Egg shaped curves: ------------------ Sei P1 = (x1,y1) ein Punkt des Kreises um (0,d) mit Radius a. (1) (x1-d)^2 + y1^2 = a^2 Sei P2 = (x2,y2) ein Punkt des Kreises um (0,0) mit Radius b. (2) x2^2 + y2^2 = b^2 Seien die Punkte P1 und P2 auf einer Geraden durch den Ursprung. (3) y1/x1 = y2/x2 Gesucht ist die Gleichung fuer Q = (x1,y2). Vorgehen: Elimination der Variablen x2 und y1. Loese (1) nach y1^2 auf und (2) nach x2^2 auf. (1') y1^2 = a^2 - (x1-d)^2 (2') x2^2 = b^2 - y2^2 Quadriere (3). (3') x2^2 y1^2 = x1^2 y2^2 Setze (1') und (2') in (3') ein. (4) (b^2 - y2^2)(a^2 - (x1-d)^2) = x1^2 y2^2 Transformation x1 - d -> x und y2 -> y. (5) (b^2 - y^2)(a^2 - x^2) = (x+d)^2 y^2 Expansion (6) b^2 x^2 + a^2 y^2 + 2d xy^2 + d^2 y^2 = a^2 b^2 (7) x^2/a^2 + y^2/b^2 (1 + (2dx+d^2)/a^2) = 1 Du siehst, fuer d=0 gibt es die Ellipsengleichung in (a,b) Form. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Granville's egg - quartic [Granville 1929] x^2 y^2 + c^2 (x - a) (x - b) = 0 with 0 < a < b Granville proposed the problem of finding the volume of the egg generated by the revolving the curve about the x-axis. Volume = pi*c^2*( (a+b)*log(b/a) - 2(b-a) ) [Johnson 1947] calculates the area of the curve Area = pi*c*(sqrt(b) - sqrt(a))^2 He makes the substitution r = (b-a)/2 and h = (b+a)/2. x^2 y^2 + c^2 ((x - h) + r) ((x - h) - r) = 0 or x^2 y^2 + c^2 ((x - h)^2 - r^2) = 0 or (x - h)^2 + x^2 y^2/c^2 = r^2. It is easy to set up a geometric construction for points of the curve. Let P1 = (x1, y2) be a point on the circle at (h,0) with radius r. (1) (x1 - h)^2 + y1^2 = r^2 Let P2 = (x2, y2) be a point on the line perpendicular to the x axis at (c,0). (2) x2 = c Now select P1, P2 in such a way that they are in line with the origin. (3) y1/x1 = y2/x2 Now make Newton's transformation also called hyperbolism. That is we are looking for the curve of the points Q = (x1, y2). With (2) and (3) we get y1 = y2 x1/c. Then eliminate y1 in (1) we get Granville's egg (x1 - h)^2 + y2^2 x1^2/c^2 = r^2 Note that we get the Witch of Agnesia (Versiera) for r=h and Kulp's quartic for h=0. After the translation x -> x+h we get y^2 = c^2 (r^2 - x^2)/(x + h)^2 Now the egg curve is centered. The curve crosses the x-axis at (r,0) and (-r,0). The maximum occurs where hx + r^2 = 0, namely on the polar of (-h, 0) with regard to the base circle. The maximal point is (-r^2/h, c r/sqrt(h^2-r^2)). - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cubic curves as perturbated ellipse: Start with an ellipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 with axis a and b. Make a small perturbation to the minor axis b by a linear factor (1 + eps x) where eps is a small number. We get cubic (1) x^2/a^2 + y^2/(b^2*(1 + eps x)) = 1 As 1 + eps x is almost 1/(1 - eps x) for small eps the curve looks like (2) x^2/a^2 + y^2/b^2 * (1 - eps x) = 1 The curve is located between two ellipses with minor axis b+ and b-. So you can write the (1) as x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 with b^2 = ( (a-x)*(b-)^2 + (a+x)*(b+)^2 )/(2a). and (2) as x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 with 1/b^2 = ( (a-x)/(b-)^2 + (a+x)/(b+)^2 )/(2a). I found the parameter set (a,b-,b+)=(1, 1/2, 3/4) good looking. The two forms (1) and (2) can be combined to (3) x^2/a^2 + y^2/b^2 * (1 - eps1 x)/(1 + eps2 x) = 1 This is the general cubic egg equation. Each cubic curve which is symmetric about the y-axis is of this type A y^2 x + B y^2 + C x^3 + D x^2 + E x + F = 0. But other cubic constructions are possible. See the "Pearls of Sluze" and the Bezier curve. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Mechanical egg curve construction by a two bar linkage - a quartic A / / B / / / / / -----------=P=-------------Q---------- Let Q and P be points on a horizontal axis. Q is fixed. The two bars of the linkage are QA and PA. Let QA = r, AP = a, BP = b. (Note that a need not be greater than r.) Now A can be moved around Q on a circular track. Thereby P is moving forth and back. The track of B is an egg curve. B need no be between A and P. Let Q be the origin of a coordinate system. Then the resulting quatic curve is symmetric in x and y. So it actually describes two eggs. Such a divise has been described by [Karl Mocnik 1998]. An interactive web page with such a linkage is www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/ sistema biella-manovella. For r=2, a=3, b=2 we get a nice egg curve. