BIREP — Representations of finite dimensional algebras at Bielefeld

• BIREP
• Faculty of Mathematics
• Bielefeld University

 

Auslander-Reiten-Theorie (WiSe 2011/2012)

Vorlesung/Seminar im Wintersemester 2011/2012 (4 SWS)
Veranstalter: Prof. Dr. Henning Krause
Koveranstalter: Reiner Hermann
Veranstaltungstermine:

• Mittwoch, 9-11 Uhr, V5-227
• Donnerstag, 14-16 Uhr, V5-227

Achtung: Die Sitzung am Donnerstag, 20.10.2011, entfällt.

Inhalt: Auslander-Reiten-Theorie
Literatur:

• [ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowronski: Elements of the representation theory of associative algebras Vol. 1: Techniques of representation theory, London Mathematical Society Student Texts 65, Cambridge University Press, Cambridge, 2006. (Kapitel IV)
• [Au1] M. Auslander: Applications of morphisms determined by modules, in Representation theory of algebras (Proc. Conf., Temple Univ., Philadelphia, Pa., 1976), 245-327. Lecture Notes in Pure Appl. Math., 37, Dekker, New York, 1978.
• [Au2] M. Auslander: Functors and morphisms determined by objects, in Representation theory of algebras (Proc. Conf., Temple Univ., Philadelphia, Pa., 1976), 1-244. Lecture Notes in Pure Appl. Math., 37, Dekker, New York, 1978.
• [Ba] D. Baer: Wild hereditary Artin algebras and linear methods, Manuscripta Math. 55 (1986), no. 1, 69-82.
• [Be] D. J. Benson: Representations and cohomology I - Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 30. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.(Kapitel 4, Abschnitt 12 und nachfolgende)
• [Hü] L. A. Hügel: An Introduction to Auslander-Reiten Theory, Advanced School on Representation Theory and related Topics, ICTP Trieste, January 2006. [pdf]
• [Kr1] H. Krause: A short proof for Auslander's defect formula, Linear Algebra Appl. 365 (2003), 267-270. [pdf]
• [Kr2] H. Krause: Morphisms determined by objects in triangulated categories, preprint (2011). [pdf]
• [Kr3] H. Krause: Report on locally finite triangulated categories, preprint (2011). [pdf]
• [RV] I. Reiten, M. Van den Bergh: Noetherian hereditary abelian categories satisfying Serre duality, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 295-366.
• [Ri1] C. M. Ringel: Morphisms determined by objects, preprint (2011). [pdf]
• [Ri2] C. M. Ringel: Tame algebras and integral quadratic forms, SLN 1099, (1984).
• [RS] C. M. Ringel, J. Schröer: Introduction to Representation Theory of Algebras, Book project, preprint. [url]
• [SS1] D. Simson, A. Skowronski: Elements of the representation theory of associative algebras Vol. 2: Tubes and concealed algebras of Euclidean type, London Mathematical Society Student Texts 71, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
• [SS2] D. Simson, A. Skowronski: Elements of the representation theory of associative algebras Vol. 3: Representation-infinite tilted algebras, London Mathematical Society Student Texts 72, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

Ziel dieser Veranstaltung ist die Erarbeitung der von M. Auslander und I. Reiten entwickelten Theorie der fast-zerfallenden Folgen, fast-zerfallenden und irreduziblen Morphismen etc., einer Technik, die von zentraler Bedeutung für die Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren ist. Zur Illustration der Theorie werden die Darstellungen des Kronecker-Köchers beleuchet. Darüber hinaus soll auch der funktorielle Zugang zu fast-zerfallenden Folgen und die Existenz so genannter Auslander-Reiten-Dreiecke in triangulierten KRS-Kategorien mit Serre-Dualität diskutiert werden.

Vortragsplan

Vortragender	Inhalt	Termin
Katter	Rankfunkionen auf gerichteten Wurzelbäumen	19.10.2011 sowie 26.10.2011
Reischuk	Irreduzible Morphismen und fast zerfallende Folgen ([ASS])	27.10.2011 sowie 02.11.2011
Reischuk	Die Auslander-Reiten-Translation ([ASS])	03.11.2011
Katter	Fortsetzung: Die Auslander-Reiten-Translation ([ASS])	09.11.2011
Katter	Die Auslander-Reiten-Formel und die Existenz fast-zerfallender Folgen ([ASS], [Kr1])	16.11.2011 sowie 17.11.2011
Hermann	Funktorieller Zugang zu Auslander-Reiten-Folgen	24.11.2011 sowie 30.12.2011
Hermann	Der Bimodul der irreduziblen Morphismen	07.12.2011 sowie 08.12.2011
Hermann	Der Auslander-Reiten-Köcher einer Algebra und das Stricken präprojektiver Komponenten	14.12.2011 sowie 15.12.2011
Krause	Morphismen determiniert durch Objekte	21.12.2011 sowie 22.12.2011
Mahrt	Reguläre Komponenten des AR-Köchers ([SS1], [SS2] und [Ba])	11.01.2012, 12.01.2012 sowie 18.01.2012
Severitt	Exkurs: Triangulierte Kategorien	25.01.2012 sowie 26.01.2012
Severitt	Auslander-Reiten-Dreiecke und Serre-Dualität ([Kr3], [RV])	01.02.2012, 02.02.2012 sowie 08.02.2012