Back to the home page of A.Grigor'yan

Maß- und Integrationstheorie  WS 2021/22  (240021)

11.10.2021 – 04.02.2022

Vorlesungen  

Mi 10-12    Fr 12-14    per Zoom

Vorlesungsskript

Übungen

Abgabe von Hausaufgaben  erfolgt an die Tutoren  Freitags bis 15:00.
Die Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
 Mindestens 50% für Hausaufgaben und zweimaliges Vorrechnen sind notwendig für Zulassung zur Klausur.

Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle 
Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale mögliche Wert 
von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, 
aber nicht in M.

Inhaltsverzeichnis 

  1. Konstruktion von Maß. 
    Begriff von Maß. Additivität und Subadditivität. 
    Länge als ein Maß. 
    Erweiterung von endlichen und σ    -endlichen Maßen (Satz von Caratheodory I und II). 
    Reguläres Maß. Produktmaß. Das Lebesgue-Maß in     Rn.   
    Das Maß eines Untergraphes. 
    Monotone Operationen mit Mengen (Satz von Dynkin). 
    Nullmengen und Vervollständigung eines Maßes.
      
  2. Lebesgue-Integration.  
    Messbare Funktionen. 
    Komposition von Borel-Funktionen und messbaren Funktionen. 
    Grenzwerte von Folgen von messbaren Funktionen. 
    Integration von Elementarfunktionen. 
    Lebesgue-Integral von nichtnegativen Funktionen. 
    Beziehung zwischen Riemann- und Lebesgue-Integralen.
    Fatou-Lemma. Satz von der monotonen Konvergenz. 
     Linearität von Integral. 
    Lebesgue-integrierbare Funktionen. 
    σ    -Additivtät von Integral. 
    Begriff "fast überall". Satz von der majorisierten Konvergenz.     
    Parameter-abhängige Integrale. 
    Radom-Maße auf R und Verteilungsfunktion.
    Lebesgue-Stieltjes-Integral und Riemann-Stieltjes-Integral.  
    Lebesgue-Kriterum für Riemann-Integrierbarkeit.
     
  3. Produktmaß und Satz von Fubini. 
    Konstruktion von Produktmaß. 
    Prinzip von Cavalieri. Satz von Fubini.
    Integration zwischen zwei Graphen. 
        
  4. Integration in Rn.
    Transformationssatz.      
    Integration in Polarkoordinaten. 
    Parametrisierte Karte. Oberflächenmaß auf einer Karte. 
    Unabhängigkeit von Oberflächenmaß von Parametriesierung.
    Fläche. Existenz von Oberflächenmaß auf einer Fläche.
    Hyperfläche. Ein Graph als Hyperfläche. Eine Niveaumenge als Hyperfläche.
    Tangentialraum und Normale.
    Unabhängigkeit von Tangentialraum von Parametriesierung.
    Ein Gebiet und äußere Einheitsnormale zum Rand. 
    Gaußscher Integralsatz und Anwendungen. 

Voraussetzungen

Analysis I und II, Lineare Algebra. 

Lehrbücher

  1. Ambrosio, Luigi "Introduction to measure theory and integration"
  2. Bauer, Heinz "Maß- und Integrationstheorie".
  3. Brokate, Martin "Maß und Integral".
  4. Elstrodt, Jürgen "Maß- und Integrationstheorie".
  5. Forster Otto "Analysis 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze in Rn und Anwendungen".
  6. Stein, Elias M. "Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces".
  7. Taylor M.E. "Measure theory and integration".