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Polynomials making chains of eggs: Let f(x) = (x-x1)(x-x2)...(x-xn) be a polynomial with distinct real roots x1, x2, ... xn. Example: -f(x) for n=4 looks like this x x x x x ------x1----x2--------x3------x4----- x x x x x x x x The equation y^2 = -f(x) will have two eggs in [x1,x2] and [x3,x4]. With 2n roots we can create a chain of n eggs in this way. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Newton's cubic: Elliptic curve y^2 = x(x+a)(x+b) three real and unequal roots 0, -a, -b http://home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubicn.html , , | ' ' ' , | ' ' ' |' --b--------------a------+------------------ , , |, , , ' | , ' ' | , Another parametrization which gives better control of the shape a^2 b y^2 = c^2 (x + a)(x - a)(x - b) with 0 < a < b , ,A ' A = (0, c) ' ' , ' ' ' ' - -a -----0----- +a -----b------------------ , , , , , ' , ' ' , The maximal value occures at x = (b - sqrt(b^2 + 3a^2))/3. The radius of curvature of a parabola y^2 = 2px at x=0 is p. Let f(x) = (x + a)(x - a)(x - b) then f'(a) = 2a(a-b) and f'(-a) = 2a(a+b). Therefore the radius of curvature of the egg at x=a is c^2(1/a - 1/b) and at x=-a it is c^2(1/a + 1/b). Double Egg quartic: y^2 = -c(x+a)(x-a)(x+b)(x-b) = -c(x^2 - a^2)(x^2 - b^2) Special case of the polynomial egg chain. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Apollonian cubic: (x-a)(x^2 + y^2) + bx + cy = 0 http://home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubica.html Given two line segments, what is the locus of the points P from which the angles viewing the segments are equal. , , D ' ' , | ' ' | A--------------B | , , | , , ' | ' ' C - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Transforming the ellipse: Inversion of the ellipse at a focal point = Limacon of Pascal: ellipse in polar form: r = k e/(1 + e Cos(phi)) with eccentricity e is 0 < e < 1. Limacon in polar form: r = k' (e' + Cos(phi)) Inversion of the ellipse: (x - c)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ellipse at (c, 0). Inversion at the origin is the transformation x->x/r^2, y->y/r^2. (x - c (x^2 + y^2))^2/a^2 + y^2/b^2 = (x^2 + y^2)^2 Negative Pedal curve of the ellipse (ovoid): (Lockwood 1967) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Limacon Graphics Gallery: http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/LimaconGGallery_dir/limaconGGallery.html http://home.planet.nl/~wasse170/roulette/roulettel.html - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Toric sections - hippopede of Proclus: analyzed by Perseus The toric with two radii 'c' and 'd'. 4 c^2 (x^2 + z^2) = (x^2 + y^2 + z^2 + c^2 - d^2)^2 Now make the section at z = const. For 0 <= z < c-d we get two eggs in the section. http://www.angelfire.com/nm/cassinianoval/ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - The Family r = cos^p(phi) or [M\"unger Eggs] x^q = x^2 + y^2 with q = 2p/(p+1): Fat Egg: [sectic, p=1/5, q=1/3] r = (cos(phi))^(1/5) r^5 = x/r => x = (x^2 + y^2)^3 => x^(1/3) = x^2 + y^2 Fat Egg: [quartic, p=1/3, q=1/2] r = (cos(phi))^(1/3) r^3 = x/r => x = (x^2 + y^2)^2 => x^(1/2) = x^2 + y^2 Fat Egg: [sectic, p=1/2, q=2/3] r = sqrt(cos(phi)) r^2 = x/r => x^2 = (x^2 + y^2)^3 => x^(2/3) = x^2 + y^2 Circle: [quadratic, p=1, q=1] r = cos(phi) r = x/r => x = (x^2 + y^2) => (x - 1/2)^2 + y^2 = 1/2^2 Double Egg: [sextic, p=2, q=4/3] Inverse of the Kampyle r = cos^2(phi) [ F. M\"unger 1894 ] r = x^2/r^2 => x^4 = (x^2 + y^2)^3 => |x|^(4/3) = x^2 + y^2 Folium: falsches Kepler Ei [quartic, p=3, q=3/2] Pedal curve of the Tricuspoid (point is at the cusp) r = cos^3(phi) r = x^3/r^3 => x^3 = (x^2 + y^2)^2 => x^(3/2) = x^2 + y^2 Egg: [sextic, p=5, q=5/3] r = cos^5(phi) r = x^5/r^5 => x^5 = (x^2 + y^2)^3 => x^(5/3) = x^2 + y^2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Multifocal Curves - Tschirnhaussche Eikurven CASSINIENNE - multi cassinian curves http://perso.club-internet.fr/rferreol/encyclopedie/courbes2d/cassinienne/cassinienne.shtml - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Pivot transform construction of Path-curves: Given two function f(t) and g(t) with range R+ or [0,a]. One function is monotonic increasing the other monotonic decreasing. We are interested in the path of the crossing point in the diagram below. | | | + | / | | | + / | | \ | | \ / | | \ | | \/ | f | :\ | g | / : \ | | : \ | | / : y \ | | : \ | A---a----+-----b----B a:y = a+b:g and b:y = a+b:f gives by addition 1/y = 1/f + 1/g Let A = (-1,0) and B = (1,0) then a+b = 2 and a-b = 2x add by subtraction we have. x/y = 1/g - 1/f If f^p g^q = const then with some constant c (1 + x)^p (1 - x)^q = (c y)^(p+q) Maximal value at x = (p-q)/(p+q) so x divides the line -1, 1 as p:q. Examples: (p,q,c) (1,1,1) is the circle (2,1,2) (3,2,3/2) (Fib(n+1),Fib(n),Fib(n+1)/Fib(n)) Fibonacci Eggs This is a special case of the "Pearls of Sluze" (named by B. Pascal) y^n = k (a-x)^p x^q which was studied by deSluze (1657-1698). - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Bezier Curve: with control points A, B, C, D. ___---C ___--- | B--- | | | | | ---A-------+-------D--- A=(-1, 0) B=(-1, a) C=( 1, b) D=( 1, 0) Egg curve: t in [-1, 1] x(t) = (3t - t^3)/2 y(t) = 3 ( (a+b) + (-a+b)t + (-a-b)t^2 + (a-b)t^3 ) / 8 = 3*(1-t)*(1+t)*( a*(1-t) + b*(1+t) )/8 x'(t) = 3 (1 - t^2)/2 y'(t) = 3 ( (-a+b) + 2(-a-b)t + 3(a-b)t^2 ) / 8 Egg curve: t in [0,1]. With Bernstein Polynomials B[n,k](t) = Binomial[n,k] * t^k * (1-t)^(n-k) (x(t), y(t)) = A*B[3,0](t) + B*B[3,1](t) + C*B[3,2](t) + D*B[3,3](t) x(t) = - B[3,0](t) - B[3,1](t) + B[3,2](t) + B[3,3](t) = -1 + 2 B[3,2](t) + 2 B[3,3](t) = -4 t^3 + 6 t^2 - 1 y(t) = a*B[3,1](t) + b*B[3,2](t) = 3*t*(1-t)*( a*(1-t) + b*t ) x'(t) = 12 t (1-t) y'(t) = 3 ((1-t)(1-3t)a + t(2-3t)b) The elimination of the parameter t gives a polynomial of order 3 in x and y. So again we have a cubic. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - References: Egg Curves, Ovals, Ovoid (Eikurve, Eilinie) - Ball, N. H. On ovals. American Mathematical Monthly 37, 348-353 (1930). JFM 56.0655.09 review article - four-vertex theorem - inequalities - P. Baudoin; Les ovales de Descartes et le limaµon de Pascal, Vuibert, Paris (1938) - Brunn, H. Ueber Ovale und Eifl\"achen. Dissertation M\"unchen. Published: (1887) JFM 19.0615.01 - Brunn, H. Ueber Curven ohne Wendepunkte, M\"unchen, Th. Ackermann (1889) 74S JFM 21.0815.01 - Brunn, H. Referat \"uber eine Arbeit: Exacte Grundlagen f\"ur eine Theorie der Ovale. M\"unch. Ber. XXIV. 93-111. Published: 1894 JFM 25.0873.03 - A. Cayley; On the mechanical description of certain quartic curves, by means of a modified oval chuck, Proc. of the London Mathematical Society IV (1872) 186-190 JFM 04.0346.02 - A. Cayley; On the mechanical description of a Cartesian, Quart. J. XIII (1874) 328-330 JFM 07.0350.02 - Cartesian oval - Ovales de Descates http://home.wxs.nl/~wasse170/quartic/quarticct.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cartesian.html - C. Ch. Engberg; The cartesian oval, Nebraska Grad. Bull. 1 () 23-34 JFM 31.0596.02 the relation of parabel y^2 - 2Ay - 2Bx + C^2 = 0 and cartesian oval r^2 - 2Ar - 2Bx + C^2 = 0 where r^2 = x^2 + y^2. - Martin Gardner; Geometrie mit Taxis, die Koepfe der Hydra und andere mathematische Spielereien. Aus dem Amerikanischen von Anita Ehlers. (The last recreations: hydras, eggs, and other mathematical mystifications). Basel: Birkhaeuser. 