Überblick

Die Themen

22.04.   Definitionen, Beispiele
24.04. Fortsetzung.
Das Axiomensystem für offene Mengen ist zum Axiomensystem für Umgebungssysteme äquivalent.
29.04. Unterräume.
Ist X die Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen X1 und X2, und ist Y eine Teilmenge von X, deren Durchschnitt mit X1 wie auch mit X2 jeweils (relativ) offen in Xi ist. Dann ist Y offen.
Beispiel: Stetige bijektive Abbildungen sind nicht immer Homöomorphismen, etwa f:[0,1[ → S1 mit f(t) = exp(2πit).
06.05. Hausdorff-Räume, Kompaktheit.
Satz: Ist f stetige Abbildung eines kompakten Raums in einen Hausdorff-Raum, so bildet f abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab. Siehe Jänich, 1.8.
Folgerung:Ist f stetige bijektive Abbildung eines kompakten Raums in einen Hausdorff-Raum, so ist f ein Homöomorphismus.
08.05. T1, T2, T3, T4.
Beispiel: Die Halbscheibentopologie der oberen Halbebene: sie ist T2, aber nicht T3. Stein-Seebach 78
Urysohn, Tietze, siehe Jänich, 8.1-8.3.
13.05. Urysohn, Tietze (Beweis)
15.05. Tietze (Beweis-Ende). Tietze II (Zielraum ist R).
Ausblick: Parakompaktheit, Zerlegung der Eins. Metrische Räume sind parakompakt, also T4. Metrisierbarkeit (nur angedeutet).
Quotienten-Topologie: Definition, universelle Eigenschaft, Beispiele.
20.05. Die (topologische) Summe zweier Räume; Zusammenhang (verschiedene äquivalente Formulierungen).
Beweis von: Rn und R sind nur für n=1 topologisch äquivalent.
Peano-Kurven.
Quotienten-Topologie: Sind X1 und X2 abgeschlossen in X, so ist X Quotientenraum der Summe von X1 und X2 (= Umformulierung von Satz 1).
Endliche Simplizialkomplexe. Bsp: eine Triangulierung der 2-Sphäre.
22.05. Geometrische Realisierungen eines endlichen Simplizialkomplexes - die Standard-Realisierung.
Endlich-triangulierbare Flächen.
Polygon-Modelle für endlich-triangulierbare Flächen: also Beschreibung einer e.-t. Fläche durch ein Wort.
Auf der Suche nach Normalformen: Die ersten drei Reduktionen derartiger Wörter.
Literatur: Ossa, tom Tieck und viele andere Bücher (zum Beispiel: William S. Massey: A Basic Course in Algebraic Topology oder auch Algebraic topology: an introduction, gleich auf den ersten Seiten).
27.05. Die Normalformen endlich-triangulierbarer Flächen. Das Anheften von Kreuzhauben.
03.06. Das Anheften von Henkeln
Aufschneiden von Flächen
Das Hauptproblem: Wie unterscheidet man die Normalformen?
    Suche nach Invarianten
    Einbettbarkeit von Möbiusbändern
05.05. Die Normalformen endlich-triangulierbarer Flächen - Bemerkungen. Diskussion der Voraussetzungen:
  • Zusammenhängend - wenn nicht, dann: alle Zusammenhangskomponenten ...
  • Geschlossen - wenn nicht, dann zusätzliche Invariante: die Anzahl der Löcher
  • Endliche Triangulierbarkeit: Satz von Rado (1925): Jede kompakte Fläche ist endlich triangulierbar.

Verbundene Summe
Whitney'schen Regenschirme

Produkte topologischer Räme

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15.07.Algebraisches:
  • Die Kommutatorgruppe G' und die Faktorgruppe G/G'
  • Die Bedeutung von Kommutatoren
Anwendungen:
  • Sei X die punktierte Summe von t 1-Sphären. Es ist π1(X)ab = Zt
  • Satz 4, zweiter Teil: Berechnung von π1(F)ab einer e.t. zusammenhängenden geschlossenen Fläche F.
17.07.Die Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen
22.07.Die erste Homologie-Gruppe und der Hurewicz-Homomorphismus π1(X) → H1(X)
29.07.Überlagerungstheorie I
31.07.Überlagerungstheorie II
Aus dem kommentierten Vorlesungsverzeichnis:

Kommentar

Die Topologie beschäftigt sich mit globalen geometrischen Strukturen und ordnet ihnen zur Unterscheidung algebraische Invarianten zu. Sie ist eine relativ junge mathematische Disziplin und entstand aus dem Erkennen und Beschreiben von Analogien in Problemstellungen verschiedener Gebiete: Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, theoretischer Physik ... . Wie die algebraische oder die analytische Denkweise (die in den ersten beiden Semestern trainiert werden) ist auch die topologische Denkweise gewöhnungsbedürftig und schlecht mit Worten begreiflich zu machen. Sie lässt sich nur dadurch erfassen, dass man sich mit ihr selbständig beschäftigt; daher wird das Lösen der wöchentlichen Übungsaufgaben (und die aktive Teilnahme an den Übungen) dringend empfohlen.

Einige Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie wurden schon im Rahmen der Analysisvorlesungen behandelt, sie werden im ersten Teil der Vorlesung wiederholt und vertieft. Flächentheorie und Überlagerungstheorie werden weitere Themen sein.

Literatur zu dieser Vorlesung findet sich unter dem Titel der Vorlesung (oder auch englisch: Topology). Verwiesen sei insbesondere auf die Bücher von Klaus Jänich, Erich Ossa und Tammo tom Dieck.

Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Verantwortlich: C.M.Ringel
E-Mail: ringel@mathematik.uni-bielefeld.de