Preisaufgabe 1991: Die Zerlegung der Preisaufgabe in die Teile 2 4 mal 2 2 und die (50) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 71 10 82 21 11 11 35 10 82 82 41 41 81 12 11 37 35 10 31 31 82 20 20 41 60 60 12 11 37 37 80 10 31 31 32 70 34 51 20 41 61 60 60 12 11 42 80 80 80 10 33 33 70 70 70 34 34 36 20 20 61 61 72 60 12 . 22 42 42 42 80 . 33 33 40 40 70 . 90 34 90 36 36 . 71 35 13 21 71 71 35 35 82 13 41 21 81 81 71 37 30 30 13 13 13 51 21 21 72 81 12 37 30 30 31 32 32 51 51 51 72 72 81 42 22 30 33 32 32 34 36 36 61 61 72 22 22 22 40 40 40 90 90 90 hat 4 * 22 schwarze und 4 * 13 weiÞe WÏrfel, bei schachbrettartiger FÌrbung der GrundflÌche. Nur die Pentakuben 37, 71, 72, 82 und 90 kÎnnen vier schwarze WÏrfel Ïberdecken; alle anderen nur drei. Somit lassen sich maximal 89 schwarze WÏrfel, und somit genau einen mehr als mÎglich, Ïberdecken. Jede der Teilfiguren muÞ also einen oder zwei der Pentakuben 37, 71, 72, 82 oder 90 enthalten. Als erstes habe ich alle MÎglichkeiten ausgerechnet, eine Teilfigur zu legen. Nach 20 min (auf einer HP 850) erhielt ich folgende Verteilung: 37 71 72 82 90 ===================================================== ! 37 ! 8322 11277 11277 12172 7596 ! 71 ! 5941 5190 5953 3537 ! 72 ! 5941 5953 3537 ! 82 ! 6004 4042 ! 90 ! 4228 Hierbei bedeutet z.B. der Eintrag 12172 bei (37,82), daÞ es genau 12172 ver- schiedene MÎglichkeiten gibt mit den Teilen 37 und 82 (und ohne 71, 72 und 90) die Figur zu legen. Spiegelungen sind hierbei als verschieden gezÌhlt worden. Insgesamt gibt es somit 30436 MÎglichkeiten davon 21016 verschiedene Partitionen mit einem, und 70534 MÎglichkeiten davon 35416 verschiedene Partitionen mit zwei Pentakuben aus der Menge {37, 71, 72, 82, 90}. Dies sind zusammen 100970 MÎglichkeiten bei 56432 Partitionen. In zwei DurchlÌufen wurden nun alle MÎglichkeiten vier dieser Fieguren zu bauen berechnet. Das Teil 50 liegt natÏrlich die ganze Zeit extra. Es hatte sich gezeigt, daÞ das Teil 80 am schwersten unterzubringen ist, d. h. es kommt nur in wenigen Partitionen vor. Und zwar in 750 Partitionen mit genau einem und in 1912 Partitionen mit genau zwei Pentakuben aus der Menge {37, 71, 72, 82, 90}. FÏr den ersten Fall errechnete ich 794118 MÎglichkeiten bei 388245 Partitionen (nach 2 Stunden 40 Minuten) und fÏr den zweiten Fall ergaben sich 297760 MÎglichkeiten bei 167279 Partitionen (nach ca 8 Stunden). Dies ergibt zusammen: 1091878 MÎglichkeiten bei 555524 Partitionen. ============================================= Im Durchschnitt kommen also auf eine Partition zwei MÎglichkeiten, d.h. nur eine der vier Teilfiguren hat zwei und die anderen eine MÎglichkeit. BerÏck- sichtigt man die Spiegelung, bleibt ungefÌhr die HÌlfte der MÎglichkeiten Ïbrig, wobei sich aber gerade die hohen Vielfachheiten reduzieren. Z. B. ist der Satz (21, 22, 31, 32, 60, 71, 72) symmetrisch gegenÏber Spiegelung, so daÞ man die Anzahl der MÎglichkeiten dieses Satzes bei BerÏcksichtigung der Spiege- lung zu halbieren hat. Die Schwarz-WeiÞ-FÌrbung der GrundflÌche zeigt die UnmÎglichkeit der folgenden Figur. X X O X mit HÎhe 2 X O X O X X O X X O X X O X X O X X O X X O X X O X X O X X O X X O X X O X O X X O X X Dies ist die Preisaufgabe mit ausgestanztem Boden. Diese Figur hat 80 schwarze und 40 weiÞe WÏrfel. Da aber nur die sechs Pentakuben (37, 50, 71, 72, 82, 90) 4 schwarze WÏrfel Ïberdecken kÎnnen, lassen sich maximal 18*3+6*4 = 78 schwarze WÏrfel abdecken. Dieser Beweis benutzt die gleiche FÌrbung, wie die in "Praxis der Matematik" Jan 91 verwendetet, oder bei Martin Gardner zum UnmÎg- lichkeitsbeweis fÏr die folgende Somafigur. 