297 S. DM 39.80; oeS 291.00; sFr. 34.00 (1997). [ISBN 3-7643-5702-9/pbk] - Gebel und Seifert; Das Ei einmal anders betrachtet, (eine Schuelerarbeit) Junge Wissenschaft 7 (1992) H.28, S.8 y^2 = (0.023x + 0.6) (1/4 - (x - 1/2)^2) Kreis mit Linearfaktor = (0.023x + 0.6) x (1 - x) Das ist ungefaehr 43 y^2 = (x + 26) x (1 - x) - Ellipse mit linearer Stoerung von b^2. (x/a)^2 + (y/b(x))^2 = 1 b(x) = ( (a-x)*b1 + (a+x)*b2 )/(2a). Beispiel (a,b1,b2)=(1, 1/2, 3/4) - Oswald Giering; Bestimmung von Eibereichen und Eik\"orpern durch Steiner-Symmetriesierungen, 1962, Stuttgart, TH, Dissertation - W. A. Granville; Elements of the differential and integral calculus. Revised by {P. F. Smith} and {W. R. Longley} 516 p. Boston, Ginn \& Co. (1929) JFM 55.0729.06 - p 380, ex. 19 x^2 y^2 + c^2 (x - a) (x - b) = 0 - Paul Hoffman; Archimede's Revenge, 1988, chapter 5 "Adventures of an Egg Man" - Wolfgang Hortsch; Alte und neue Eiformeln in der Geschichte der Mathematik, M\"unchen, Selbstverlag 1990, 30S - R. A. Johnson; An ornithological note, American Mathematical Monthly 54 (1947) 594-595 - discusses Granville's egg x^2 y^2 + c^2 (x - a) (x - b) = 0. - M\"unger, F. Die eif\"ormigen Curven. [Dissertation] Bern. K. J. Wyss. 46 S. Published: 1894 JFM 25.1154.03 Eine nach allen Seiten hin erstreckte Bearbeitung solcher Curven, welche durch gewisse geometrische Constructionen aus dem Kreise abgeleitet werden k\"onnen und darin \"ubereinstimmen, dass die Glieder h\"ochster Dimension ihrer Gleichung von der Form (x^2+y^2)^n sind. - Rump, F. H. Construction und Berechnung von Ovalen. (German) Pr. Coesfeld. 1870. Published: 1870 JFM 02.0516.01 Die Arbeit enth\"alt einige allgemeine Aufgeben \"uber Construction und Ovalen, wenn eine der Axen des Ovals oder beide gegeben sind. Die Constructionen werden durch Kreise ausgef\"uhrt, deren Mittelpunkte die Ecken von gewissen gleichseitigen oder gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken sind. Die Berechnung erstreckt sich auf Berechnung des Umfangs und Inhalts der Ovale. Den Schluss bildet die Construction der Eilinie, wenn deren L\"ange und Breite gegeben ist. - Hans Schupp, Heinz Dabrock; H\"ohere Kurven, Situative, mathematische, historische und didaktische Aspekte, BI Wissenschaftsverlag 1995, ISBN 3-411-17221-5 - Referenzen zu Eikurven, wie Hortsch, M\"unger, Gebel und Seifert - Karlheinz Spallek; Kurven und Karten, BI Wissenschaftsverlag 1980 - Kapitel: Das Ei des Kolumbus (steht das Ei r=cos^n(phi) ?) [M\"unger Eggs] Zbl 445.53001 - A. Wittstein; Notiz ueber das eigentliche Oval, Hoppe Archiv (3) XIV (1895) 109-111 JFM 26.0685.02 - Walter Wunderlich; Zur Geometrie der Vogeleier. Sitzungsber., Abt. II, \"Osterr. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 187, 1-19 (1979). [ISSN 0723-9319] Zbl 0414.51015 (x^2 + y^2)^2 = a*x^3 (M\"unger Eggs) If you want more articles about ovals look under http://www.emis.de/MATH/JFM/JFM.html for "titles" containing "oval*" or "global index" containing "oval*" I got 230 hits! - Holditch - ------------- - Arne Broman; Holditch's Theorem. A fresh look at a long-forgotten theorem, Mathematics Magazine 54:3 (1981) 99-108 Zbl 468.51005 - Mark J. Cooker; An extension of Holditch's Theorem, The Mathematical Gazette 82 No 494 (July 1998) 183-188 mailto:M.Cooker@uea.ac.uk - Leonhard Hering; Holditch-Saetze fuer Regelflaechen und deren Uebertragung auf ebene und sphaerische Kurven, Dissertation Fachbereich Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt, 1981, 140S. Zbl 482.53009 - Leonhard Hering; Saetze vom Holditch-Typ fuer ebene Kurven, Elemente der Mathematik 38 (1983) 39-49 Zbl 506.53001 - Leonhard Hering; Holditch-Saetze fuer Regelflaechen bzw. sphaerische Kurven, J. Geom. 20 (1983) 85-100 Zbl 515.53007 - Egg Pages - ------------- - J\"urgen K\"oller; Eilinien, Eikurven, Ovale http://www.mathematische-basteleien.de/ http://www.mathematische-basteleien.de/eilinien.htm (German) http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm (English) - Egg Math http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/ - Mathematik rund ums Ei; H.