Überlagerungen

Definitionen

Wir interessieren uns für Hochhebungen von stetigen Abbildungen f : Z → X; unter einer Hochhebung von f : Z → X versteht man eine Abbildung f' : Z → Y mit pf' = f.

• Ist x in X, so nennt man p^-1(x) die Faser von p in x.
• Ist U eine Teilmenge von X, so nennt man die Einschränkung p|p^-1(X') : p^-1(U) → U das Verhalten von p "über" U.
  Statt p|p^-1(X') : p^-1(U) → U schreibt man oft einfach Y|U.
• Zwei stetige Abbildungen p : Y → X und p' : Y' → X heißen (topologisch) äquivalent über X, wenn es einen Homöomorphismus f : Y → Y' gibt mit p'f = p.
  

• Man nennt p eine triviale Faserung, falls es einen topologischen Raum F und einen Homöomorphismus h : X × F → Y mit ph(x,f) = x für alle x in X gibt.
• Man nennt p eine lokal-triviale Faserung, falls es eine offene Überdeckung U von X gibt, so dass p über U eine triviale Faserung ist, für jedes U in U.
  Ist p : Y → X lokal-triviale Faserung und ist X zusammenhängend, so sind alle Fasern homöomorph. Denn der Homöomorphie-Typ der Fasern ist lokal-konstant.

• Man nennt p eine Überlagerung, falls p lokal-triviale Faserung ist und alle Fasern diskret sind.

  Genau dann ist p eine Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung U von X gibt, sodass für jedes U in U das Urbild p^-1(U) die disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen S_i von Y ist, wobei p|S_i : S_i → U ein Homöomorphismus ist, für jedes i (dabei durchläuft i eine Indexmenge I). Man nennt die Teilmengen S_i die Blätter über U. (Nur wenn U zusammenhängend ist, sind die "Blätter über U" eindeutig bestimmt - sie sind dann die Zusammenhangskomponenten von p^-1(U).)

  Ist p : Y → X eine Überlagerung und ist X zusammenhängend, so haben alle Fasern die gleiche Mächtigkeit. Haben die Fasern die Mächtigkeit n, so nennt man p eine n-blättrige Überlagerung.

Beispiele

• Die Abbildung e:R → S¹ mit e(t) = exp(2πit) ist eine Überlagerung.
  
• Die Abbildungen zⁿ : S¹ → S¹ mit n ≥ 1 sind Überlagerungen, und zwar n-blättrige. (dabei fassen wir S¹ als Teilmenge der komplexen Zahlen C auf).
• Die Abbildungen zⁿ : C* → C* mit n ≥ 1 sind Überlagerungen, und zwar n-blättrige (dabei ist C* = C-{0})
  (Der Fall n = 2)
• Die n-Sphäre ist eine zwei-blättrige Überlagerung des n-dimensionalen reellen projektiven Raums.
• Die Abbildung (e,e):R² → S¹× S¹ (wieder mit e(t) = exp(2πit)) ist eine Überlagerung: Die Ebene überlagert also den Torus.
  Zur Erinnerung: Der Torus T entsteht aus einem Rechteck durch Identifikation gegenüberliegender Seiten; statt ein Rechteck zu betrachten, kann man ein Rechtecksmuster nehmen und alle Rechtecke identifizieren; dies ist die gesuchte Überlagerung R² → T.
  
• Zu jedem g > 2 gibt es eine Überlagerungsabbildung F^g → F².

• Sei X die punktierter Summe zweier Kreise S₁. Wir wollen alle drei-blättrigen Überlagerungen von X konstruieren. Jede der beiden Schleifen von X werde aufgeschnitten, etwa an den Stellen a und b, wir erhalten damit statt a zwei Punkte a und a', statt b zwei Punkte b und b'.
  
  Machen wir dies mit drei Kopien von X, so erhalten wir die Punkte a_i, a'_i, b_i, b'_i, mit i = 1,2,3. Man erhält nun eine beliebige drei-blättrigen Überlagerung von X, indem man die Punkte a_i paarweise mit den Punkten a'_i identifiziert (es gibt 3! = 6 Möglichkeiten), und entsprechend die Punkte b_i paarweise mit den Punkten b'_i identifiziert (es gibt ebenfalls 3! = 6 Möglichkeiten). Hier zum Beispiel wurde identifiziert:
  • a₁ mit a'₂
  • a₂ mit a'₃
  • a₃ mit a'₁
  • b₁ mit b'₁
  • b₂ mit b'₃
  • b₃ mit b'₂
  

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• Die Inklusionsabbildung ]0,1[ → R ist ein lokaler Homöomorphismus, aber keine Überlagerung.

