beweis: Ist p in tr(z), so ist z in st(p), also f(z) in f(st(p)), also f(z) in st(g(p)), also g(p) in tr(f(z)).
Ist tr(z) = {p₀,...,p_t}, so gehören alle p_i zu tr(z), also gehören alle g(p_i) zu tr(f(z)).
Ist nun σ = {p₀,...,p_t} ein Simplex von X, so wähle ein z mit tr(z) = σ. Wie wir gesehen haben, ist die Menge {g(p₀),...,g(p_t)} eine Teilmenge von tr(f(z)). Nun ist tr(f(z)) ein Simplex. Eine Teilmenge eines Simplexes ist ein Simplex, also ist {g(p₀),...,g(p_t)} ein Simplex. Demnach ist g simpliziale Abbildung.

Um zu sehen, dass g simpliziale Approximation von f ist, betrachte ein z in |X|. Sei {p₀,...,p_t} der Träger von z. Da z Konvex-Linearkombination der Punkte p_i ist, ist |g|(z) Konvex-Linearkombination der Punkte g(p_i). Nun ist aber {g(p₀),...,g(p_t)} eine Teilmenge von tr(f(z)), also ist |g|(z) in |tr(f(z))|.

Beispiel. Sei K ein endlicher Simplizialkomplex und βK seine baryzentrische Unterteilung. Betrachte die identische Abbildung |βK| → |K|. Sie erfüllt die Sternbedingung, besitzt also eine simpliziale Approximation g; dabei gilt: Die Ecken p_σ von βK entsprechen bijektiv den Simplizes σ von K, und man kann für g(p_σ) eine beliebige Ecke von σ wählen.

Bemerkungen
• Eine stetige Abbildung f : |X| → |Y| kann mehrere simpliziale Approximationen besitzen; einfachstes Beispiel: X bestehe nur aus einer Ecke, f bilde diese Ecke in das Innere eines n-Simplexes σ von Y ab mit n > 0. Dann besitzt g genau n simpliziale Approximationen, nälich die Abbildungen auf die einzelnen Ecken von σ.
• Ist g : X → Y eine simpliziale Abbildung, so erfüllt |g| immer die Sternbedingung: |g|(st(p)) ist in st(g(p)) enthalten, für jede Ecke p in Y, und g(p) ist auch die einzige Ecke p' von Y, sodass |g|(st(p)) ist in st(p') enthalten ist. Man sieht auf diese Weise, dass g simpliziale Approximation von |g| ist, und zwar die einzige simpliziale Approximation, die |g| besitzt.

Anwendungen

Abbildungen S^m → Sⁿ mit m < n

Beweis: Sei m < n, sei f : S^m → Sⁿ stetige Abbildung. Da wir nur an Homotopieklassen interessiert sind, können wir annehmen, dass S^m und Sⁿ trianguliert sind, etwa S^m = |X| und Sⁿ = |Y|, und dass f simplizial ist. Daher ist f nicht surjektiv. Daraus folgt aber, dass f nullhomotop ist (denn entfernen wir aus Sⁿ einen Punkt, so erhalten wir einen zusammenziehbaren Raum).

Abbildungen Sⁿ → Sⁿ

Beachte, dass diese Abbildungen zwar mit Hilfe von Triangulierungen definiert wurden, aber keine simpliziale Abbildungen sind. Bei einer simplizialen Selbstabbildung der Sⁿ vom Grad d enthält das Urbild von jedem n-Simplex von Y mindestens |d| n-Simplizes von X (genauer: |d|+2t, wobei die restlichen 2t Simplizes paarweise entgegengesetzt-orientiert abgebildet werden...).

Sei g : Sⁿ → Sⁿ stetige Abbildung. Da wir nur an Homotopieklassen interessiert sind, können wir annehmen, dass Sⁿ zweimal trianguliert ist sind, etwa Sⁿ = |X| = |Y|, und dass g simplizial ist. Betrachte p_σg, diese Abbildung ist zu g homotop. Unter p_σg wird das (n-1)-Gerüst von X auf den Basispunkt abgebildet. Ist τ ein n-Simplex von X, das nicht auf den Basispunkt von Y abgebildet wird, so gibt es zwei Möglichkeiten: die Einschränkung von g auf τ kann orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend ist. In der Homotopiegruppe π_n(Sⁿ,*) ist demnach [g] eine Summe von Homotopieklassen der Form [p_τ] = [1] und [p_τ'] = -[1].

Das Lemma besagt, dass der Gruppen-Homomorphismus Z → π_n(Sⁿ,*), der 1 auf die Homotopieklasse [id] der identischen Abbildung schickt, surjektiv ist.

Es bleibt zu zeigen, dass dieser Gruppen-Homomorphismus injektiv ist. Um dies zu sehen, kann man ebenfalls rein kombinatorisch argumentieren (siehe etwa Bauer). Wir können aber auch den Hurewicz-Homomorphismus heranziehen (nur die Definition und die Tatsache, dass dies ein Gruppen-Homomorphismus ist): dies ist ein Gruppen-Homomorphismus π_n(Sⁿ,*) → H_n(Sⁿ) = Z, unter dem die Homotopieklasse [id] der identischen Abbildung auf ein erzeugendes Element der Homologiegruppe geht - dann kann aber [id] in der Homotopiegruppe nicht endliche Ordnung haben. Man könnte natürlich auch schärferes Geschütz auffahren: zum Beispiel den Satz von Hurewicz, aber für dessen Beweis wollen wir die Berechnung der Homotopiegruppen von Sⁿ verwenden.