Topologie: Table of Contents

Topologie II

16.10.2003: Sei X ein topologischer Raum. Konstruiert wurde der Kettenkomplex C_•(X) der singulären Ketten in X.
Für jeden Kettenkomplex C_• wurden die Homologiegruppen H_n(C_•), für jede Kettenabbildung f_•: C_• → C'_• die induzierten Abbildungen H_n(f): H_n(C_•) → H_n(C'_•) definiert.
21.10.2003: Homotope Abbildungen f,g: X → Y liefern die gleichen Abbildungen H_n(f) = H_n(g) ("Homotopie-Invarianz").
23.10.2003: Grundbegriffe der homologischen Algebra.
Exakte Folgen abelscher Gruppen. Fünfer-Lemma. Schlangen-Lemma.
28.10.2003: Relative Homologie. Die lange exakte Homologie-Folge.
30.10.2003: Die Eilenberg-Steenrod-Axiome. Ausschneidungsatz (noch ohne Beweis). Der Abbildungskegel einer stetigen Abbildung.
04.11.3003: Abbildungskegel
- einer Inklusionsabbildung (die relative Homologie = reduzierte Homologie des Abbildungskegels)
- der Abbildungen X → * (man erhält die Einhängung)
- der Abbildungen S^n-1 → X ("Anheften von Zellen")
Bis Ende November: Homologie
02.12.2003: Uniforme Polyeder. Überblick: Homologie - was wurde ausgespart? Struktur freier Kettenkomplexe.
04.12.2003: Struktur freier Kettenkomplexe (Fortsetzung). Homologie und Kohomologie freier Komplexe mit endlich erzeugten Homologiegruppen.
09.12.2003: Der Kohomologie-Ring
11.12.2003: Künneth
16.12.2003:
18.12.2003:
Fundamentalgruppe und Überlagerungen
Homotopiegruppen
Der Satz von Hurewicz
Der Satz von Whitehead

Die Vorlesung schließt an die Topologie I im SS 2003 an, vorausgesetzt werden also Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie (Trennungsaxiome, Zusammenhang, Weg-Zusammenhang, Kompaktheit), die Klassifikation der kompakten Flächen, das Arbeiten mit der Fundamentalgruppe (insbesondere auch der Satz von Seifert und Van Kampen) und der ersten singulären Homologiegruppe und schließlich der zugehörige Hurewicz-Homomorphismus. Wichtig ist insbesondere Vertrautheit mit dem Homotopie-Begriff. Während also in der Vorlesung Topologie I neben einigen allgemeinen Phänomenen vor allem Wege und Schleifen in topologischen Räumen betrachtet wurden, sollen nun höher-dimensionale Analoga, nämlich Abbildungen beliebiger Simplizes in topologische Räume, untersucht werden, also beliebige Homotopie- und Homologie-Gruppen.

Erstes Ziel wird sein, den singulären Kohomologie-Ring eines beliebigen Raums einzuführen, seine Eigenschaften zu diskutieren und ihn in speziellen Situationen effektiv zu berechnen.

Im Rahmen der Vorlesung wird die Überlagerungstheorie nachgetragen, die eigentlich in der Vorlesung Topologie I hätte behandelt werden sollen, aber leider zurückgestellt werden musste.

Das Lösen der wöchentlichen Übungsaufgaben (und die aktive Teilnahme an den Übungen) wird dringend empfohlen.

Parallel zur Vorlesung gibt es ein Seminar, und zwar freitags, 12 - 14 Uhr in V2-205.
Beginn: Freitag, 31.10.2003.

Im SS 2004 wird als Fortsetzung eine Vorlesung Topologie III und ein Seminar Ausgewählte Fragen der algebraischen Topologie angeboten.

Ringel

Last modified: Wed Dec 3 20:16:04 CET 2003