Eindeutigkeit von Hochhebungen

Beweis: Sei Z' die Menge der z in Z mit f(z) = g(z), und Z'' die Menge der z in Z mit f(z) ≠ g(z).

Ist z in Z', und x = pf(z), so gibt es eine offene Umgebung U von x, sodass p über U eine triviale Faserung ist. Sei also p^-1(U) = U × F, und sei a in F mit f(z) = g(z) in U ×{a}. Es ist U ×{a} offen in p^-1(U), also offen in Y, also sind die Mengen V = f^-1(U ×{a}) und V' = g^-1(U ×{a}) beide offen in Z. Der Durchschnitt von V und V' gehört zu Z' und enthält z. Also ist Z' offen in Z.

Ist z in Z'', und x = pf(z), so wähle wieder eine offene Umgebung U von x, sodass p über U eine triviale Faserung ist. Sei also p^-1(U) = U × F, und seien a ≠ b in F mit f(z) in U ×{a} und g(z) in U ×{b}. Die Mengen U ×{a} und U ×{b} sind offen in Y, also sind die Mengen V = f^-1(U ×{a}) und V' = g^-1(U ×{b}) beide offen in Z. Der Durchschnitt von V und V' gehört zu Z" und enthält z. Also ist Z" offen in Z.

Es ist Z die disjunkte Vereinigung der beiden offenen Mengen Z' und Z". Nach Voraussetzung ist Z' nicht leer, also ist Z = Z'.

Hochhebung von Homotopien

• Man nennt p : Y → X eine Hurewicz-Faserung, falls p folgende Eigenschaft hat: Ist ein kommutatives Diagram

  Z × 0	→	Y
  ↓		↓
  Z × I	→	X

  gegeben (die vertikale Abbildung links sei die kanonische Inklusion, die vertikale Abbildung rechts sei p), so gibt es eine stetige Abbildung Z × I → Y, so dass die beiden entstehenden Dreiecke kommutativ sind. (man nent diese Eigenschaft auch die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft).

Beweis: Wir betrachten zuerst den Fall, dass Z einelementig ist: Gegeben ist demnach ein Weg w : I → X und eine Hochhebung y in Y des Anfangspunkts w(0) (es ist also p(y) = w(0)).

Sei T die Menge der t in I, sodass w|[0,t] eine Hochhebung mit Anfangspunkt y besitzt. Es ist 0 in T, also ist T nicht leer. Und mit t in I ist auch jedes 0 < t' < t in T. Sei s das Supremum von T.
Zu w(s) in X gibt es eine offene Umgebung U, über der p eine triviale Faserung ist, etwa "gleich" U×F. Das Urbild w^-1(U) enthält eine ε-Umgebung V von s in I. Da s = sup T, gibt es ein t in T, das in V liegt. Zu t gibt es eine Hochhebung w'₁ : [0,t] → Y mit Anfangspunkt y. Sei nun w'₁(t) in U×{a} mit a in F.
Sei V' die Menge der v in V mit v ≥ t. Wir definieren w'₂ als Hochhebung von w|V' mit Werten in U×{a}, dies ist möglich, denn p ist ein Homöomorphismus von U×{a} auf U und w(V') ist in U enthalten.

Wegen w'₁(t) = w'₂(t) liefern w'₁ und w'₂ zusammen eine stetige Abbildung.
Ist nun s < 1, so erhalten wir auf diese Weise eine Hochhebung von w|[0,t'] mit Anfangspunkt y, für ein t' > s, dies widerspricht der Supremumseigenschaft von s. Also ist s = 1, also V' = [t,s] = [t,1] und die Zusammensetzung von w'₁ und w'₂ ist die gewünschte Hochhebung w' von w mit Anfangspunkt y.

Zweiter Beweis: Sei U eine offene Übderdeckung von X, sodass Y über jedem U in U eine triviale Faserung ist. Die Mengen w-1(U) bilden eine offene Überdeckung des Einheitsintervalls I, sei δ die zugehörige Lebesgue-Zahl. Sei n > 1/δ also 1/n < δ. Wir definieren die Hochhebung w' : I → Y stückweise auf den Intervallen [(i-1)/n,i/n] mit i=1,...,n. Sei schon w' auf dem Intervall [0,(i-1)/n] definiert. Das Bild w([(i-1)/n,i/n]) liegt in einem U in U, und Y|U ist triviale Faserung, also ist p-1(U) die disjunkte Vereinigung von Blättern. Es ist pw'((i-1)/n) = w((i-1)/n) in einem dieser Blätter, etwa in S, und die Einschränkung p|S: S → U ist ein Homöomorphismus, etwa mit Umkehrabbildung q. Definiere w' auf [(i-1)/n,i/n] durch qw. Dies ist die gewünschte Fortsetzung.

