Seminar zur Morse Theorie (WS 2019/20)

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Worum geht es?

Morse Theorie ist ein nützliches Hilfsmittel, um die Struktur differenzierbarer Mannigfaltigkeiten zu verstehen. Viele wichtige Fortschritte auf diesem Gebiet beruhen auf Morse Theorie. Hervorzuheben sind insbesondere der Beweis der Poincaré Vermutung in Dimension 5 und höher sowie der eng damit verbundene h-Kobordismussatz.

Die Idee ist wie folgt: man betrachtet eine sogenannte ''Morse Funktion'' auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit und stellt sich letztere als Vereinigung der Niveaumengen der Funktion vor. Die regulären Niveaumengen sind wieder Mannigfaltigkeiten, allerdings einer Dimension niedriger, und die verschiedenen Niveaumengen werden durch den Fluss des (bzw. eines) Gradienten der Funktion in Verbindung gesetzt. Man stellt fest, dass die wesentliche Information über die Mannigfaltigkeit darin liegt, was beim Überqueren kritischer Werte der Funktion passiert. So erhält man einen sehr direkten Zugang zur topologischen Struktur der Mannigfaltigkeit.

In diesem Seminar sollen zunächst die Grundlagen der Morse Theorie entwickelt werden. Später werden einige Anwendungen besprochen.

Vortragsplan

Vortrag Datum Sprecher
(0) Organisatorisches 9.10.2019 -/-
(1) Mannigfaltigkeiten (Wiederholung) 16.10.2019 B. K.
(2) Morse Funktionen I: Eigenschaften 23.10.2019 P. S.
(3) Morse Funktionen II: Existenz 30.10.2019 B. K.
(4) Pseudogradienten I: Flüsse 6.11.2019 B. A.
(5) Pseudogradienten II: Zellen und die Smale Bedingung 13.11.2019 verfügbar
(6) Henkelzerlegungen 20.11.2019 J. K.
(7) Umordnung kritischer Werte 27.11.2019 B. A.
(8) Klassifikation von Flächen 4.12.2019 P. S.
(9) Elimination kritischer Punkte I 11.12.2019 S. B.
(10) Elimination kritischer Punkte II 18.12.2019 S. B.
(11) Morse Homologie I: Konstruktion 8.01.2020 J. K.
(12) Morse Homologie II: Interpretation 15.01.2020 verfügbar
(13) Der h-Kobordismussatz I 22.01.2020 verfügbar
(14) Der h-Kobordismussatz II 29.01.2020 verfügbar

Literatur

Voraussetzungen und Anforderungen

Das Seminar richtet sich in erster Linie an Masterstudierende. Die erste Hälfte sollte aber auch für fortgeschrittene Bachelorstudierende zugänglich sein. Grundkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen sollten idealerweise vorhanden sein. Für die späteren Vorträge ist auch Vorwissen über Homologietheorie hilfreich bis notwendig. Dieses kann parallel in der Vorlesung "Algebraische Topologie" (Bauer) erworben werden.

Neben der Bereitschaft, einen oder mehrere Vorträge selbstständig zu erarbeiten und zu halten, wird eine aktive Teilnahme am Seminar erwartet. Auch wer nicht vorträgt sollte sich in das Thema der jeweiligen Sitzung einlesen. Im Fall von einem Vortrag ist zusätzlich eine schriftliche Ausarbeitung im Umfang von 5-10 Seiten anzufertigen. Bei mehreren Vorträgen wird darauf verzichtet.

Letzte Änderung: 9.10.2019