Anforderungen für die Probeklausur LA II

(Der Teil A der Endklausur wird in etwa den Aufgaben der ersten Probeklausur entsprechen, die Liste der Anforderungen wird aber wohl noch zu ergänzen sein!)

I. Jordan'sche Normalform

• Berechnung der Jordan'schen Normalform einer Matrix A
  (Voraussetzung: Das charakteristische Polynom von A zerfällt in Linearfaktoren.
  - Dies ist natürlich nur in einfachen Fällen in kurzer Zeit machbar;
  zumindest aber Einzelschritte, etwa:
  A sei nilpotente 10×10-Matrix, es sei

  dim Kern (fA) = 4,

  dim Kern (fA)2 = 8,

  dim Kern (fA)3 = 9.

  Wie sieht dann die Jordan'sche Normalform aus?
  und auch: Wenn einige Bedingungen an A gestellt sind, welche Jordan'schen Normalformen sind möglich:
  Zum Beispiel: Sei A 10×10-Matrix mit A³ = 0.
• Gesucht ist zu einer quadratischen Matrix A eine invertierbare Matrix P, so dass P^-1AP in Jordan'scher Normalform ist.
  (Ist natürlich ebenfalls nur in einfachen Fällen in kurzer Zeit machbar;
  auch hier kann man nach Einzelschritten fragen. Siehe etwa Zusatz 1A, Zusatz 2)

II. Faktorraum, Dualraum.

• Die Dimensionsformeln.
  Aus den Dimensionsformeln weitere derartige Formeln ableiten können.
  (Siehe etwa Übungsaufgabe 3-3, Testaufgaben Zusatz 8)
• Beim Arbeiten mit einem Faktorräum V/U: Nachweis der "Wohldefiniertheit" von Abbildungen.
  (Siehe etwa Übungsaufgaben 3-1, 3-2, 3-4, 4-1, 4-2)
• Konstruktion der dualen Basis zu einer gegebenen Basis eines n-dimensionalen Raums.
• Konstruktion von Annullatoren

III. Euklid'sche Räume, unitäre Räume; orthogonale Endomorphismen, unitäre Endomorphismen

• Gram-Schmidt'sches Orthonormieren einer Folge von Vektoren.
  
• Sei U Unterraum. Berechne das orthogonale Komplement.
• Prüfung, ob eine vorgegebene Matrix (ein vorgegebener Endomorphismus) orthogonal ist, unitär ist.
• Vertrautheit mit Drehmatrizen, Spiegelungsmatrizen (2×2-Matrizen).
  Insbesondere: Wann gibt es Eigenvektoren und wie sehen sie aus?
  Allgemeiner: Was weiß man über die Eigenwerte orthogonaler, bzw unitärer Matrizen?
• Berechnung der Länge von Vektoren, des Winkels zwischen zwei Vektoren, des Abstands eines Punkts von einer Geraden, einer Ebene, usw.

Und auch: Nachträge zu LA I

• Vertrautheit mit der Bildung der direkten Summe zweier Unterräume.
• Berechnung von f-invarianten Unterräumen (f sei ein Endomorphismus eines Vektorraums; in einfachen Fällen).