Beachte, dass w' wegen Satz A eindeutig bestimmt ist, wir schreiben w' = L_p(w,w'(0)).

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Nun betrachten wir den allgemeinen Fall. Gegeben sind also stetige Abbildungen h': Z → Y und H : Z×I → X mit ph'(z) = H(z,0). Gesucht ist H' : Z×I → Y mit H = pH' und H'(-,0) = h'.

Wir setzen H'(z,t) = L_p(H(z,-),h'(z))(t), denn H(z,-) ist ein Weg in X mit Anfangspunkt H(z,0) = ph'(z). Es ist zu zeigen, dass H' stetig ist. Wir fixieren z in Z.

Schritt 1. Wir konstruieren eine offene Umgebung Z' von z in Z und eine natürliche Zahl n, sodass jede Teilmenge Z'×[(i-1)/n,i/n] (mit 1 ≤ i ≤ n) unter H in eine offene Teilmenge U(i) von X abgebildet wird, über der Y eine triviale Faserung ist.

Konstruktion: Zu jedem Paar (z,t) gibt es eine offene Umgebung U(z,t) von H(z,t) in X, über der Y eine triviale Faserung ist. Im Urbild H^-1(U(z,t)) finden wir eine offene Umgebung von (z,t), die die Form eines Kästchens K(t) = Z'(t)×I'(t) hat, dabei ist Z'(t) offen in Z und I'(t) eine zusammenhängende offene Umgebung von t in I. Für jedes t in I haben wir also eine offene Umgebung gewählt - endlich viele davon reichen aus, um I zu überdecken (Kompaktheit von I), etwa I'(t_i) mit i=1,...,n.

Wir bezeichnen mit Z' den Durchschnitt der Mengen Z'(t_i), dies ist wieder eine offene Umgebung von z. Wir haben I durch endlich viele (relativ) offene Intervalle I'(t_i) überdeckt. Mit Hilfe einer Lebesgue-Zahl erhalten wir eine natürliche Zahl n, sodass jedes der Intervalle [(i-1)/n,i/n] ganz in einem der Intervalle I'(t_j) enthalten ist, also ist H(Z'×[(i-1)/n,i/n]) ganz in U(z,t_j) enthalten.


Schritt 2. Wir versuchen nun, die Hochhebung h' von H(-,0) auf die einzelnen Kästchen K(i) = Z'×[(i-1)/n,i/n] fortzusetzen, und zwar mit Induktion nach i. Wie wir wissen, ist H(K(i)) in einer offenen Teilmenge U(i) von X enthalten, über der Y eine triviale Faserung ist. Wir betrachten die entsprechenden Blätter über U(i).
Wir konstruieren eine stetige Abbildung H" auf einer Umgebung von {z}×I durch Induktion. Die Einschränkung von H" auf Z'×{0} sei durch h' gegeben und wir setzen Z(0) = Z'.
Der erste Schritt ist i=1. Es ist H(Z(0)×[0,1/n]) in U(1) in U enthalten. Das Urbild p^-1(U(1)) zerlegt sich in Blätter, sei S₁ das Blatt, in dem H"(z,0) (also h'(z)) enthalten ist, und sei q₁ : U(1) → S₁ die Umkehrabbildung zu p|S₁. Es sei darauf hingewiesen, dass wir weder an X noch an Z (und auch nicht an Z') irgendeine Zusammenhangsbedingung gestellt haben. Insfern ist also nicht klar, ob H"(Z(0)×{0}) in S₁ enthalten ist. Sei Z(1) die Menge aller z' in Z(0) mit H"(z,0) ist in S₁ enthalten. Es ist Z(1) offen und enthält z, also ist Z(1) eine offene Umgebung von z. Es ist H"(Z(0)×{0}) in in S₁ enthalten. Bilden wir auf Z(1)×[0,1/n] die Abbildung q₁H, so ist dies eine Fortsetzung von H", die wir ebenfalls mit H" bezeichnen.
Insbesondere haben wir H" auf Z(1)×{1/n} definiert. Nun gehört H(Z(1)×{1/n}) zu U(2), wir wählen dort das Blatt, sagen wir S₂, in dem H(z,1/n) enthalten ist; es sei q₂ : U(2) → S₂ die Umkehrabbildung zu p|S₂. Sei Z(2) die Menge der z in Z(1) mit H(z,1/n) in S₂, dies ist eine offene Umgebung von z, und H"(Z(2)×{1/n}) ist in S₂ enthalten. Wir bilden auf Z(2)×[1/n,2/n] die Abbildung q₂H, und nennen auch sie H", so ist dies eine Fortsetzung von H"|Z(1)×[0,1/n]. Und so weiter.

