Bielefeld, den 21. 4. 1997

Gebrochene Potenzen.

1. In einer Nährlösung vermehrt sich eine Bakterienkultur lustig (d.h., exponentiell) von 2 Gramm auf 20 Gramm innerhalb von 16 Stunden. Was war ihre Masse nach (a) 8 Stunden, (b) 4 Stunden, (c) 12 Stunden ?

2. (a) Man mache eine Tabelle der eben beschriebenen Biomasse für jede Stunde von 1 bis 16. (b) Dann zeichne man deren Graphen in einem Koordinatensystem auf Millimeterpapier (1 cm horizontal = 1 Stunde, 1 cm vertical = 1 Gramm) und verbinde die 16 Punkte mit einer möglichst glatten Kurve.

(c) Wie kann man diese Kurve als Graphen der Funktion y = 10^{x} (0 ≤ x ≤ 1) deuten?

3. Mit Hilfe dieser Deutung suche man Zahlen u und v derart, dass 10^{u} ≈ 3 und 10^{v} ≈ 5. Aus u und v berechne man nun die Exponenten x, für die 10^{x} annähernd gleich 15, 27, 2, 4 ist, und vergleiche diese Werte mit entsprechenden Punkten auf der Kurve (z.B. 1.5 = 15/10 und 2 = 10/5).

Diese groben Näherungswerte erlauben schon die für die folgenden 2 Fragen nötigen Rechnungen. Geht es um Verdoppeln oder Halbieren, so wäre es zwar praktischer, mit gebrochenen Potenzen von 2 zu arbeiten, aber wir bleiben der Einheitlichkeit halber bei 10. Die Umrechnung ist einfach; denn aus 2 = 10^{w} folgt 2^{x} = 10^{wx} und umgekehrt.

4. Lebende Materie enthält prozentual ebenso viel von dem radioaktiven Kohlenstoff C^{14} wie ihre Umgebung. Dieses Isotop zerfällt mit einer Halbwertzeit von ca. 5700 Jahren, und vermindert sich entsprechend in toten Knochen, Holz, usw.

(a) Etwa wie alt ist ein Knochen, der nur noch 20% des normalen C^{14}-Gehalts hat?

(b) Bäume, die von den Gletschern der anbrechenden Vierten Eiszeit erdrückt wurden, enhalten nur noch 27% des C^{14}-Normalwerts. Ungefähr wann begann die Eiszeit?

5. Salz schwindet in reichlich Wasser auf annähernd exponentielle Weise. Wenn von 10 Kilo Salz in einem Wasserbecken sich 4 Kilo in 20 Minuten lösen, wie lange dauert es, bis sich 2 weitere Kilo gelöst haben?

Für genaueres Rechnen braucht man genauere Werte für Potenzen und Exponenten (Logarithmen). Wir werden jetzt sehen, wie man Letztere auf elementare Weise erhalten kann.

6. Für jede Zahl 0 < a < 10 druckt folgendes BASIC-Programm eine Reihe b(a) von Nullen und Einsen

aus. Was bedeutet diese? (Man stelle sich die Frage zunächst für a = 10^{1/2} , 10^{1/4} , 10^{3/4} ).

  1 m=0:  z=10:  input a
  2 m=m+1:  z=sqr(z):  b=0
  3 if a<z goto 5
  4 a=a/z:  b=1

5 print b;: goto 2 (oder: if m< 30 goto 2 um nach 30 Stellen abzubrechen).

7. Obiges Programm geht auch mit dem Taschenrechner. In dessen Speicher kann man die Zahl a eintragen und sukzessiv durch Division reduzieren (siehe Zeile 4). Ist ein zweiter Speicher vorhanden, kann dort der Wert z aufbewahrt werden; sonst erhält man ihn, indem man in Zeile 2 mit z = 10 anfängt und m-mal auf den Quadratwurzelknopf drückt.

(a) Nach diesem Verfahren finde man die jeweils fehlenden 6 Stellen für die Folgen b(3) =??????1000100100100111100 … und b(5) =??????1011101111101100101 …

(b) Man verwandle b(3) und b(5) in genauere Dezimalausdrücke für die Zahlen u, v aus Aufgabe 3. Dazu ist es zweckmässig, sie zunächst im Hexadezimalsystem zu notieren.

8. Experten schätzen, dass die Erde höchstens vierzig Milliarden Menschen ernähren kann. Wenn die Menschheit 1980 fünf Milliarden zählte und jedes Jahr um 2.4% wächst, wann wird sie das Maximum erreichen?

9. Carlos bekommt für seine 10000 Mark Festgeld jedes Vierteljahr 1.25% Zinsen. Wann hat sich sein Geld verdreifacht? (Hinweis: 10125 = 81 × 125).