Prozentrechnung

Grundregeln

• 15 % von x bedeutet: 15/100 mal x, also: x mal 0,15.
• Hat man 15 % zu x zu addieren, so erhält man x + (x mal 0,15), also: x mal 1,15.
  Hat man 15 % von x zu subtrahieren, so erhält man x - (x mal 0,15), also: x mal 0,85.

Einige Widrigkeiten der Prozentrechnung

• Hintereinanderschaltung mehrerer Preiserhöhungen.

  Erst werden 10 % addiert, dann noch einmal 10 %.
  Insgesamt werden 21 % addiert, nicht etwa 20 %.

  Beweis: x mal 1,10 mal 1,10 = x mal 1,21

• Hintereinanderschaltung einer Preiserhöhung und einer Preissenkung.

  Erst werden 10 % additiert, dann wird ein Rabatt von 10 % gegeben.
  Der Endpreis beträgt nur 99 % des Anfangspreises.

  Beweis: x mal 1,10 mal 0.90 = x mal 0,99.

• Veränderung des Prozentsatzes.

  Wird zum Beispiel der Mehrwertsteuersatz von 16% auf 19% erhöht,
  so wird der Faktor 1,16 durch 1,19 ersetzt. Dabei verändert sich der Endpreis um den Faktor 1,19/1,16 = 1,026..., also um 2,6 % (und nicht etwa um 3 %).

  Zur Unterscheidung sagt man: der Prozentsatz erhöht sich um 3 Prozentpunkte (3 = 19-16).

  Zweites Beispiel. Man erhalte in einem Geschäft 40 % Rabatt. Wird dieser Rabattsatz auf 30 % gesenkt, so handelt es sich um eine Änderung um 10 Prozentpunkte, der Preis verteuert sich aber mit dem Faktor 0,70/0,60 = 1,167, also um knapp 17 %.

  Zur Erinnerung: Mit der Bahncard erhielt man vor einigen Jahren 50 % Rabatt, dann wurde der Rabattsatz auf 25 % gesetzt, also um 25 Prozentpunkte verändert. Dabei handelte es sich nicht etwa um eine 25 %-ige Preiserhöhung sondern um eine 50 %-ige! (denn 0,75/0,50 = 1,50).

• Bedeutung einiger Prozentsätze:
  • Bei manchen Rechnungen darf man bei Sofortzahlung 2 Prozent abziehen (man sagt: 2 Prozent Skonto).
  • Früher gab es in manchen Geschäften 3 Prozent Rabatt.
  • Mehrwertsteuer: Bei den meisten Waren zahlt man 19 % Mehrwertsteuer, bei einigen nur 7 %.

  • Eine Preissenkung um 50 % heißt, den Preis halbieren (Faktor 1-0,50 = 0,50).
  • Eine Preissenkung um 75 % heißt, den Preis vierteln (Faktor 1-0,75 = 0,25).
  • Eine Preissenkung um 100 % hieße, dass alles kostenlos ist.
  Negative Zahlen als Prozentsätze machen keinen Sinn.

• Große Prozentsätze:
  • Eine Erhöhung um 100 % heißt, den Preis verdoppeln.
  • Eine Erhöhung um 200 % heißt, den Preis verdreifachen.
  • Auch noch höhere Prozentsätze spielen manchmal eine Rolle:
    • Gerüchteweise kostet eine Viagra-Pille in der Herstellung etwa 10 Cent. Wird sie für 2 EUR verkauft, so handelt es sich um einen Reingewinn von 1900 %.
      Hier stand bis vor kurzem 1999 %, das war natürlich falsch!)
    • Die Zeitung Schöner Sonntag bieten den Lesern an, auf Anzeigen telefonisch zu antworten; zwei Rufnummern stehen zur Auswahl: eine berechnet vom Festnetz aus 0,14 EUR pro Minute, die andere 1,99 EUR pro Minute.
      Frage: Wieviel Prozent zahlt man mehr, wenn man die zweite Rufnummer wählt?
  Grundsätzlich gibt es keine obere Schranke beim Rechnen mit Prozentsätzen.

• Das Problem mit großflächigen Tests.
  Ein Test (zum Beispiel ein Krankheitstest) liefere in 99% der Fälle die richtige Antwort, in 1% der Fälle allerdings die falsche Antwort. In Deutschland (80 Millionen Einwohner) seien 100 000 erkrankt, alle Personen werden getestet. Dann ergibt sich folgendes:
  • Von den 100 000 Kranken werden 99 000 als krank erkannt, 1 000 werden irrtümlicherweise für gesund gehalten.
  • Von den 79 900 000 Gesunden werden 1%, also 799 000 Personen irrtümlicherweise für krank gehalten.

    Fazit: Insgesamt werden 99 000 + 799 000 Leute (also 898 000 Leute) für krank erklärt - von diesen sind aber nur 99 000 (also etwa 11%) wirklich erkrankt.

  Zur Unterscheidung spricht man vom Fehler erster Art (der Prozentsatz der Kranken, die irrtümlicherweise für gesund gehalten werden) und vom Fehler zweiter Art (der Prozentsatz der Gesunden, die irrtümlicherweise für krank gehalten werden): in unserem Beispiel nahmen wir an, dass beide Fehler 1% betragen, in der Praxis werden diese Prozentzahlen aber verschieden sein - nur gilt eben: kein Test ist unfehlbar, es treten immer Fehler erster und zweiter Art auf).
  Zur Beurteilung, ob ein Test sinnvoll ist, spielt das (natürlich immer nur geschätze) Verhältnis der Zahl x der Kranken zur Zahl y der Gesunden eine wesentliche Rolle.
  (In unserem Beispiel war 1% von y wesentlich größer als 99 % von x - in einem solchen Fall macht der Test wenig Sinn; vor allem auch dann, wenn das Testen selbst mögliche Nebenwirkungen haben sollte.)

Implikationen

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Auch das Schulministerium hat Schwieirigkeiten ...