Am Ende erhalten wir durch H" eine stetige Fortsetzung von h' auf einem Streifen der Form Z"×I, wobei Z" = Z(n) eine offene Umgebung von z ist.

Die Eindeutigkeit der Hochhebung von Wegen bei vorgegebenen Anfangspunkten zeigt, dass die Einschränkung von H" auf dem Streifen Z"×I gerade die die Abbildung H' ist. Dies zeigt, dass die Einschränkung von H' auf dem Streifen Z"×I stetig ist. Da dies für jedes z in Z gilt, ist H' stetig.

Folgerung 1: Ist p : Y → X eine Überlagerung, und w : I → X ein Weg, so gibt es zu jedem y in p^-1(w(0)) genau einen Weg w' : I → Y mit pw' = w und w'(0) = y; man nennt ihn die Hochhebung von w mit Anfangspunkt y und schreibt w' = L_p(w,y). (L steht für "Lifting".)

Die Existenz von w' folgt aus Satz B (dabei ist Z der Einpunkt-Raum), die Eindeutigkeit aus Satz A.

Beweis: Wir verwenden zweimal: Jede Hochhebung eines konstanten Wegs ist ein konstanter Weg.
Sei H eine Weg-Homotopie von w nach w' und sei H' eine Hochhebung von H mit H(-,0) = L_p(w,y).
Es ist H'(0,-) Hochhebung eines konstanten Wegs, also konstant, und demnach ist H'(0,1) = H'(0,0) = y.
also ist H'(-,1) eine Hochhebung von w' mit Anfangspunkt y, also H'(-,1) = L_p(w',y), denn Hochhebungen von Wegen mit vorgegebenem Anfangspunkt sind eindeutig bestimmt.
Es ist auch H'(1,-) die Hochhebung eines konstanten Wegs, also konstant und demnach H'(1,0) = H'(1,1). Also ist L_p(w,y)(1) = H'(1,0) = H'(1,1) = L_p(w,y)(1).

Folgerung 3: Sei p : Y → X eine Überlagerung, sei y in Y. Die induzierte Abbildung p_* : π₁(Y,y) → π₁(X,p(y)) ist injektiv.

Beweis: Sei w eine Schleife in (Y,y), sei [w] ihre Weg-Homotopieklasse. Sei p_*([w]) = 1. Dann ist pw weg-homotop zum konstanten Weg c. Sei also H eine Weg-Homotopie zwischen pw und c. Eine Hochhebung von H liefert eine Weg-Homotopie zwischen w und einer Hochhebung von c. Aber jede Hochhebung eines konstanten Wegs ist ein konstanter Weg (denn die Hochhebung eines konstatten Wegs ist ein Weg in einer Faser, Fasern sind aber diskret).

Man nennt das Bild von p_* die charakterisierende Untergruppe U(p,y) der Überlagerung p; sie besteht also aus den Homotopieklassen von Schleifen in X, deren Hochhebung mit Anfangspunkt y wieder eine Schleife ist. Es ist also:

Nach dem Monodromie-Lemma gilt L_p(w,y)(1) = L_p(w',y)(1) für weg-homotope Wege w,w', also gilt: Ist [w] in U(p,y), so erfüllt jede Schleife w' in [w] die Bedingung L_p(w',y)(1) = y.

Unser Beispiel einer dreiblättrigen Überlagerung der punktierten Summe zweier Kreise zeigt, dass U(p,y) von y abhängt: Nimm für x den Verzweigungspunkt. Versuchen wir, die rechte Schleife hochzuheben, so erhalten wir einmal eine Schleife, für die beiden anderen möglichen Anfangspunkte dagegen Wege, die nicht geschlossen sind.

Bemerkung. Sei p : Y → X eine Überlagerung, sei x in X. Sind y, y' in der Faser p-1(x) von x und ist w ein Weg von y nach y', so ist pw eine Schleife in (X,x) und es gilt: U(p,y') = [pw]-1U(p,y)[pw] in der Fundamentalgruppe π1(X,x).

• die Untergruppen U(p,y) und U(p,y') sind konjugiert,
• Es ist U(p,y) = U(p,y') genau dann, wenn [pw] die Untergruppe U(p,y) normalisiert.

Zur Erinnerung: Zwei Untergruppen U, U' einer Gruppe G heißen konjugiert, wenn es ein Element g in G gibt mit g^-1Ug = U'.

