Bielefeld, den 3. Juni 1997

Halbierte Drehungen.

Jeder Punkt (x, y) auf dem Einheitskreis (d.h., derart dass x^{2} + y^{2} = 1) definiert eine Drehung der cartesischen Ebene durch die Matrix R(x, y) =

[ \begin{matrix}x & −y \\ y & x \end{matrix} ] = x [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]

= xI + yJ, wobei J = R(0, 1) und det R(x, y) = x^{2} + y^{2} = 1. Wegen J^{2} = −I ist ein Produkt zweier Matrizen der Form aI + bJ wieder eine solche. Da Drehungen ausserdem die Determinante 1 haben, bilden sie eine multiplikative Gruppe.

1. Zu einer gegebenen Drehung R(u, v) mit v > 0 bestimme man die “halbe” Drehung R(x, y) = R(u, v)^{1/2}, die durch die Eigenschaften R(x, y)^{2} = R(u, v) und y > 0 gekennzeichnet ist. Insbesondere errechne man J^{1/2}, J^{1/4} und J^{3/4}.

2. Durch Anwendung der Formeln (1/2 + u/2)^{1/2} und (1/2 − u/2)^{1/2} erweitere man folgende Tabelle

bis zu k/16, wobei k die ungeraden Zahlen von 1 bis 15 durchläuft.

1/8 0.980785280  0.195090321 7/8
1/4 0.923879532  0.382683432 3/4
3/8 0.831469612  0.555570233 5/8
1/2 0.707106781  0.707106781 1/2

3. Ein Benzinmotor hat im Leerlauf eine maximale Kolbengeschwindigkeit vom 10 Metern pro Sekunde und macht eine volle Umdrehung in 64 Millisekunden. Anhand der obigen Tabelle zeichne man den Graphen der Kolbengeschwindigkeit (vertikal: 1 cm = 1 Meter pro Sekunde) als Funktion der Zeit (horizontal: 1 cm = 1 Millisekunde) während einer Viertelumdrehung vom oberen Totpunkt an. Wie bekommt man hieraus Näherungswerte für trigonometrische Funktionen?

4. Für jede Zahl 0 < s < 1 druckt folgendes BASIC-Programm eine Reihe b(s) von Nullen und Einsen

aus. Was bedeutet diese? (Man probiere zunächst s = 1/\sqrt{2} , 1/2 , \sqrt{3}/2 ).

  1 m=0:u=0:v=1:input s:r=sqr(1-s*s)
  2 m=m+1:u=sqr(1/2+u/2):v=v/(u+u):b=0
  3 if s<v goto 5
  4 x=r*u+s*v:s=s*u-r*v:r=x:b=1

5 print b;: goto 2 (oder: if m< 30 goto 2 um nach 30 Stellen abzubrechen).

5. Obiges Programm geht auch mit Taschenrechner und Zettel, besonders gut zu zweit mit Rollenverteilung für die Zeilen 2 und 4.

(a) Nach diesem Verfahren finde man die jeweils fehlenden 6 Stellen für die Folgen

b(3/5) =??????0011011111110101110 … und b(15/17) =??????0000100110001111010 …

(b) Man verwandle b(3/5) und b(15/17) in dezimale Bogenmaße für die Punkte (4/5, 3/5) und (8/17, 15/17) auf dem Einheitskreis. Dazu ist es zweckmässig, sie erst als Hexadezimalzahlen zu notieren.

6. Für jeden Punkt (u, v) des Einheitskreises bedeute Δ(u, v) den Flächeninhalt des Dreiecks (0, 0), (u, v), (1, 0). Sei v > 0 und R(x, y) = R(u, v)^{1/2} wie in Aufgabe 1. Man berechne Δ(u, v)/Δ(x, y). Um welchen Faktor unterscheiden sich die Flächen des regulären 8-Ecks und 16-Ecks?

7. Folgendes Programm stammt von François Viète aus dem 16. Jahrhundert. Man folge ihm durch 10

Schleifen mit dem Taschenrechner.

  1 a=2:u=0:n=4
  2 u=sqr(1/2+u/2):a=a/u:n=n+n
  3 print n,a:  goto 2

Was wird hier berechnet, und wie funktioniert es?