Basen endlich erzeugter Vektorräume

Vorausgesetzt werden die Definitionen: Vektorraum,
(Die Elemente eines Vektorraums nennt man oft einfach "Vektoren".)
Unterraum, Summe zweier Unterräume.
Linearkombination. (Dabei handelt es sich jeweils um endliche Linearkombinationen: auch wenn wir über eine unendliche Indexmenge summieren, setzen wir voraus, dass nur endlich viele Summanden von Null verschieden sind.)

Bezeichnung: Ist {v_i | i in I} eine Teilmenge von V, so schreibt man    < v_i | i in I >    für die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren v_i.

Es gilt:    < vi | i in I >    ist der kleinste Untervektorraum von V, der die Vektoren vi enthält.

(d.h.: Erstens, < v_i | i in I > ist ein Untervektorraum von V. Und zweitens, ist U ein Untervektorraum von V, der alle v_i   (i in I) enthält, so ist < v_i | i in I> in U enthalten.)

Grundbegriffe Erzeugendensystem. Ist V = < vi | i in I >, so sagt man, dass die Menge { vi | i in I } den Vektorraum erzeugt, und man nennt { vi | i in I } ein Erzeugendensystem. Besitzt V ein endliches Erzeugendensystem, so sagt man, dass V ein endlich erzeugter Vektorraum ist. Lineare Unabhängigkeit. Eine Teilmenge { vi | i in I } von V mit paarweise verschiedenen Elementen vi heißt linear unabhängig, wenn eine Linearkombination Σi in I λi vi nur dann gleich Null ist, wenn für alle Koeffizienten λi = 0 gilt. Basis. Man nennt { vi | i in I } eine Basis von V, falls { vi | i in I } ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist. Ist I endlich, so verlangt man manchmal zusätzlich, dass die Menge I geordnet ist, etwa I = {1,2,...,n}. Zur Unterscheidung sollte man dann von einer geordneten Basis sprechen.

Beispiel. Im Kⁿ bilden die Vektoren e_i = [0,...,0,1,0,...,0] mit 1 ≤ i ≤ n eine Basis, man nennt dies die Standard-Basis (dabei ist der i-te Koeffizient von e_i gleich 1, alle anderen Koeffizienten sind 0):
• die Vektoren e₁,...,e_n bilden ein Erzeugendensystem, denn sind a₁,...,a_n Elemente aus K, so ist [a₁,...,a_n] = Σ a_ie_i
• Die Vektoren e₁,...,e_n sind linear unabhängig, denn sind λ₁,...,λ_n Elemente aus K, mit Σ_i λ_ie_i = 0, so ist also [λ₁,...,λ_n] der Nullvektor, also sind alle Koeffizienten λ_i = 0.

Die Bedeutung von Basen Sei B eine Basis des Vektorraums V. Wir beschränken uns hier auf den Fall einer endlichen Basis. Sei etwa B = {v1,...,bn}. Koordinatisierung: Jeder Vektor v in V lässt sich eindeutig in der Form Σi λivi mit Koeffizienten λi in K schreiben, man nennt diese Koeffizienten die Koordinaten des Vektors v. (Weil B ein Erzeugendensystem ist, kann v in dieser Weise geschrieben werden; weil B linear unabhängig ist, ist diese Schreibweise eindeutig!) Isomorphie zum Standard-Vektorraum: Die Abbildung Kn → V,     die   [λ1,...,λn]   auf   Σi λivi   abbildet ist bijektiv und linear, also ein Vektorraum-Isomorphismus.

Das typische Wechselspiel zwischen Erzeugung und linearer Abhängigkeit wird dadurch erreicht, dass man eine Gleichung der Form v = Σ λ_iv_i auf folgende Weise umschreibt: 0 = -v + Σ λ_iv_i (man erhält so eine nicht-triviale Linearkombination der Elemente von v_i), und umgekehrt!