Beweis: Um zu zeigen, dass [pw]^-1U(p,y)[pw] in U(p,y') enthalten ist, nehmen man eine Schleife v in (Y,y), Das Produkt von pw^-*pv*pw in π₁(X,x); hat die Form p(w^-*v*w), gehört also zu U(p,y'). Analog sieht man, dass [pw]U(p,y')[pw]^-1 in U(p,y) enthalten ist. Also gilt U(p,y') = [pw]^-1U(p,y)[pw].

Eine Überlagerung p : Y → X heißt universelle Überlagerung, falls Y einfach-zusammenhängend ist.
(Erinnerung: Y heißt einfach-zusammenhängend, falls Y weg-zuammenhängend ist und π₁(Y,y) = 1 für y in Y gilt.)

Es gilt: Ein einfach-zusammenhängender Raum Y besitzt keine "echten" Überlagerungen, in folgendem Sinn: Ist q : Z → Y eine Überlagerung und ist Z weg-zusammenhängend, so ist p ein Homöomorphismus.

(Beweis: Angenommen, es gibt z ≠ z' in Z mit q(z) = q(z'). Sei w ein Weg von z nach z'. Es ist qw eine Schleife in (Y,q(z)), also weghomotop zum konstanten Weg. Das Monodromie-Lemma besagt, dass w und der konstante Weg z den gleichen Endpunkt haben, also z' = z.)

Hochhebung von Abbildungen

• f besitzt eine Hochhebung f': (Z,z) → (Y,y).
• f_*π₁(X,x) ist in U(p,y) enthalten.

Beweis: Eine Implikation ist trivial: Ist f = pf', so ist das Bild von f_* im Bild von p_* enthalten, aber U(p) ist gerade das Bild von p_*.

Zu zeigen ist die umgekehrte Implikation. Sei also f_*π₁(X,x) in U(p) enthalten. Zu konstruieren ist f': (Z,z) → (Y,y) mit f = pf'.

Sei z' in Z. Da Z weg-zusammenhängend ist, gibt es einen Weg w: I → Z mit w(0) = z und w(1) = z'. Unter f erhalten wir den Weg fw von x nach f(z'). Wir wollen setzen: f'(z') = L_p(fw,y)(1).

Dazu müssen wir zeigen, dass L_p(fw,y)(1) nicht von der Wahl von w abhängt. Sei also v: I → Z ein zweiter Weg mit v(0) = z und v(1) = z'. Die Hintereinanderschaltung von w*v^- von w und dem zu v inversen Weg v^- ist eine Schleife in (Z,z); unter f erhalten wir eine Schleife in (X,x), deren Homotiopieklasse zu U(p,y) gehört, also gilt L_p(w*v^-,y)(1) = y, und demnach ist L_p(w,y)(1) = L_p(v,y)(1).

Es is ferner zu zeigen, dass die so definierte Abbildung f' stetig ist. Dafür brauchen wir, dass Z lokal-weg-zusammenhängend ist. Sei z' in Z, sei V eine Umgebung von f'(z'). Zu konstruieren ist eine Umgebung U von z, sodass f(U) in V enthalten ist. Sei V' eine offene Umgebung von f'(z'), die unter p homöomorph auf die offene Menge p(V') abbildet (V' existiert, weil p Überlagerung ist), sei q:p(V') → V' die Umkehrabbildung. Da f stetig ist, ist f^-1(p(V')) eine Umgebung von z'. Da Z lokal-weg-zusammenhängend ist, gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung U von z, die in f^-1(p(V')) enthalten ist. Es ist also f(U) in p(V') enthalten, also ist qf(U) in V' enthalten. Unsere Konstruktion von f' zeigt, dass f' auf U mit qf übereinstimmt: Nimm für z" in V' als Weg jeweils die Zusammensetzung des festen Wegs w von x nach z und eines Wegs w" von z nach z" in V', als Hochhebung nehmen wir entsprechend die Zusammensetzung von L_p(w,y) mit qfw". Also sehen wir, dass f'(U) = qf(U) in V', und damit in V, enthalten ist.

Folgerung 1. Ist Z einfach-zusammenhängend und lokal-weg-zusammenhängend, so gilt: Jede stetige Abbildung f : (Z,z) → (X,x) besitzt eine Hochhebung (und diese Hochhebung f' ist eindeutig, falls f'(z) vorgegeben ist). Also gilt: die von p induzierte Abbildung Top((Z,z),(Y,y)) → Top((Z,z),(X,x)) ist bijektiv.

Folgerung 2. Sei X lokal-weg-zusammenhängend. Seien p : Y → X und p' : Y' → X Überlagerungen, wobei Y und Y' beide weg-zusammenhängend sind. Genau dann sind p und p' äquivalent, wenn es Punkte y in Y und y' in Y' mit p(y) = p(y') gibt, sodass die Untergruppen U(p,y) und U(p',y') gleich sind.