-G. Weigand (Projektverantwortlicher) weigand@mathematik.uni-wuerzburg.de Universit\"at W\"urzburg Lehrstuhl f\"ur Didaktik der Mathematik http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/mathei/ - Kurven: Ellipse, Cartesian, Descates - Einalysis: Ellipse mit linearer Stoerung von b. (x/a)^2 + (y/b(x))^2 = 1 - ??? http://www.pandd.demon.nl/eipyth.htm - ??? http://www.matematiksider.dk/ellipser.html - william w chow; Understanding the Vegreville Pysanka, http://www.geocities.com/williamwchow/egg/e-egg.htm - Eggs made of args - --------------------- - Brian Bolt; Even more mathematical activities, Cambridge Univ. Press, 1987 (german: Die dritte mathematische Fundgrube, Klett Verlag, 1993, ISBN 3-12-722730-2) Sect 19: Steinkreise, mathematisch betrachtet, p16-19, 145 - Robert Dixon; Mathographics, New York, Dover Publ. 1991. p 6 - Bruno Ernst; Een eitje, zo'n eitje (ei-vormen), Pythagoras (Oct 2000) http://www.pandd.demon.nl/eipyth.htm - Ei des Kolumbus (Anker) - Albrecht D\"urer; Underweysung, 1528 His egg is not smooth. - Scriba, Schreiber; 5000 Jahre Geometrie, Springer Verlag 2000, Abb. 5.5.7: D\"urers Ei His egg is not smooth. - Eggs made of elliptical args - -------------------------------- Gaertnerkonstruktion mit mehreren Pfloecken. - Sections - conic - vortex - toric - ------------------------------------- - W. V. Brown; The cartesian oval and related curves as sections of the anchor ring, Annals of Mathematics VI (1892) 161-162 JFM 24.0701.01 - C. W. Merrifield; Cartesian ovals regarded as projected intersections of the second degree, Messenger (2) III (1874) 141-142 JFM 06.0385.04 section of conic and sphere -> cartesian oval - C. W. Merrifield; Cartesian ovals considered as conic intersections, Messenger (2) V (1875) 148 JFM 06.0385.04 section of two conic of parralel axis -> cartesian oval - Norbert Harthun; Ines Rennert; nach Viktor und Walter Schauberger Pythagoras Kepler System http://members.aon.at/pks.or.at/Ei-Kurven.html - Schnitt des hyperbolischen Trichters - http://www.mathematrix.de/ Hier wird der Kegel mal krum abgeschnitten. Es werden dann die Projektionen betrachtet. - Multifocal curves - --------------------- - M. W. Crofton; On various properties of bicircular quartics, Proc. of the London Mathematical Society II (1869) 33-45 JFM 02.0418.01 Trifocal curves - Eugene Ehrhart; Ueber eine Klasse von Eilinien und Eiflaechen, Sitzungsber., Abt. II, Oesterr. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 190, 495-513 (1981). Zbl 0501.51010 - James Clerk Maxwell; Adolescence - 1844 to 1847 (13-16) http://www.hrshowcase.com/maxwell/chpt_4.html Trifocal curves - meloid, apioid - Sz.-Nagy, Gyula Tschirnhaussche Eiflaechen und Eikurven. (German) Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1, 36-45 (1950). Zbl 040.38402 Die multipolaren Koordinaten r_i (i=1,2,...,n) eines Raumpunktes P sind die Abst\"ande von n festen Brennpunkten F_i. Eine Tschirnhaussche Fl\"ache n-ten Grades E_n(R) ist durch die lineare Gleichung p_1 r_1 + p_2 r_2 + ... + p_n r_n = R (p_i > 0, p_1 + p_2 + ... + p_n = 1, R >= 0) charakterisiert. Sie ist, wie sich leicht feststellen l\"asst, konvex. Ist R_0 bei festem F_i und p_i der kleinst m\"ogliche Wert von R, so heisst E_n(R_0) Kern der konfokalen Fl\"achenschar f\"ur R >= R_0. Es handelt sich um einen Kernpunkt oder um eine Kernstrecke; das letztere ist nur dann m\"oglich, wenn die Brennpunkte auf einer Geraden liegen. Ist K eine Umkugel der n Brennpunkte vom Radius r, so liegt die Eifl\"ache E_n(R) ganz in der abgeschlossenen Kugelschale, die mit K konzentrische ist und die Radien R+r und R-r aufweist; ist hier der innere Radius negativ, so tritt die Vollkugel an die Stelle der Kugelschale. Jede Normale der Eifl\"ache E_n(R) trifft die konvexe H\"ulle ihrer Brennpunkte. -- Diese und andere einfache Eigenschaften der Tschirnhausschen Eifl\"ache werden auf elementare Weise gewonnen. - S. Robert; On the ovals of Descartes, Proc. of the London Mathematical Society III (1871) 106-126 JFM 03.0336.06 - Junpei Sekino; n-ellipses and the minimal distance sum problem, American Mathematical Monthly 106:3 (1999) 193-202 - multifocal curves with weight one. - CASSINIENNE - multi cassinian curves http://perso.club-internet.fr/rferreol/encyclopedie/courbes2d/cassinienne/cassinienne.shtml - Path curves - W-curves - -------------------------- - Clopper Almon; Path curves, an introduction to the work of L. Edwards on bud forms. Open Syst. Inf. Dyn. 2, No.3, 265-277 (1994) Zbl 894.92003 The