Zum Beispiel gilt:

Lemma. Die Teilmenge S von V sei linear unabhängig. Sei v in V. Dann ist äquivalent: v ist nicht in S und die Vereinigungsmenge S∪{v} ist linear unabhängig. v ist nicht in < S >.

Beweis: (1) impliziert (2): Sei v nicht in S, aber in < S >. Schreibe v = Σ λ_iv_i mit paarweise verschiedenen Elementen v_i in S. Dann ist -v + Σ λ_iv_i eine nicht-triviale Linearkombination der Elemente von S∪{v}

(2) impliziert (1): Ist v nicht in < S >, so erst recht nicht in S. Wäre die Menge S∪{v} linear abhängig, so gibt es eine nicht-triviale Linearkombination

λv + Σ λ_iv_i = 0,      (*) mit paarweise verschiedenen Elementen v_i in S. Es muss λ ≠ 0 sein, denn die Menge S ist linear unabhängig. Multiplizieren wir die Gleichung (*) mit -λ^-1, so erhalten wir eine entsprechende Gleichung, in der λ durch -1 ersetzt ist. Diese Gleichung zeigt, dass v zu < S > gehört.

Beweis: (1) impliziert (2): Sei also B eine Basis. Zu zeigen ist, dass echte Teilmengen von B keine Erzeugendensysteme sind: verwende die Implikation "(1) impliziert (2)" des Lemmas.

(1) impliziert (3). Wieder sei B eine Basis. Zu zeigen ist, dass echte Obermengen von B nicht linear unabhängig sein könen. Auch hier verwende die Implikation "(1) impliziert (2)" des Lemmas.

(2) impliziert (1): Sei nun E ein minimales Erzeugendensystem. Zu zeigen ist: E ist linear unabhängig. Gäbe es eine nicht-triviale Linearkombination

Σ λ_iv_i = 0 mit paarweise verschiedenen v_i in E, und ist etwa λ_s ≠ 0, so ist v_s Linearkombination der übrigen Elemente von E, und demnach ist E-{v_s} ein Erzeugendensystem - Gegensatz zur Minimalität von E.

(3) impliziert (1). Sei S maximale linear unabhängige Teilmenge. Zu zeigen ist: jedes Element v aus V ist Linearkombination der Elemente aus S. Wäre v nicht in < S >, so liefert die Implikation "(2) impliziert (1)" des Lemmas einen Widerspruch.

Ergänzungssatz: Sei V ein Vektorraum. Sei E ein endliches Erzeugendensystem von V, sei S eine linear unabhängige Teilmenge von V. Dann gibt es eine Untermenge E' von E, so dass die Vereinigungsmenge von S und E' eine Basis von V ist (und S und E' disjunkt sind).

Beweis: Sei E = {w₁,...,w_m}.
Für 0 ≤ i ≤ m sei V_i = S + < w₁,...,w_i >. Sei E' die Menge aller w_i, die nicht zu V_i-1 gehören.

Mit Induktion zeigt man: die Vektoren in S bilden zusammen mit den Vektoren in {w₁,...,w_i}, die zu E' gehören, eine Basis B_i von V_i.

Für i = 0 ist nicht zu zeigen.
Sei nun i > 0. Ist V_i-1 = V_i, so ist die konstruierte Basis B_i-1 von V_i-1 die gesuchte Basis B_i von V_i.
Sei nun V_i-1 ein echter Unterraum von V_i. Es ist V_i = V_i-1 + < w_i > und w_i gehört zu E'. Da B_i-1 eine Basis von V_i-1 ist, ist B_i-1∪{w_i} ein Erzeugendensystem für V_i. Da w_i nicht zu < B_i-1 > = V_i-1 gehört, ist die Menge B_i-1∪{w_i} linear unabhängig (nach dem Lemma). Dies zeigt, dass B_i = B_i-1∪{w_i} eine Basis von V_i ist.

Folgerungen. Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Jede linear unabhängige Menge von V kann zu einer Basis erweitert werden. (Basisauswahlsatz) Jedes endliche Erzeugendensystem von V besitzt eine Teilmenge, die eine Basis ist.

