Lineare Abbildungen 2

Ist V = {v₁,...,v_n} eine Basis von Kⁿ (aufgefasst als Raum von Spaltenvektoren), so sei M(V) die Matrix, deren j-te Spalte gerade v_j ist.
Dann gilt: M(V) = M(Φ_V), dies ist die darstellende Matrix von Φ_V.

Nun sei A eine (m×n)-Matrix mit Koeffizienten in K. Betrachte die Abbildung f_A. Basiswechsel in Kⁿ und K^m liefert:

	f_B
Kⁿ	→	K^m
↓Φ_V		↓Φ_W
Kⁿ	→	K^m
	f_A

Also die Matrizengleichung:

B = M(W)^-1A M(V).

Auswertung des Beweises der Dimensionsformel:

Satz. Seien V, W endlich-erzeugte Vektorräume, sei f : V → W lineare Abbildung. Dann gibt es Basen V von V und W von W mit M^V_W(f) = B mit
Wenden wir dies auf eine Abbilung der Form f_A an, wobei A eine (m×n)-Matrix mit Koeffizienten in K ist, so erhalten wir Satz 1"".

Sei b₁,...,b_s eine Basis von Kern(f),
Setze dies fort durch a₁,...,a_r zu einer Basis von V.
Dann ist f(a₁),...,f(a_r) eine Basis von Bild(f)
(Dies besagt gerade der Beweis der Dimensionsformel für lineare Abbildungen; insbesondere ist r = Rang(f).)
Setze f(a₁),...,f(a_r) durch c₁,...,c_t fort zu einer Basis von W.

₁

Sei K ein Körper. Seien A, B (m×n)-Matrizen mit Koeffizienten in K. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Es gibt Vektorräume V, W und eine lineare Abbildung f : V → W, so dass A und B darstellende Matrizen von f (bezüglich irgend welcher Basen) sind.
f_B ist darstellende Matrix von f_A (bezüglich einer Basis V von Kⁿ und einer Basis W von K^m.
Es gibt invertierbare Matrizen P, Q mit PAQ = B.
A, B haben den gleichen Rang.

Man nennt in diesem Fall die Matrizen A und B äquivalent.. (Meist nimmt man die Aussage (3) als Definition der Äquivalenz von Matrizen.)

Die Äquivalenz zwischen diesen Aussagen und der Aussage (4) ist tiefliegender: Gilt (1), so haben A und B den gleichen Rang, denn Rang(A) = Rang(f) und Rang(B) = Rang(f), also gilt (4).
Gilt umgekehrt (4), so haben wir gerade gesehen, dass sowohl f_A als auch f_B die gleiche darstellende Matrix besitzen:

Basiswechsel

Man erhält T^V_W als Matrix zur Hintereinanderschaltung der folgenden linearen Abbildungen

T^V_W = Φ_W^-1Φ_V

Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Verantwortlich: C.M.Ringel
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