classic work of L. Edwards [The field of forms. (1982)] on plant-bud forms is here described in modern mathematics for the first time. Edwards found that about 120 of a total of 150 species he measured in Australia, New Zealand and Scotland could each be well-described (statistically) by a unique projectively invariant curve winding around it from base to tip. Only linear algebra and calculus is required of the reader. - Antonelli, P.L. On the differential geometry of Edwards' plant bud surfaces. Open Syst. Inf. Dyn. 4, No.2, 119-123 (1997). Zbl 899.53005 - Ostheimer, Christian; Ziegler, Renatus; Skalen und Wegkurven. Einfuehrung in die Geometrie von Wegkurven. Mit einem Beitrag von Dieter Koetter: ``Elementare Geometrie der ebenen $W$-Kurven''. (Scales and projectivities. Introduction to the geometry of plane curves and surfaces. With a contribution of Dieter Koetter on ``Elementary geometry of plane-$W$-curves''). Mathematisch-Astronomische Blaetter. Neue Folge. 19. Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag am Goetheanum. ix, 256 S. (1996). [ISBN 3-7235-0952-5/pbk] Zbl 909.51006 - Nick C. Thomas; Pivot Transforms, http://www.anth.org.uk/NCT/people.htm (see the references for this work) http://www.anth.org.uk/NCT/pivot.htm (a short description) http://www.anth.org.uk/NCT/path.htm (some eggs) (path curves) - Klein, F.; Lie, S. Ueber diejenigen Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich \"ubergehen. [J] Clebsch Ann. IV. 50-84. Published: (1871) JFM 03.0348.01 Bezeichnet, wie es hier stets geschieht, Transformation die Substitution einer Funktion von Coordinaten fÏr die Coordinaten, so ist die Folge einer Transformation eine Ver\"uckung des durch die letztern bestimmten Punktes oder Raumgebildes. Der Aufsatz handelt nun von denjenigen ebenen Curven, welche durch lineare Transformationen unverÌndert bleiben, und welche daselbst den Namen $W$-Curven fÏhren. Man gelangt zu ihnen, indem man die lineare Transformation, welche eine unendlich kleine Verr\"uckung bewirkt, unendlich oft wiederholt. Die durch die erhaltene Punktreihe gehende Curve wird dann durch eine endliche Transformation gleicher Art nicht verÌndert. Alle m\"oglichen linearen Transformationen lassen sich nun aus folgenden 5 einfachen zusammensetzen: $$\text{I.}\quad \matrix \format\l\\ x'=ax\\ y'=by,\endmatrix \qquad \text{II.}\quad \matrix\format\l\\ x'=ax\\ y'=y+b\endmatrix\qquad \text{III.} \quad \matrix\format\l\\ x'=x+a\\ y'=y+ax+b,\endmatrix$$ $$\text{IV.}\quad \matrix\format\l\\ x'=ax\\ y'=ay\endmatrix \qquad \text{V.}\quad\matrix\format\l\\ x'=x+a\\ y'=y+b\endmatrix$$ sÌmmtlich von der Beschaffenheit, dass die Wiederholung einer jeden nur eine Transformation derselben Classe f\"ur neue Constantenwerthe ergiebt. Bildet man das Resultat einer $\lambda$ maligen Wiederholung, setzt $$x' = x + dx; \quad y' = y + dy$$ und $d\lambda$ f\"ur $\lambda$, und eliminirt $d\lambda$ durch Division, so erh\"alt man die Differentialgleichung der $W$-Curve f\"ur jede der 5 Transformationsklassen. Die $W$-Curven sind dann die folgenden: $$\text{I.}\quad \left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{b} = \left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{a}, \qquad \text{II.}\quad a (y - y_{0}) = b\, \log \frac{x}{x_{0}},$$ $$\text{III.}\quad a (x^{2} - 2y) - bx = a (x_{0}^{2} - 2y_{0}) - bx_{0},$$ $$\text{IV.}\quad \frac{x}{x_{0}} = \frac{y}{y_{0}}, \qquad \text{V.}\quad a(y - y_{0}) = b(x - x_{0}).$$ Aus der genannten Eigenschaft der Curven folgt dann weiter, dass auch alle Gebilde, die zu ihnen in fester Beziehung stehen, z. B. die Tangenten und deren Schnittpunkte, diese Beziehung bei jeder Transformation gleicher Classe f\"ur gleiche Constantenwerthe unver\"andert behalten. Es sind dies alle im Sinne der neuern Algebra covarianten Beziehungen zu dem von der $W$-Curve und dem Fundamentaldreieck (Coordinatensystem) gebildeten Systeme. Unter den Eigenschaften der $W$-Curven, die hieraus folgen, sind insbesondere genannt: \par Curven eines Systems k\"onnen sich nur in Eckpunkten des Fundamentaldreiecks schneiden. \par Curven $W$ besitzen in keinem ihrer Punkte, ausser etwa in den Eckpunkten des Fundamentaldreiecks, Singularit\"aten. \par Jede covariante Curve einer $W$-Curve ist eine Curve desselben Systems. \par Die Umh\"ullungslinie der aus den linearen Transformationen eines $W$-Curvensystems, auf eine andere Curve angewandt, hervorgehenden Curven besteht aus $W$-Curven desselben Systems. \par Es werden dann weiter die verschiedenen Transformationsklassen combinirt, und die Bedingungen der Vertauschbarkeit ihrer Reihenfolge untersucht. Hierzu geh\"ort, dass die Elemente der Ebene, welche bei der einen fest bleiben, auch bei der andern fest bleiben, oder durch dieselbe unter sich vertauscht werden. Ferner sollen die Systeme von Transformationen, die man erh\"alt, indem man die Constanten alle Werthe durchlaufen l\"asst, derart sein, dass sie in keinem umfassenderen enthalten sind. Es sind dies wiederum f\"unf, deren erste drei mit den einfachen gleichlauten. An Stelle der beiden andern treten: $$\align x' = x+a & \qquad\qquad x'=x\\ y'=y+b & \qquad\qquad y'=y + ax + b.\endalign$$ Anwendungen werden hiervon gemacht auf beliebige andere Curven als Elemente der Ebene, indem sie den genannten Transformationen unterworfen werden. Unter den specielleren sind folgende S\"atze zu erw\"ahnen: \par Die reciproke Polare einer $W$-Curve hinsichtlich eines Kegelschnitts, der das Fundamentaldreieck zum Polardreieck hat, ist eine Curve desselben Systems. Die $W$-Curve ist dann ihre eigene reciproke Polare, wenn sie vom Kegelschnitt ber\"uhrt wird. \par Das Doppelverh\"altniss der Tangente einer $W$-Curve zu den 3 Geraden, welche ihren Ber\"uhrungspunkt mit den Ecken des Fundamentaldreiecks verbinden, ist constant. \par Die Betrachtung der Differentialgleichung der $W$-Curve f\"uhrt zu einer Methode der Separation der Variabeln, von welcher die auf homogene Gleichungen gew\"ohnlich angewandte nur ein specieller Fall ist. Sie l\"asst sich auf jede Gleichung $$\frac{dy}{dx} = f (y, x)$$ anwenden, die durch einfach unendlich viele Transformationen in sich \"ubergeht. Sei n\"amlich $y=\kappa$ die Gleichung aller solcher Curven, die durch diese Transformationen in sich \"ubergehen, und $\xi = \lambda$ die Gleichung des Curvensystems, das aus einer beliebigen Curve $\xi = \lambda_{1}$ durch Anwendung derselben Transformation hervorgeht, dann durch Einf\"uhrung von $\xi$, $\eta$ f"ur $x$, $y$ die gegebene Gleichung in eine solche \"uber, in welcher die Variabeln separirt sind. \par Den Schluss bildet eine Anwendung auf Raumcurven. [ Hoppe, Prof. (Berlin) ] Subject heading: Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 2. Analytische Geometrie der Ebene. D. Andere specielle Curven. - Astronomy - ------------- - E. Lloyd, A. Hirst; Cassini, his ovals and a space probe to Saturn. The Mathematical Gazette. (1997) v. 81(492) p. 409-421. MATHDI 2000c.02060 The space probe to Saturn launched by NASA in 1997 was named after Cassini who discovered the dark gap between the rings of the planet. He also proposed that planets move in orbits now called Cassini ovals. An ellipse is the locus of a point which moves so that the sum of its distances from two fixed points is constant; a Cassini oval consists of a point moving so that the product of its distance from two fixed points is constant. Various properties of the curve are derived. - F. P. Matz; Problem ME-40, American Mathematical Monthly 3 (1896) 187 problem by F. P. Matz American Mathematical Monthly 4 (1897) 22 solution by G. B. M. Zerr Find the law of the force, in order that the orbit may be a Cassinian Oval. - F. P. Matz; Problem 3419, American Mathematical Monthly 37 (1930) 196 problem by F. P. Matz American Mathematical Monthly 38 (1931) 53 solution by Norman Anning Determine the law of the force, in order that the orbit be a Cassinian oval. - Karl Mocnik; Ellipse, Ei-Kurve und Appolonius-Kreis. (engl. Ellipses, ovals and apollonius circle.) PM. Praxis der Mathematik. Sekundarstufen 1 und 2. Vereinigt mit "Didaktik der Mathematik". (1998) v. 40(4) p. 165-167 mailto:Karl.Mocnik@oeaw.ac.at MATHDI 1998e.03836 Die