2 2 2 2 (Die Zahl gibt immer die HÎhe 2 2 3 2 2 der WÏrfel an) 2 2 2 2 Einige spezielle Lsgen: 2 A 2 2 zerlegt man weiter in A A 2 2 2 B A A 2 2 2 1 B B B B 2 2 2 1 1 B B B B B 2 2 2 1 1 B B B B B Leider ist 4*A & 4*B & (50) nicht moeglich. Es gibt aber 45 Partitionen fuer 3*A & 3*B & (A+B) & (50) -- A+B -- -- B -- -- B -- -- B -- -- A -- -- A -- -- A -- 1) 12 20 30 34 36 51 90: 1 31 40 60 72 80: 1 13 21 32 37 70: 1 10 11 42 71 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 22 61: 1 : 1' 1' 2) 12 20 30 34 36 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 42 60 71 82: 1 10 13 21 31 37: 1 35 41: 1 33 81: 1 22 61: 1 : 1' 1' 3) 12 20 30 34 36 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 35 41 60 71: 1 10 13 21 31 37: 1 42 82: 1 33 81: 1 22 61: 1 : 1' 1' 4) 20 30 31 33 51 71 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 12 37 42 60: 1 10 13 21 36 82: 1 35 41: 1 34 81: 1 22 61: 1 : 1' 1' 5) 12 20 30 33 35 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 41 60 71 82: 1 10 13 21 31 37: 1 36 42: 1 34 81: 1 22 61: 1 : 1' 1' 6) 12 20 30 33 35 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 36 42 60 71: 1 10 13 21 31 37: 1 41 82: 1 34 81: 1 22 61: 1 : 1' 1' 7) 12 20 30 34 36 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 33 60 71 81: 1 10 13 21 31 37: 1 42 82: 1 35 41: 1 22 61: 1 : 1' 1' 8) 12 20 30 33 35 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 34 60 71 81: 1 10 13 21 31 37: 1 41 82: 1 36 42: 1 22 61: 1 : 1' 1' 9) 20 22 30 40 42 51 72: 1 13 37 60 80 90: 1S 12 21 34 70 71: 1 10 11 32 36 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 31 61: 1 : 1' 1' 10) 12 20 30 34 40 51 72: 1 21 22 42 70 71: 1 13 37 60 80 90: 1S 10 11 32 36 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 31 61: 1 : 1' 1' 11) 12 20 30 33 40 51 72: 1 21 22 42 70 71: 1 13 37 60 80 90: 1S 10 11 32 36 82: 1 35 41: 1 34 81: 1 31 61: 1 : 1' 1' 12) 10 12 13 20 33 51 71: 1 37 40 60 70 80: 1S 30 36 42 82 90: 1 11 21 22 32 72: 1 35 41: 1 34 81: 1 31 61: 1 : 1' 1' 13) 10 12 13 20 33 51 71: 1 37 40 60 70 80: 1S 30 35 41 82 90: 1 11 21 22 32 72: 1 36 42: 1 34 81: 1 31 61: 1 : 1' 1' 14) 12 22 30 34 37 40 51: 1 21 32 61 72 80: 1 11 13 36 60 90: 1 10 20 42 70 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 31 71: 1 : 1' 1' 15) 12 13 20 30 34 51 82: 1 37 40 60 70 80: 1S 11 21 22 32 72: 1 10 36 42 61 90: 1 35 41: 1 33 81: 1 31 71: 1 : 1' 1' 16) 20 22 30 36 42 51 90: 1 33 40 61 72 80: 1 13 21 32 37 70: 1 10 11 12 60 82: 1S 35 41: 1 34 81: 1 31 71: 1 : 1' 1' 17) 12 13 20 30 33 51 82: 1 37 40 60 70 80: 1S 11 21 22 32 72: 1 10 36 42 61 90: 1 35 41: 1 34 81: 1 31 71: 1 : 1' 1' 18) 20 22 30 34 42 51 90: 1 31 40 60 72 80: 1 11 12 37 70 71: 1 10 13 21 36 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 32 61: 1 : 1' 1' 19) 11 22 30 34 51 71 90: 1 31 40 60 72 80: 1 12 20 37 42 70: 1 10 13 21 36 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 32 61: 1 : 1' 1' 20) 20 30 31 33 51 71 90: 1 37 40 60 70 80: 1S 11 12 22 42 72: 1 10 13 21 36 82: 1 35 41: 1 34 81: 1 32 61: 1 : 1' 1' 21) 12 20 30 33 51 81 90: 1 22 34 61 71 80: 1 11 40 60 70 82: 1S 10 13 21 31 