Folgerung 3. Sei p : Y → X eine Überlagerung, dabei sei Y weg-zusammenhängend und lokal-weg-zusammenhängend.
Sei y in Y und x = py. Sei U = U(p,y), und sei N der Normalisator von U in π₁(X,x). Dann gilt:

Beweis: Sei [v] in N.

Wir wählen eine Hochhebung w von v mit Anfangspunkt y, also ist pw = v, und w ist ein Weg von y nach y'=w(1). Die Bemerkung nach Satz B liefert U(p,y) = U(p,y')


Satz C besagt nun: da U(p,y) in U(p,y') enthalten ist, besitzt die Abbildung (Y,y) → (X,x) eine Hochhebung φ : (Y,y) → (Y,y'). Und da U(p,y') in U(p,y) enthalten ist, gibt es auch eine Abbildung in der umgekehrten Richtung. Die jeweiligen Hintereinanderschaltungen müssen Identitäten sein, wegen der Eindeutigkeit der Hochhebung. Also ist φ : (Y,y) → (Y,y') ein Homöomorphismus, und demnach eine Deckbewegung.

Umgekehrt sieht man auch, dass man jede Deckbewegung φ von p auf diese Weise erhält: Sei φ(y) = y'. Da φ ein Homöomorphismus von Y auf sich mit pφ = p ist, ist U(p,y) = U(p,y') nach Satz C. Ist γ ein Weg von y nach y', so ist U(p,y') = [pγ]^-1U(p,y)[pγ]. Wegen U(p,y) = U(p,y') sieht man, dass [pγ] zum Normalisator von U(p,y) gehört.

Man sieht leicht, dass die Zuordnung ein Gruppen-Homomorphismus ist und dass der Kern gerade U = U(p,y) ist. Also erhalten wir einen Isomorphismus von N/U auf D(p).

Gruppen-Operationen

Ist f : G × M → M eine Gruppen-Operation, so nennt man für jedes m in M die Menge Gm = {gm | g in G} die Bahn von m. Mit M/G bezeichnet man die Menge der Bahnen.

Eine Gruppen-Operation der Gruppe G auf einem topologischen Raum X ist eine Gruppen-Operation von G auf der zugrundeliegenden Menge von X, sodass alle Abbildungen f(g,-) stetig (und demnach Homöomorphismen) sind. Man fasst X/G als topologischen Raum auf unter Verwendung der Quotienten-Topologie und nennt ihn den Bahnen-Raum.

Beispiele
• Die additive Gruppe Z der ganzen Zahlen operiert auf der reellen Geraden R durch Addition. Der Bahnenraum ist der Kreis S¹
• Z² operiert auf R² durch komponentenweise Addition. Der Bahnenraum ist der Torus.
• Die Antipodenabbildung auf der n-Sphäre Sⁿ liefert eine Operation der zyklischen Gruppe C₂ auf Sⁿ; der Bahnenraum ist der reelle projektive n-dimensionalen Raum.

Die Gruppe G operiere auf dem topologischen Raum Y. Man sagt, dass diese Operation eigentlich-diskontinuierlich ist, wenn es zu jedem y in Y eine Umgebung U von y gibt, sodass für jedes g ≠1 in G der Durchschnitt von U und gU leer ist.

Ist G eine endliche Gruppe, die auf einem Hausdorff-Raum Y operiert und besitzt nur das Eins-Element von G Fixpunkte, so ist dies eine eigentlich-diskontinuierliche Operation.

Denn ist y in Y gegeben, so gibt es zu den endlichen vielen Punkten gy mit g in G offene Umgebungen U(gy), die paarweise disjunkt sind. Für jedes g in G ist g^-1U(gy) eine offene Umgebung von y, sei U der Durchschnitt dieser offenen Mengen g^-1U(gy). Da gU in U(gy) enthalten ist, ist der Durchschnitt von U und gU für g ≠1 leer.

Lemma. Die Gruppe G operiere eigentlich-diskontinuierlich auf dem topologischen Raum Y. Dann ist die kanonische Abbildung p : Y → Y/G eine Überlagerung und G ist Untergruppe von D(p). Ist Y zusammenhängend, so ist G = D(p).

Beweis: Die kanonische Abbildung Y → Y/G werde mit p bezeichnet. Sei y in Y. Es gibt eine Umgebung U von y, sodass für jedes g ≠1 in G der Durchschnitt von U und gU leer ist. Wir können voraussetzen, dass U offen ist. Dann ist die Vereinigung V dieser Mengen gU mit g in G das Urbild von p(U). Da also V = p^-1p(U) offen in Y ist, ist p(U) offen in Y/G. Offensichtlich ist die Einschränkung von p auf V gerade die triviale Faserung U × G → U.

