Back to the home page of A.Grigor'yan
09.04.2018 - 20.07.2019
Mi 10-12 H13 Fr 12-14 H1 (20.07 im H6)
Abgabe von Hausaufgaben an die Tutoren erfolgt Freitags bis 14:00. Die Lösungen von Hausaufgaben müssen handgeschrieben sein. Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale Wert von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.
1. Mengen und reelle Zahlen
Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengenoperationen. Formeln von De
Morgan. Abbildungen. Komposition von Abbildungen. Inverse Abbildung.
Axiomensystem von reellen Zahlen. Unmittelbare Folgerungen aus den Axiomen.
Intervalle. Supremum und Infimum. Quadratwurzel.
2. Ganze Zahlen und vollständige Induktion
Natürliche Zahlen. Vollständige Induktion (Induktionsprinzip). Endliche
Folgen, Summen und Produkte. Ganze Zahlen. Archimedisches Prinzip.
Binomischer Lehrsatz. Rationale Zahlen. Endliche Mengen, Kardinalität,
Schubfachprinzip. *Zahlensystem: q-adische Darstellung der natürlichen Zahlen. *Alternative Konstruktion von
R. *Kardinalzahlen unendlicher Mengen . *Abzählbare und Überabzählbare Mengen.
3. Komplexe Zahlen
Die Menge von komplexen Zahlen. Addition und Multiplikation komplexer Zahlen. Konjugation und Betrag. Division
komplexer Zahlen. Funktionen und ihre Graphen. *Begriff von Winkel und
Geometrie der Ebene.
4. Folgen und Grenzwerte
Konvergenz von Folgen und Grenzwert (Limes). Rechenregeln für den Grenzwert.
Monotoniekriterium für Existenz des Grenzwertes. Intervallschachtelungsprinzip
und Überdeckungssatz. Teilfolgen und Satz von Bolzano-Weierstraß.
Cauchy-Kriterium von Konvergenz. Limes superior und Limes inferior. Komplexwertige Folgen.
5. Reihen
Konvergenz von Reihen. Nichtnegative Reihen. Geometrische Reihe. Zahlensystem:
q-adische Brüche. Komplexwertige Reihen. Allgemeine Konvergenzkriterien.
Majorantenkriterium. Absolute Konvergenz. Quotientenkriterium. Bedingte Konvergenz und Leibniz-Kriterium.
*Zahlensystem:
q-adische Darstellung der reellen Zahlen. *Kommutativ und Assoziativgesetze für die Reihen.
*Cauchy-Produkt zweier Reihen. *Existenz und Eindeutigkeit von R.
6. Exponentialfunktion
Exponentialfunktion als die Summe der Exponentialreihe. Die Zahl e. Alternative Definition der Exponentialfunktion. Haupteigenschaft der Exponentialfunktion und Folgerungen. Hyperbelfunktionen. Trigonometrische Funktionen. Eulerformel. Additionstheoreme.
*Alternativer Beweis der Haupteigenschaft.
7. Stetige Funktionen
Grenzwert einer Funktion. Stetigkeit von Funktionen. Zusammengesetzte Funktion.
Eigenschaften von stetigen Funktionen (Zwischenwertsatz, Extremwertsatz). Monotone Funktionen.
Existenz der inversen Funktion. Die n-te Wurzel. Natürlicher Logarithmus. Exponentialfunktion
und Logarismus zur
positiven Basis. Die Zahl π. Inverse trigonometrische Funktionen.
Trigonometrische Form komplexer Zahlen. Polarkoordinaten. *Numerische
Berechnung von π.
8. Differentialrechnung
Begriff von Ableitung. Tangente. Rechenregeln für Ableitungen. Kettenregel.
Ableitung der inversen Funktion. Sätze von Fermat, Rolle und Lagrange (Mittelwertsatz).
Kritische Punkte einer Funktion. Konstantentest und Monotonietest. Unbestimmte Ausdrücke und Regel von l'Hôspital. Zweite
Ableitung. Taylorformel 2er Ordnung. Lokale Extrema. Konvexe und Konkave
Funktionen. Untersuchung einer Funktion mit Hilfe von Ableitungen.
*Vergleichstest.
Weitere Kapitel in Analysis II
und viele andere ...