Homologische Algebra und Darstellungstheorie II (SS 2007)

Vorlesungszeiten

• Mi, 14–16 Uhr, V2-216 (Angela Holtmann)
• Fr, 10–12 Uhr, U5-133 (Rolf Farnsteiner)

Tutorium

• Mo, 12:30–14:00 Uhr, V4-116 (Angela Holtmann)

Die Haupthomepage zur Vorlesung (incl. einer Liste der Übungszettel, Literaturhinweisen und Informationen zu dem Teil, der die „Homologische Algebra“ behandelt) befindet sich hier.

Auf dieser Seite sind einige Informationen zu dem eher „darstellungstheoretischen Teil“ der Vorlesung aufgelistet.

Bislang behandelte Themen

• Erinnerung an und Neues über Auslander-Reiten-Folgen
• Existenz, Eigenschaften von AR-Folgen
• Konstruktion rechts-minimaler, rechts-fast-zerfallender Abbildungen, insbesondere solcher, wo Anfangs- oder Endterm projektive Moduln sind
• Irreduzible Abbildungen und Verhalten bei AR-Translationen
• Beispiele von AR-Folgen (für Wegealgebren zu Köchern ohne und mit Relationen), insbesondere solchen, die projektive Moduln enthalten
• Der Vektorraum der irreduziblen Morphismen: Irr(M,N)
• Charakterisierung links-minimaler, links-fast-zerfallender (bzw. rechts-minimaler, rechts-fast-zerfallender) Morphismen f: L→⊕M_i^n_i (bzw. g: ⊕M_i^n_i→N) (über Basen von Irr(L,M_i) (bzw. von Irr(M_i,N)))
• Verhalten von Irr(M,N) unter AR-Translationen
• Translationsköcher (nur kurz) und ZΔ
• ZΔ hängt nicht von der Orientierung eines endlichen Baumes Δ ab.
• Form der AR-Köcher für Moduln über KQ, Q Dynkinköcher (nur Aussage)
• Der AR-Köcher einer darstellungsendlichen K-Algebra besitzt keine mehrfachen Pfeile.
• Erste Brauer-Thrall-Vermutung/Satz von Auslander
• Lemma von Harada-Sai
• Beweis des Satzes von Auslander
• Nachtrag: Auslander-Reiten-Formeln (Beweis)
• Adjunktionsformel (ohne Beweis): Hom_A(_AX⊗_BY_C, _AZ_D) ≅ Hom_B(_BY_C, Hom_A(_AX_B, _AZ_D))
• _BZ injektiv, dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus: Extⁿ_A(_AX, Hom_B(_BY_A, _BZ)) ≅ Hom_B(Tor_n^A(_BY_A, _AX), _BZ)
• Erinnerung: Matrizendarstellung von Abbildungen zwischen freien Moduln
• Beweis der AR-Formel: Ext¹_A(_AX, D Tr(_AM)) ≅ D Hom_A(_AM, _AX)
• Erweiterungen und Ext¹
  • Definition
  • Pullback und Pushout
  • Bijektion zwischen E(N,L) und Ext¹_R(N,L)
  • Baer-Summe
• Strikt-wilde Algebren
  • Definition
  • Charakterisierung über voll, treu, exakte Funktoren mod Q(2) → mod A, Q(2)=Zweischlaufenköcher
  • Liste von (verschiedenen) Köchern, deren Wegealgebren strikt-wild sind
  • Ist eine Wegealgebra zu einem Köcher nicht strikt-wild, so ist der Köcher zahm oder darstellungsendlich.
• Darstellung von endlich erzeugten, zusammenhängenden Basis-K-Algebren als Wegealgebren modulo zulässiger Ideale
  • Der Gabriel-Köcher
  • Unabhängigkeit von der Wahl der vollständigen Menge primitiver, orthogonaler Idempotente
  • Für zusammenhängende Algebren ist auch der Gabriel-Köcher zusammenhängend.
  • Der Gabriel-Köcher von KQ/I, Q Köcher und I zulässiges Ideal in KQ, ist Q selbst.
  • Der Satz von Gabriel (A≅KQ/I)
  • Beispiele
• Erbliche Algebren
  • Beispiele und Gegenbeispiele (halbeinfache Algebren, KQ, Q vom Typ A₂, Q vom Typ D₄, Q Kronecker-Köcher; KQ/I (kommutatives Diagramm))
  • Satz (Kaplansky): A rechtserbliche Algebra. Dann ist jeder A-Rechtsuntermodul eines freien A-Rechtsmoduls isomorph zu einer direkten Summe von Rechtsidealen von A.
  • A rechtserbliche Algebra. Dann ist jeder Untermodul eines projektiven A-Rechtsmoduls projektiv.
  • Erinnerung: projektive Dimension eines Moduls, globale Dimension einer Algebra
  • Abschätzungen für projektive Dimensionen in exakten Folgen (ohne Beweis)
  • A endlich-dimensionale K-Algebra. Dann gilt l.gl.dim A = r.gl.dim. A. (ohne Beweis)
  • Charakterisierung erblicher Algebren
  • A-Modulhomomorphismen zwischen unzerlegbar projektiven Moduln sind Monomorphismen, wenn A erblich ist.
  • A erbliche Basis-K-Algebra, e, e' primitive Idempotente von A. Dann ist Irr(e'A,eA) ≅ e(rad A/rad² A)e'.
  • Q endlicher zusammenhängender Köcher ohne orientierte Kreise. Dann ist KQ erblich, und der (Gabriel-)Köcher von KQ ist Q.
  • A zusammenhängende, erbliche Basis-K-Algebra, {e₁,…,e_n} vollständige Menge primitiver, orthogonaler Idempotente. Dann ist der Köcher Q_A von A endlich, zusammenhängend und enthält keine orientierten Kreise, und A≅KQ_A.
• Einführung in die Kipptheorie
  • (Grober Überblick, was man damit erreichen will)
  • Definition von Kippmoduln (und Verallgemeinerungen)
  • kurze Erklärung zu derivierten Kategorien von Modulkategorien
  • Ist T ein r-Kipp-A-Modul, so gibt es eine „add-T-Auflösung“ von _AA der Länge höchstens r.
  • _AT Kippmodul und B=End_A(_AT). Hom_A(_AT,−): mod A → mod B und T⊗_B−: mod B → mod A sind adjungierte Funktoren und induzieren triangulierte Äquivalenzen zwischen D^b(mod A) und D^b(mod B). (ohne Beweis)
  • Ist T ein r-Kipp-A-Modul, so ist D(T_End(T)) ein r-Kokippmodul.
  • Satz von Brenner-Butler: T A-Kippmodul, B:=End(_AT). Dann sind {_AX ∈ mod A | Ext^j_A(_AT,_AX) = 0 für alle j ≠ i} und {_BY ∈ mod B | Tor^j_B(T_B,_BY) = 0 für alle j ≠ i} äquivalent.
  • Beispiel: D₄ und kommutatives Diagramm
• Cartan-Matrizen, Eulerform, Titsform
  • Definitionen
  • Homologische Version der Eulerform (ohne Beweis)
  • Kombinatorische Version der Titsform (ohne Beweis)
  • Teilformulierung des Satzes von Kac (ohne Beweis)
  • […] (kleinere Fragen)

