Bielefeld, den 28. 4. 1997

Logarithmus naturalis.

Man sieht hier den Graphen y = 1/x über dem Intervall 0.6 ≤ x ≤ 3.3 in einem Koordinatensystem, dessen Längeneinheit 1 dm = 10 cm beträgt. Wir interessieren uns für die Fläche Φ(a, b) zwischen diesem Graphen und dem typischen Streckenabschnitt a ≤ x ≤ b. Einige solcher Flächeninhalte sind schon aufgezeichnet, z. B., Φ(0.6, 1) = 0.5108, Φ(1, 1.6) = 0.4700, Φ(1.6, 2.4) = 0.4055; desgleichen sind auch die Streifeninhalte Φ(1.6 + k × 0.1, 1.7 + k × 0.1) für k = 0, …, 16 angegeben. Die vertikal geschriebenen Zahlen beziehen sich auf Quadratmillimeter, also Zehntausendstel von Flächeneinheiten.

1. Man vergleiche Φ(1, 1.1) mit Φ(2, 2.2) und Φ(3, 3.3); auch Φ(1, 1.2) mit Φ(2, 2.4) und Φ(2.5, 3). Wie erklärt sich dies Phänomen? Wie, zum Beispiel, verhält sich ein typischer Streifen bei dem Übergang (x, y) ↦ (2x, y/2)? Was wäre demnach Φ(2, 4) oder Φ(4, 10)? Und Φ(2, 10)?

2. Man vervollständige die Tabelle der Streifeninhalte, indem man Φ(0.6 + k × 0.1, 0.7 + k × 0.1) für k = 0, …, 9 bestimmt. (Die in Aufgabe 1 gefundene Gesetzmässigkeit darf benutzt werden.)

3. Anhand dieser Tabelle zeichne man den Graphen y = F (x) der Funktion F (x) = Φ(1, x) für x ≥ 1. (Hier ist es zweckmässig, die x-Achse 5 cm höher zu legen als in der ursprünglichen Zeichnung). Wie sollte man F (x) für 0 < x < 1 definieren?

4. Durch Betrachtung des Inhalts Φ(2, 2 + h) = F (2 + h) − F (2) eines dünnen Streifens entlang der Abszisse x = 2 ermittle man die Zuwachsrate der Funktion F (x) (also die Steigung des Graphen) an diesem Punkt. Was wäre das entsprechende Ergebnis bei x = 1, bei x = 3 ?

5. Man skizziere auch den Graphen y = E(x) der Umkehrfunktion von F (x), also die Spiegelung von y = F (x) in der Geraden x = y. Was ist seine Steigung bei x = 0 ?

6. Anknüpfend an Aufgabe 1 bestimme man F (2), F (5) und F (10). Allgemeiner zeige man, dass F (uv) = F (u) + F (v) für beliebige u, v > 1. (Hinweis: Φ(1, w) = Φ(1, u) + Φ(u, w), falls 1 < u < w.)

7. Kennt man F (10), so sind nun F (10^{1/2}), F (10^{1/4}), F (10^{3/4}) und auch F (10^{15/32}) leicht zu berechnen. Wie funktioniert das? Man berechne log_{10}(3) aus F (3) und F (10). Was geht hier vor?

8. Wegen F (2) < 1 < F (3) gibt es zwischen 2 und 3 eine Zahl e derart, dass F (e) = 1. Man berechne F (e^{1/2}), F (e^{3/4}) und schliesslich F (e^{s}) für beliebiges s > 1. Was ist also die Umkehrfunktion E(t) ?

9. Für jedes 0 < t ≤ 1 und jede natürliche Zahl m errechnet folgendes BASIC-Programm eine Zahl P_{m}(t). Man schreibe P_{5}(t) als Polynom in t. Was ist die Ableitung von P_{m}(t) ? Was ist die Ableitung der Potenzreihe P_{∞}(t)?

  1 p=1:  input t:  input m
  2 p=1+t*p/m:  m=m-1
  3 if m>0 goto 2 else print p

10. Obiges Programm geht auch mit dem Taschenrechner. In dessen Speicher kann man die Zahl t aufbewahren, um sie jeweils (s. Zeile 2) in der Anzeige des Rechners mit dem laufenden p/m zu multplizieren und dann 1 zu addieren. Auf diese Weise berechne man u = P_{8}(1), v = P_{8}(0.75) und w = P (0.47). Was ergibt sich unter F (u), F (v), und F (w) ?

11. Um diese Wunder zu entwirren, überzeuge man sich zunächst, dass die Funktionalgleichug F (uv) = F (u) + F (v) für die Umkehrfunktion genau E(s + t) = E(s)E(t) bedeutet. Nun berechne man

E′(t) = lim_{h→0} \frac{E(t + h) − E(t)}{h} = lim_{h→0} \frac{E(h) − 1}{h}E(t) = E′(0)E(t)

und hole sich den Wert E′(0) aus Aufgabe 5. Was besagt dies über E′(t)?

12. Durch Differenzieren identifiziere man das Produkt E(−t)P_{∞}(t) als konstante Funktion. Was folgt daraus für E(t) und P_{∞}(t) ? Details please …