Teil I der Vorlesung
Die algebraische Zahlentheorie widmet sich vor allem dem Studium
der algebraischen Zahlkörper, also endlichen Körper-Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen. Ist K ein algebraischer
Zahlkörper, so
interessiert man sich für den Ring OK der ganzen algebraischen Zahlen in K - dies ist ein Dedekind-Ring.
Als erstes werden wir uns daher mit Dedekind-Ringen beschäftigen,
vor allem mit der Idealtheorie dieser Ringe.
Um zu zeigen, dass OK ein noetherscher Ring ist, werden
wir den Satz von Krull-Akizuki beweisen.
Erst im Teil II wird die Separabilität von K:Q
verwendet werden. Dort wird dann gezeigt,
dass die additive Gruppe (OK,+) endlich erzeugt
(also eine freie abelsche Gruppe) ist.
Voraussetzungen
Es wird erwartet, dass die Hörer einige algebraische und/oder zahlentheoretische
Vorkenntnisse besitzen, vor allem sollen sie mit der algebraischen Denkweise vertraut
sein. Die erfolgreiche Teilnahme an einer Vorlesung "Algebra I" oder an meiner Vorlesung "Elementare Zahlentheorie" ist sicher ausreichend (entsprechende Grundkenntnisse
können natürlich auch durch Selbststudium erworben werden), die Grundvorlesungen
Lineare Algebra I und II allein
reichen aber nicht. Ideal wären die Kenntnisse aus den beiden
Veranstaltungen Algebra I und Elementare Zahlentheorie,
siehe Leitfaden.
In mancher Hinsicht schließt die Vorlesung "Algebraische Zahlentheorie" an meine
"Elementare Zahlentheorie"
im WS 2006/07 an, weniger im Hinblick auf einzelne
Ergebnisse, sondern bezogen auf die erwartete
Vertrautheit mit Fragestellungen, Methoden usw.
An Vorkenntnissen wird einiges gebraucht, was man in einer Vorlesung "Algebra I"
lernt - ich werde dies zwar kurz wiederholen, setze aber voraus, dass die
entsprechenden Konstruktionen (zum Beispiel Körpererweiterung) bekannt sind (oder selbständig erworben werden).