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Fortsetzung von Analysis I
08.10.2018 - 01.02.2019
Mi 10-12 H10 Fr 12-14 H13
Vorlesungsskript
Zusammenfassung (nur Definitionen und
Aussagen)
Tabelle
von Funktionen, Ableitungen und Integralen
Abgabe von Hausaufgaben an die
Tutoren erfolgt Donnerstags bis 16:00. Die Lösungen von Hausaufgaben müssen
handgeschrieben sein. Gruppenabgaben sind nicht
erlaubt.
Mindestens
50% von Zahlpunkten für Hausaufgaben und zweimaliges Vorrechnen sind
notwendig für Zulassung zur Klausur.
Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale Wert von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.
(Die Kapitel 1-8 sind in Analysis I)
9.
Differentialrechnung: höhere Ableitungen
Taylorformeln n-er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und
Lagrange.
10. Integralrechnung: unbestimmtes
Integral
Stammfunktion und unbestimmtes Integral. Unbestimmte Konstante bei
Stammfunktion. Linearität der Integration. Partielle Integration.
Substitutionsregel für unbestimmtes Integral. Grundintegrale. Integrieren von
rationalen Funktionen mit Hilfe von Partialbruchzerlegung.
11. Integralrechnung: bestimmtes
Integral
Riemann-Summen und Riemann-Integral. Obere
und untere Darboux-Summen. Kriterien von Riemann-Integrierbarkeit.
Intergierbarkeit von stetigen und monotonen Funktionen. Flächeninhalt eines
Untergraphes. Fundamentalsatz der Analysis: Newton-Leibniz-Formel. Partielle Integration,
Linearität und Additivität für Riemann-Integral. Ungleichungen und Integration. Mittelwertsatz für
Integration. Existenz der Stammfunktion für stetige Funktionen. Substitutionsregel für
Riemann-Integral.
Parametrisierte Kurve in Rn. Die Länge
von Kurve, Unabhängigkeit von Parametrisierung.
*Wallis-Produkt. *Stirling-Formel.
12. Konvergenz von Integralen
Uneigentliches Riemann-Integral. Die Newton-Leibniz-Formel, partielle
Integration, Substitutionsregel für uneigentliche Integrale. Integralkriterium für Konvergenz von Reihen.
Absolute und bedingte Konvergenz von Integralen. Majoranten- und Vergleichskriterien für
absolute Konvergenz. Abel- und Dirichlet-Kriterien für bedingte Konvergenz.
*Alternative Definition von Elementarfunktionen.
*Gammafunktion. *Dirichlet-Integral.
13. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen
Funktionenfolgen und Funktionenreihen. Gleichmäßige Konvergenz. Weierstraßsches Majorantenkriterium
für gleichmäßige Konvergenz. Konvergenz von Potenzreihen, Konvergenzradius.
Formel von Cauchy-Hadamard. Satz von Abel. Integrieren und Ableiten unter
gleichmäßiger Konvergenz. Integrieren und Ableiten von den Potenzreihen.
Taylorformel mit Integralrestglied. Taylorreihe.
*Sätze von der majorisierten und monotonen Konvergenz. *Gauss-Integral. *Approximationssatz von Weierstraß.
*Fourer Reihen.
14. Metrische Räume und stetige
Abbildungen
Abstandsfunktion und Begriff von metrischem Raum. Normierte Vektorräumen. Normen in Rn. Metrische Kugel. Konvergenz von Folgen in
metrischen Räumen. Stetige Abbildungen. Offene und
abgeschlossene Mengen. Stetige Urbilder offener und abgeschlossener Mengen.
Cauchy-Folgen. Vollständige metrische Räume. Vollständigkeit von Rn und C[a,b]. Fixpunktsatz von Banach.
Offene Überdeckungen und kompakte
Mengen. Stetige Bilder kompaker Mengen. Folgenkompaktheit. Totalbeschränktheit.
Äquivalente Bedingungen für Kompaktheit im vollständigen metrischen Raum. Kompakte
Mengen in Rn. Extremwertsatz. Fundamentalsatz
der Algebra. Zusammenhängende Mengen. Zwischenwertsatz.
*Vervollständigung von metrischen Räumen. *p-adische Zahlen. *Lebesgue-integrierbare Funktionen
15. Differentialrechnung in Rn
Partielle Ableitungen. Totaler Differential. Jacobi-Matrix. Stetige
Differenzierbarkeit. Linearität und Kettenregel für totale und partielle
Ableitungen. Ableitung der inversen Funktion. Richtungsableitung und Mittelwertsatz. Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Satz von Schwarz.
Taylorformel. Hesse-Matrix. Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale
Extrema. Satz von der impliziten Funktion. Satz von der inversen
Funktion.
*Parameterintegral. *Holomorphe und harmonische Funktionen. *Kurvenintegral und Windungszahl.
16. *Flächen in Rn
Parametrische Gleichung einer Fläche.
Graphen als Flächen. Tangentialebene. Implizite Flächen.
und viele andere ...