Proseminar Algebraische Kurven
Proseminar im Sommersemester 2019 (2 SWS)
Organisator: Dr. Julia Sauter, V5-229, jsauter@math.uni-bielefeld.de
Sprechstunde: Vorbesprechungen Montags zwischen 16h und 18h, oder nach voriger Emailverabredung
Termine: Mo 14-16h - neuer Raum V5-227
ausgenommen Ostermontag (22.4.19) und Pfingstmontag (10.6.19)
Inhalt:
Ebene (affine) algebraische Kurven sind Nullstellenmengen von Polynomen in zwei
Variablen. Die erste Invariante, die man zu einer ebenen Kurve definieren kann, ist der Grad und diesen kann man durch die Anzahl der Schnittpunkte mit Geraden wiederfinden. Allgemeiner kann man zwei Kurven schneiden und die Schnittpunkte zählen - hier sagt uns der Satz von Bezout, dass wir höchstens das Produkt der Grade erhalten (sogar genau dieses, wenn wir im projektiven mit Multiplizitäten arbeiten).
Dies ist ein elementares Seminar zu algebraischen Kurven.
Wir folgen zuerst dem Buch von Fischer bis Kapitel 5 - die notwendigen Vorkenntnisse sollen in den Vorträgen miteingeführt werden. Danach wechseln wir zu dem Buch von Hulek (behandeln aber einen kleinen Teil dieses Buches) und dem Skript von Böttcher.
Zudem benutzen wir das klassische Buch von Fulton fuer weitere Vorträge (dieses Buch ist aber etwas schwerer zu lesen und in Englisch).
Weitere Vorträge können auf Emailanfrage vergeben werden oder am ersten Termin (1.4.).
Das vorläufige Programm findet ihr hier als
pdf .
Die ersten Vorträge sind die folgenden (mit einem wichtigen Satz des Vortrages):
- Was ist eine algebraische Kurve? 1.4.19, Julie Sprehe
(K[X_1, ... , X_n] ist ein faktorieller Ring)
- Eigenschaften algebraischer Kurven, 8.4.19, Chiara Schäfer
(Lemma von Study)
- Der projektive Abschluss, 15.4.19 in V5-227, Marlon Steinmann
(Satz von Bezout)
- Tangenten und Singularitäten, 29.4.19, Katja Vasilenko
(Formel von Euler)
- Quadriken und klassische Sätze, 6.5.19, David Hosni
(Satz von Pascal)
- Polaren und Hesse-Kurve, 13.5.19, Anja Krause
(Die Hessekurve bestimmt die glatten Wendepunkte)
- Affine und projektive Varietäten, 20.5.19, Miriam Thoma
(Nullstellensatz - affin und projektiv)
- Duale Kurve und Plückerformeln, 27.5.19, Laura Winter
(Plückerformeln)
- Klassifikation kubischer Kurven, 3.6.19, Eric Penner
(Weierstrasskubiken werden durch J-Invariante klassifiziert)
- Wiederholung und Beispiele, 3.6.19, 16-18h, Julia Sauter
- Elliptische Kurven
(Das Gruppengesetz auf der Kurve)
- Linearsysteme (Enumerative Geometrie)
(Dimension der Varietät aller Kurven gegebenem Grad, die durch vorgegebene Punkte gehen)
- Geraden auf Kubischen Flächen
(Jede glatte Kubik im drei-dim projektiven Raum enthält 27 Geraden)
- Die Riemannsche Fläche zu einer Algebraischen Kurve
dies ist ein Survey-Vortrag - er erfordert die Bereitschaft sich in Riemannsche Flächen einzuarbeiten.
Zudem können weitere Vorträge auf Anfrage geplant werden (zum Beispiel zu reellen Quadriken oder zu Max Noethers Fundamental Theorem auch AF+BG -Theorem genannt).
Literatur:
- Böttcher, R. Einführung in die Theorie der algebraischen Kurven und deren Eigenschaften online verfügbar hier .
- Fischer, G. Ebene algebraische Kurven
Vieweg, 1994.
- Fulton, W. Algebraic Curves
New York [u.a.]:Benjamin, 1969
- Hulek, K. Elementare Algebraische Geometrie
Springer, 2012.