Ellipse bietet stets neue Einsichten, deren Betrachtung sich insbesondere fuer den Schulunterricht eignen. Es wird gezeigt, dass die Ellipse mit dem Apolionius-Kreis durch Vermittlung einer Eikurve zusammenhaengt. - Karl Mocnik; Bevorzugte Kepler die Eibahn? PM. Praxis der Mathematik. Sekundarstufen 1 und 2. Vereinigt mit "Didaktik der Mathematik". (2001) v. 43(2) p. 89 Schwerpunktthemenheft 24: Geschichte(n) mailto:Karl.Mocnik@oeaw.ac.at - "Wenn bloss die Form eine vollkommene Ellipse waere, liessen sich alle Antworten bei Archimedes und Apollonius finden." - E. Oekinghaus; Die Cassini'sche Linie in ihrer Beziehung zur Bewegung der Himmelk\"orper, Wochenschrift fuer Astronomie (2) XXXI (1888) 316-318 JFM 22.0902.02 Nimmt man den Polarradius einer Curve gleich der Geschwindigkeit v eines Planeten, den Polarwinkel gleich der wahren Anomalie, so ist diese Curve ein Cassini'sches Oval. - Padraig O Searcaigh; The Torus, http://www.angelfire.com/nm/cassinianoval/ - J. Sivardiere; Kepler Ellipse or Cassinian oval? European Journal of Physics 15:2 (1994) 62 - Collections of curves - ------------------------- - J. Dennis Lawrence; A catalog of special plane curves, Dover Publications, Inc., New York, 1972, 229pp ISBN 0-486-60288-5 - E. H. Lockwood; A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 157, 1967. calls the Negative Pedal Curve of an Ellipse with Eccentricity an ovoid. - E. V. Shikin; Handbook and atlas of curves, CRC Press, Boca Raton FL (1995). - ??? - ------- - M. Zettler; Ei, Ei, Ei, PM Heft 2 (2000) 82 zwei cubische Eiformeln mit Funtionsgraphen y^2 = 0.6^2 x(x-1)(x-2) mit 0<=x<=1 y^2 = (2/9)^2 x(x-8)(x-15) mit 0<=x<=8 - M. Zettler; ... Ei, PM Heft 3 (2000) 129 eine cubische Eiformel mit Funtionsgraphen y^2 = 0.35^2 x(x-4)(x-6) mit 0<=x<=4 - W. S\"u{\ss}; Zur relativen Differentialgeometrie. I: \"Uber Eilinien und Eifl\"achen in der elementaren und affinen Differentialgeometrie. Japanese Journ. of Math. 4, 57-75 (1927). JFM 53.0700.01 - W. S\"u{\ss}; Einige mit dem Vierscheitelsatz f\"ur Eilinien zusammenh\"angende S\"atze. Tohoku Math. Journ. 28, 216-220 (1927). JFM 53.0712.04 - S. Maennel; Aufgaben zu mathematischen Eilinien und Eik\"orpern, MNU (8/1989) 498 eine Eikurve aus Kreisboegen (das Ei des Kolumbus). Aufgaben: Oberflaeche, Volumen, Schwerpunkt des Rotationskoerpers bestimmen. Keine Lsgen angegeben. - K. Treitz; Ostergruss, MNU (2/1998) 73 Kartesiche Eiformael (bifocal): 3*r1 + 2*r2 = 10 Abstand der Focii ist 3. - Nagy, Gy.F. Ein eif\"ormiges Geschwindigkeits-Diagramm. (An egg-shaped velocity diagram). R\"oschel, O. (ed.) et al., Geometrie-Tagung ``107 Jahre Drehfluchtprinzip'', Vorau, \"Osterreich, 1. Juni-6. Juni 1997. Tagungsband. Vorau: TU Graz, 62-68 (1999). Zbl 0942.53015 He tires to find parameters such that the diagram matches the shape of a real bird-egg. He could for the Lapwing (Vanellus vanellus), but failed for the Black-tailed Godwit (Limosa limosa). - Roger Herz-Fischler; D\"urer's paradox or why an ellipse is not egg-shaped. Math. Mag. 63, No.2, 75-85 (1990). Zbl 0707.01008 Welche Linie entsteht wirklich beim schrägen Schnitt von Kegel und Ebene, die in der ``Underweysung der Messung mit dem zirckel und richtscheyt'', N\"urnberg 1525, von Albrecht D\"urer als ``die lini elipsis'' bezeichnet wird? D\"urer liess diese Frage unbeantwortet, denn in seiner - aus heutiger Sicht - relativ ungenauen geometrischen Konstruktion konnte man die entsprechende Figur zu Recht ``die eyer lini Elipsis'' nennen. ``It also seems to me that we must presume that Dürer thought that the ellipse was indeed egg-shaped'' (S. 84) stellt Verf. fest, nachdem er in einem äusserst klar geschriebenen Beitrag mittels analytischer Methoden die Ellipsengleichung f\"ur D\"urers Konstruktion herleitete. - Bei so interessanten Abhandlungen ist es schade, dass z.B. Figur 6a einige sinnentstellende Bezeichnungen enthaelt, die nur auf eine nicht ausreichende Anzahl von Satzkorrekturen zurueckzufuehren sind. -- http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/ mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de