Offensichtlich ist G eine Untergruppe von D(p), denn G besteht ja aus Homöomorphismen φ mit pφ = p. Sei nun Y zusammenhängend und sei φ in D(p). Wähle y in Y beliebig. Da y und φ(y) in der gleichen Faser von p liegen, gibt es g in G mit φ(y) = gy. Die beiden Abbildung φ, g : Y → Y sind beides Hochhebungen von p : Y → Y/G, und nach Konstruktion stimmen sie im Punkt y überein. Nach Satz A gilt φ = g.

Folgerung. Sei Y einfach-zusammenhängend und lokal-weg-zusammenhängend. Operiert die Gruppe G auf Y eigentlich-diskontinuierlich, so gilt π1(Y/G,x) = G für jedes x in Y/G.

Beweis: Sei p : Y → Y/G die kanonische Projektion, sei y in Y und x = p(y). Da Y einfach-zusammenhängend ist, ist seine Fundamentalgruppe 1, also ist U(p,y) = 1, insbesondere ist dies ein Normalteiler, also ist der Normalisator N von U = U(p,y) ganz π₁(Y/G,x), und demnach N/U = π₁(Y/G,x). Die Folgerung 3 zu Satz C besagt aber, dass gilt: D(p) = N/U. Insgesamt sehen wir: G = D(p) = N/U = π₁(Y/G,x).

Mit Hilfe dieser Folgerung lässt sich die Fundamentalgruppe vieler Räume recht einfach bestimmen.
• Kreis S¹: Er entsteht als Bahnenraum einer eigentlich-diskontinuierlichen Operation von Z auf R. Da R einfach-zusammenhängend und lokal-weg-zusammenhängend ist, sieht man: die Fundamentalgruppe des Kreises ist Z.
• Torus T: Er entsteht als Bahnenraum einer eigentlich-diskontinuierlichen Operation von Z² auf R². Da R² einfach-zusammenhängend und lokal-weg-zusammenhängend ist, sieht man: die Fundamentalgruppe des Torus ist Z².
• Die Fundamentalgruppe des reellen projektiven n-dimensionalen Raums mit n ≥ 2 hat Ordnung 2.

Konstruktion von Überlagerungen

• X ist weg-zusammenhängend,
• X ist lokal-weg-zusammenhängend,
• X ist semi-lokal-einfach-zusammenhängend (das soll heißen: Zu jedem x in X existiert eine Umgebung U von x, so dass jede Schleife in (U,x) in X nullhomotop ist).

Beispiel: Der Hawaii'sche Ohrring H ist nicht semi-lokal-einfach-zusammenhängend, dagegen ist der Kegel über H semi-lokal-einfach-zusammenhängend.

Bemerkung: Ist p : Y → X eine universelle Überlagerung, so ist X semi-lokal-einfach-zusammenhängend.
(Beweis: Zu x in X gibt es eine offene Umgebung U, über der Y eine triviale Faserung mit diskreter Faser ist. Ist w eine Schleife in (U,x), so lässt sie sich zu einer Schleife w' innerhalb eines Blattes hochheben. Da Y einfach-zusammenhängend ist, ist w' null-homotop in Y. Also ist auch w = pw' in X null-homotop.)

Insbesondere gilt: Jede Mannigfaltigkeit besitzt eine universelle Überlagerung.
(Denn eine Mannigfaltigkeit M ist weg-zusammenhängend und jeder Punkt besitzt eine offene Umgebung, die homöomorph zu einem offenen Ball ist, also ist M auch lokal-weg-zusammenhängend und semi-lokal-einfach-zusammenhängend.)

Beweis: Wähle einen Punkt x₀ in X. Als Menge sei Y die Menge der Weg-Homotopieklassen [α], wobei α ein Weg mit Anfangspunkt x₀ ist. Die Abbildung p : Y → X sei durch p([α]) = α(1) definiert. Es ist also p^-1(x) die Menge der Weghomotopieklassen von Wegen von x₀ nach x. Wie in X so fixieren wir auch in Y einen Basispunkt y₀: es sei y₀ die Weg-Homotopieklasse des konstante Wegs x₀ in X.