Insbesondere gilt: Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine endliche Basis.

Beweis: Die erste Aussage ist nur eine Abschwächung des Ergänzungssatzes. (In 1 steht zusätzlich, dass man S durch Elemente eines vorgegebenen Erzeugendensystems zu einer Basis erweitern kann.)
Die zweite Aussage ist ein Spezialfall des Ergänzungssatzes: nimm für S die leere Menge.

Die Bedeutung der Existenz einer Basis Da jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis besitzt, gilt: Jeder endlich erzeugte Vektorraum lässt sich koordinatisieren. Jeder endlich erzeugte Vektorraum ist zu einem Standard-Vektorraum isomorph.

Wichtige Folgerung: Sei V ein Vektorraum. Sei E ein endliches Erzeugendensystem von V, sei S eine linear unabhängige Teilmenge von V. Dann ist |S| ≤ |E|. Insbesondere gilt: Je zwei Basen eines endlich erzeugten Vektorraums haben gleiche Kardinalität.

Beweis: Induktion nach der Anzahl s der Elemente von V von S, die nicht zu E gehören.

Ist s = 0, so ist S eine Teilmenge von E, also gilt die Behauptung.

Sei nun s > 0. Sei v einer der Vektoren, der zu S, aber nicht zu E gehört. Bilde S' = S-{v} - dies ist eine linear unabhängige Teilmenge von V, nach dem Ergänzungssatz gibt es also eine Teilmenge E' von E, sodass die Vereinigungsmenge S'∪E' eine Basis ist (dabei kann man voraussetzen, dass dies eine disjunkte Vereinigung ist).
Da S' kein Erzeugendensystem ist (denn v liegt nicht in < S' >), kann E' nicht leer sein. Also gilt: |S| ≤ |S'∪E'|.

Andererseits ist die Anzahl der Elemente von S'∪E', die nicht zu E gehören gleich s-1. Nach Induktion gilt demnach |S'∪E'| ≤ |E|.

Insgesamt haben wir gezeigt: |S| ≤ |S'∪E'| ≤ |E|.

Beweis des Nachsatzes: Sind B und B zwei endliche Basen, so gilt |B| ≤ |B'|, da B eine linear unabhängige Teilmenge und B' ein Erzeugendensystem ist. Entsprechend gilt aber auch |B'| ≤ |B|.
Es bleibt zu zeigen, dass es in V keine unendliche Basis geben kann. Wir wissen, dass V eine endliche Basis B besitzt. Sei n = |B|. Gäbe es eine unendliche Basis B', so betrachte eine Teilmenge S von B' der Kardinalität n+1. Es ist S eine linear unabhängige Teilmenge von V, also ist |S| ≤ n, Widerspruch.

Ist V ein endlich-erzeugter Vektorraum, so nennt man die Kardinalität n einer (und daher jeder) Basis die Dimension von V und man schreibt dim V = n und nennt V einen n-dimensionalen Vektorraum. Ist V nicht endlich-erzeugt, so nennt man V auch "unendlich-dimensional" und schreibt dim V = ∞.
Die oben notierte "wichtige Folgerung" lässt sich folgendermaßen formulieren:

In einem n-dimensionalen Vektorraum sind je n+1 Vektoren linear abhängig.

Folgerung. Sei V ein Vektorraum der Dimension n. Sei M eine Teilmenge von V der Kardinalität n. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: M ist eine Basis. M ist ein Erzeugendensystem. M ist linear unabhängig.

Beweis: Ist M ein Erzeugendensystem, so gibt es eine Teilmenge M' von M, die eine Basis ist. Aber alle Basen haben die Kardinalität n. Also M' = M und demnach ist M eine Basis.
Ist M linear unabhängig, so gibt es eine Obermenge M" von M, die eine Basis ist. Aber alle Basen haben die Kardinalität n. Also M" = M und demnach ist M eine Basis.