Übungsblätter

Die Übungsblätter (Nr. 1 – 13) sind hier zu finden.

Literatur

Hier ist eine kleine Liste mit Literatur, die ich für die Vorlesung (Darstellungstheorieteil) verwendet habe (ohne Anspruch auf Vollständigkeit!):

• M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø: Representation theory of Artin algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36. Cambridge University Press, 1995
• I. Assem, D. Simson, A. Skowronski: Elements of the representation theory of associative algebras. Vol. 1. Techniques of representation theory. LMS Student Texts 65. Cambridge University Press, 2006
• D. Benson: Representations and cohomology. I. Basic representation theory of finite groups and associative algebras. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 30. Cambridge University Press, 1998
• D. Happel: Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras. LMS Lecture Note Series, 119. Cambridge University Press, 1988
• K. Meyberg: Algebra. Teil 1. Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure. Carl Hanser Verlag, München-Wien, 1975
• K. Meyberg: Algebra. Teil 2. Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure. Carl Hanser Verlag, München-Wien, 1976
• S. Lang: Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002
• zahlreiche eigene Mitschriften aus Vorlesungen ;-) (insbesondere bei T. Brüstle, R. Farnsteiner, H. Krause und (vor allem) C.M. Ringel)
• P.J. Hilton, U. Stammbach: A course in homological algebra. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 4. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1971
• P. Freyd: Abelian categories. An introduction to the theory of functors. Harper's Series in Modern Mathematics Harper & Row, Publishers, New York, 1964
• ein Merkblatt über Kategorien (pdf – 115 KB) (von C.M. Ringel)
• […]