Homologische Algebra mit Anwendungen auf Darstellungen von
Köchern (WS 2006/07)
Vorlesungszeiten
Tutorium
- Mi, 10–12 Uhr, T2-205 (Angela Holtmann)
Die Haupthomepage zur Vorlesung (incl. einer Liste der
Übungszettel, Literaturhinweisen und Informationen zu dem Teil,
der die „Homologische
Algebra“ behandelt) befindet sich hier.
Auf dieser Seite sind
einige Informationen zu dem eher „darstellungstheoretischen
Teil“ der Vorlesung aufgelistet.
Sommersemester 2007: Teil 2
Im jetzigen Sommersemester bieten Rolf
Farnsteiner und ich eine Vorlesung
„Homologische Algebra
und Darstellungstheorie II“ an. Die entsprechenden
Internetseiten mit den Informationen zum zweiten Teil befinden sich
hier
(Homologische Algebra, allgemeine Informationen,
Übungsblätter) und
hier
(Darstellungstheorie).
Bislang behandelte Themen
- Moduln über Ringen, Definitionen, einfache Beispiele,
Isomorphiesätze
- K-Algebren und Moduln über K-Algebren
- Halbeinfache K-Algebren/Satz von Artin-Wedderburn (für
artinsche Ringe)
- Der Satz von Artin-Wedderburn (Statement)
- Kompositionsreihen und der Satz von Jordan-Hölder,
modulares Gesetz, Satz von Schreier, Schmetterlingslemma, sehr kurz:
die Begriffe „artinsch“ und
„noethersch“ für Moduln
(etwas ausführlicher in den
Übungen)
- Lemma von Schur, Satz von Artin-Wedderburn (Beweis), Beispiele
nicht-halbeinfacher K-Algebren
- Köcher und Wegealgebren
- Köcher und Darstellungen, Unzerlegbarkeit (Definition),
Beispiele (Bezüge zur Linearen Algebra: Jordanblöcke,
Basiswechsel)
- Wegealgebren, Beispiele, Eigenschaften von Wegealgebren
(Assoziativität, wann existieren Einselemente?,
wann ist eine Wegealgebra endlich-dimensional?)
- Einschub: Das Radikal
- Das Radikal einer K-Algebra (Charakterisierung, zweiseitige
nilpotente Ideale, Lemma von Nakayama, rad A ist
nilpotent)
- Radikale von Moduln (Eigenschaften,
„überflüssige“ Moduln),
einfache A-Moduln und einfache
(A/rad A)-Moduln, Köpfe von Moduln und induzierte
Abbildungen
- Nachtrag zum Satz von Artin-Wedderburn (rad R=0)
- Wegealgebren II
- vollständige Mengen primitiver,
orthogonaler Idempotente
- zusammenhängende Algebren:
KQ ist genau dann zusammenhängend, wenn Q zusammenhängend
ist
- Weitere Eigenschaften des Radikals und von Idempotenten
- Liften von Idempotenten modulo rad A
- Lokale Algebren, Unzerlegbarkeit und der Satz von
Krull-Remak-Schmidt
- Köcher und Relationen, der Satz von Gabriel
- Basisalgebren (Definition)
- Köcher mit Relationen
- Satz von Gabriel (A isomorph zu KQ/I) (– nur Formulierung)
- zulässige Ideale, Beispiele
- Darstellungen von Köchern mit Relationen, Beispiele
- Äquivalenz von Darstellungen von Köchern mit
Relationen und Moduln über Wegealgebren modulo zulässiger
Ideale
- Beschreibung bestimmter Darstellungen
- Einfache Darstellungen für Köcher mit Relationen,
projektiv unzerlegbare Darstellungen und deren Köpfe, Beispiele
mehrdimensionaler einfacher Darstellungen
- Beschreibung von Sockel,
Radikal und Kopf einer Darstellung, Beschreibung der projektiv,
unzerlegbaren Darstellungen (und ihrer Radikale)
- Auslander-Reiten-Theorie
- Exakte Folgen (ganz kurz)
- Beispiele nicht zerfallender kurzer exakter Folgen
(Darstellungen von A2 (• →
•) und A3 (• → •
← •))
- Auslander-Reiten-Folgen (grundlegende Definitionen:
links-/rechts-minimale Abbildungen, links/rechts fast
zerfallende Abbildungen, Theorem/Existenz von AR-Folgen
(ohne Beweis))
- [kleiner Überblick über den bisherigen Verlauf
der Vorlesung]
- Eigenschaften von links-/rechts-minimalen, links/rechts fast
zerfallenden Abbildungen; irreduzible Abbildungen
- Beispiele rechts-fast-zerfallender, irreduzibler Abbildungen
(Radikaleinbettung in einen unzerlegbar projektiven Modul)
- Irreduzible Abbildungen als „Komponenten“ von
links/rechts-minimalen, links/rechts-fast-zerfallenden
Abbildungen
- Einschub: Das Radikal einer additiven K-Kategorie
- Charakterisierung irreduzibler Abbildungen zwischen
unzerlegbaren A-Moduln X und Y (über
radA(X,Y)\radA2(X,Y))
- Charakterisierung von Auslander-Reiten-Folgen
- Das Transponieren von Moduln (und Eigenschaften)
- Morphismen, die über projektive Moduln faktorisieren
- Transponieren induziert K-lineare Dualität
mod A → mod Aop (ohne
Beweis)
- Auslander-Reiten-Transpositionen
- Auslander-Reiten-Formeln (ohne Beweis)
- Existenz von Auslander-Reiten-Folgen
Übungsblätter
Die Übungsblätter (Nr. 1
– 14) sind hier zu finden.
Literatur
Hier ist eine kleine Liste mit Literatur, die ich für die
Vorlesung (Darstellungstheorieteil) verwendet habe (ohne
Anspruch auf Vollständigkeit!):
- M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø: Representation theory
of Artin algebras. Cambridge Studies in Advanced
Mathematics 36. Cambridge University Press,
1995
- I. Assem, D. Simson, A. Skowronski: Elements of the
representation theory of associative
algebras. Vol. 1. Techniques of representation theory. LMS
Student Texts 65. Cambridge University Press, 2006
- D. Benson: Representations and cohomology. I. Basic
representation theory of finite groups and associative
algebras. Second edition. Cambridge Studies in
Advanced Mathematics 30. Cambridge University
Press, 1998
- K. Meyberg: Algebra. Teil 1. Mathematische Grundlagen
für Mathematiker, Physiker und Ingenieure. Carl Hanser
Verlag, München-Wien, 1975
- K. Meyberg: Algebra. Teil 2. Mathematische Grundlagen
für Mathematiker, Physiker und Ingenieure. Carl Hanser
Verlag, München-Wien, 1976
- S. Lang: Algebra. Revised third edition. Graduate Texts
in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York,
2002
- zahlreiche eigene Mitschriften aus Vorlesungen ;-) (insbesondere
bei T. Brüstle, R. Farnsteiner, H. Krause und (vor allem)
C.M. Ringel)
- P.J. Hilton, U. Stammbach: A course in homological
algebra. Graduate Texts in Mathematics,
Vol. 4. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1971
- P. Freyd: Abelian categories. An introduction to the theory
of functors. Harper's Series in Modern Mathematics
Harper & Row, Publishers, New York, 1964
- ein Merkblatt über
Kategorien (pdf – 115 KB) (von C.M. Ringel)
- …
Angela Holtmann; letzte Änderung:
15.6.2007