Wir definieren auf Y eine Topologie wie folgt: Sei α Weg mit Anfangspunkt x₀ und U offene Umgebung von p(α). Sei V(U,α) die Menge der Elemente [αβ], wobei β ein Weg in U ist, der in α(1) beginnt. Um zu zeigen, dass dies die Basis einer Topologie ist, betrachte [α"] im Durchschnitt D zweier solcher Mengen V(U,α) und V(U',α'): ist U" der Durchschnitt von U und U', so ist V(U",α") in D enthalten.
(Denn α" = αβ für einen Weg β in U mit Anfangspunkt α(1), ist also γ ein Weg in U" mit Anfangspunkt α"(1), so ist α"γ = αβγ und βγ ist ein Weg in U. Dies zeigt, dass V(U",α") in V(U,α) enthalten ist. Entsprechend ist V(U",α") auch in V(U',α') enthalten.)

Die Abbildung p ist stetig und offen, denn p(V(U,α)) ist gerade die Wegzusammenhangs-Komponente von U, die p(α) enthält.

Wir zeigen, dass p eine Überlagerung ist. Sei x in X. Nimm eine offene weg-zusammenhängende Umgebung U von x, sodass jede Schleife in (U,x) nullhomotop in X ist. Wie sieht das Urbild p^-1(U) aus? Es besteht aus allen Elementen [α] mit α(1) in U, und zwar gibt es die folgende Bijektion zwischen U×p^-1(x) und p^-1(U): Ist y in U, so wähle einen Weg β von x nach y in U; sind zwei solche Wege β und β' von x nach y in U gegeben, so ist β'(β)^-1 eine Schleife in (U,x), also null-homotop in X, und demnach sind die Wege αβ und αβ' weg-homotop. Also gilt: Die Zuordnung, (y,[α]) auf [αβ] abbildet, ist wohldefiniert. Sie ist surjektiv, da U weg-zusammenhängend ist. Und sie ist injektiv: gilt nämlich [αβ] = [αβ'] für zwei Wege α, α' von x₀ nach x und Wege β von x nach y und β' von x nach y', beide innerhalb U, so ist auf jeden Fall y = y', also ist wieder β'(β)^-1 eine Schleife in (U,x); sie ist null-homotop in X, demnach sind die Wege α und α' weg-homotop.
Die Topologie von Y ist so gewählt, dass diese Bijektion zwischen U×p^-1(x) und p^-1(U) ein Homöomorphismus ist.

Es bleibt zu zeigen, dass Y einfach-zusammenhängend ist:
Da wir schon wissen, dass p eine Überlagerung ist, ist mit X auch Y lokal-zusammenhängend. Der Raum Y ist weg-zusammenhängend, denn ist y in Y gegeben, so wähle einen Weg α in X mit [α] = y. Man erhält nun einen Weg α' : I → Y von y₀ nach y auf folgende Weise: Sei α_t : I → X durch α_t(s) = α(ts) für s in I definiert (dies ist also die Einschränkung des Wegs α auf das Intervall [0,t], der entsprechend langsamer druchlaufen wird) und setze α'(t) = [α_t]. Dann ist α' eine Hochhebung von α und zwar die eindeutig bestimmte Hochhebung mit Anfangspunkt y₀.
Als letztes zeigen wir, dass jede Schleife ω in (Y,y₀) null-homotop ist: Sei also ω eine solche Schleife. Es ist pω eine Schleife in (X,x₀) und zwar eine Schleife, deren Hochhebung (pω)' mit Anfangspunkt y₀ den Endpunkt y₀ hat. Der Endpunkt von (pω)' ist aber gerade die Weg-Homotopieklasse von pω: Wir sehen also, dass pω null-homotop in X ist, also ist ω null-homotop in Y.

Zusatz. Der Beweis zeigt, dass die Fundamentalgruppe π₁(X,x₀) gerade mit p^-1(x₀) identifiziert wird; insbesondere ist U(p,y₀) = {1}. Und wir sehen: Die Operation der Fundamentalgruppe π₁(X,x₀) auf Y als Decktransformationsgruppe ist eigentlich-diskontinuierlich.

Klassifikationssatz für Überlagerungen. Sei X hinreichend zusammenhängend mit Basispunkt x₀. sei p : (Y,y₀) → (X,₀) eine universelle Überlagerung.

• Ist A eine Untergruppe der Fundamentalgruppe π₁(X,x₀) von (X,x₀), so operiert A eigentlich diskontinuierlich auf Y und p faktorisiert durch die Projektionsabbildung Y → Y/A. Wir erhalten auf diese Weise eine Abbildung p_A : (Y/A,Ay₀) → (X,x₀), dies ist eine weg-zusammenhängende Überlagerung und es ist U(p,Ay₀) = A.
• Sei umgekehrt p' : (Y',y'₀) → (X,x₀) eine weg-zusammenhängende Überlagerung, sei A = U(p',y'₀). Dann gibt es ein kommutatives Diagramm:

  oder besser:

  wobei h ein Homöomorphismus ist.