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ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. |
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ist die Summe der Flächeninhalte der Halbkreise über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Halbkreises über der Hypotenuse. | ![]() | |
ist die Summe der Flächeninhalte der regelmäßigen Sechsecke über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks über der Hypotenuse. | ![]()
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Alle diese Aussagen sind richtig, denn wir betrachten jeweils Flächen, die proportional zum Quadrat der Grundseite sind! (Ein Halbkreis mit Grundseite x hat den Flächeninhalt π/8.x2, ein regelmäßiges Sechseck mit Kantenlänge x hat den Flächeninhalt (3√3).x2,...)
Die charakteristische Eigenschaft, die wir hier verwenden, ist die Ähnlichkeit der jeweiligen Figuren, die über den drei Seiten errichtet werden:
Satz. Ein rechtwinkliges Dreieck habe Katheten a,b und Hypotenuse c. Seien F(a), F(b), F(c) ähnliche Figuren (dabei sei b/a der Proportionalitätsfaktor, der F(a) in F(b) überführt, und c/b derjenige, der F(b) in F(c) überführt). Dann ist der Flächeninhalt von F(c) die Summe der Flächeninhalte von F(a) und F(b).
Alle diese Aussagen für beliebige Flächen sind zueinander äquivalent - es genügt, einer dieser Aussagen zu beweisen. Üblicherweise wird die Quadrat-Aussage genommen - Es geht aber einfacher!
Naber's Beweis: Gegeben sei das Dreieck mit Katheten a,b und Hypotenuse c.
Fälle das Lot vom Eckpunkt C (gegenüber von c) auf die Hypothenuse c, der Lotfußpunkt sei D.
Behauptung: Die Dreiecke ABC, ACD und CBD sind ähnlich (und haben die Grundseiten c, a und b). (Beweis: trivial).
Also betrachten wir die zueinander ähnlichen Flächen
Damit ist alles bewiesen!
Also kann man den Satz des Pythagoras auch folgendermaßen formulieren:
ist die Summe der Kringel über den Katheten gleich dem Kringel über der Hypotenuse. |
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