37: 1 36 42: 1 35 41: 1 32 72: 1 : 1' 1' 22) 22 31 34 51 61 70 82: 1 13 37 60 80 90: 1S 12 21 30 32 71: 1 10 11 20 40 72: 1 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 1' 1' 23) 12 21 32 37 51 60 70: 1 22 34 61 71 80: 1 13 30 31 82 90: 1 10 11 20 40 72: 1 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 1' 1' 24) 12 20 34 51 61 71 80: 1 22 30 40 82 90: 2 11 32 60 70 72: 1 10 13 21 31 37: 1 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 2' 2' 25) 11 12 20 34 51 61 71: 2 32 40 70 72 80: 1 22 30 60 82 90: 1 10 13 21 31 37: 1 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 2' 2' 26) 12 20 31 34 70 71 80: 1 13 22 30 82 90: 1 11 51 60 61 72: 2 10 21 32 37 40: 1 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 2' 2' 27) 10 13 21 31 51 70 90: 1 30 32 37 60 82: 3 22 34 61 71 80: 1 11 12 20 40 72: 1 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 3' 3' 28) 10 12 13 20 51 60 71: 1 32 40 70 72 80: 1 30 34 37 61 90: 1 11 21 22 31 82: 1 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 1' 1' 29) 10 13 20 31 34 71 90: 1 40 51 61 72 80: 1 12 21 22 32 37: 1 11 30 60 70 82: 1S 36 42: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 1' 1' 30) 12 20 30 34 36 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 22 60 61 71: 2 10 13 21 31 37: 1 42 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 2' 2' 31) 11 20 30 36 51 61 90: 1 32 40 70 72 80: 1 12 22 34 60 71: 1 10 13 21 31 37: 1 42 82: 1 35 41: 1 33 81: 1 : 1' 1' 32) 22 32 34 35 51 70 90: 1 30 60 61 71 80: 1 11 12 20 40 72: 1 10 13 21 31 37: 1 41 82: 1 36 42: 1 33 81: 1 : 1' 1' 33) 11 20 30 35 51 61 90: 1 32 40 70 72 80: 1 12 22 34 60 71: 1 10 13 21 31 37: 1 41 82: 1 36 42: 1 33 81: 1 : 1' 1' 34) 22 31 33 51 61 70 82: 2 13 37 60 80 90: 1S 12 21 30 32 71: 1 10 11 20 40 72: 1 36 42: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 2' 2' 35) 12 21 32 33 51 70 71: 1 31 37 60 61 80: 1 13 22 30 82 90: 1 10 11 20 40 72: 1 36 42: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 36) 11 12 20 33 51 61 71: 1 32 40 70 72 80: 1 22 30 60 82 90: 1 10 13 21 31 37: 1 36 42: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 37) 11 12 20 31 51 61 71: 1 32 40 70 72 80: 1 13 22 30 82 90: 1 10 21 33 37 60: 1 36 42: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 38) 10 13 31 33 51 61 82: 1 37 40 60 70 80: 1S 12 21 30 32 71: 1 11 20 22 72 90: 1 36 42: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 39) 10 12 13 20 51 60 71: 1 32 40 70 72 80: 1 30 33 37 61 90: 1 11 21 22 31 82: 1 36 42: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 40) 10 13 32 33 37 71 80: 1 20 21 22 31 72: 1 12 40 51 61 90: 1S 11 30 60 70 82: 1S 36 42: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 41) 12 20 30 33 36 51 71: 1 37 40 60 70 80: 1S 11 21 22 32 72: 1 10 13 31 61 90: 1 42 82: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 42) 21 31 51 61 70 71 80: 1 12 13 33 40 90: 1 11 22 30 37 60: 1 10 20 32 36 72: 1 42 82: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 43) 21 22 31 37 51 61 80: 1 12 13 33 40 90: 1 11 30 60 70 71: 1 10 20 32 36 72: 1 42 82: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 44) 10 32 36 37 51 61 80: 1 20 21 22 31 72: 1 12 13 33 40 90: 1 11 30 60 70 71: 1 42 82: 1 35 41: 1 34 81: 1 : 1' 1' 45) 12 20 30 33 35 51 90: 1 32 40 70 72 80: 1 11 22 60 61 71: 2 10 13 21 31 37: 1 41 82: 1 36 42: 1 34 81: 1 : 2' 2'