Rang einer Matrix

Vorausgesetzt wird die Vektorraum-Theorie (insbesondere die Definition der Dimension eines Vektorraums).

• mit Zeilen v(1),...,v(m) in Kⁿ (aufgefasst als Menge von Zeilenvektoren),
• mit Spalten c(1),...,c(n) in K^m (aufgefasst als Menge von Spaltenvektoren)

• R(A) = < v(1),...,v(m) >; die Dimension von R(A) heißt Zeilenrang der Matrix A.
• C(A) = < c(1),...,c(m) >; die Dimension von C(A) heißt Spaltenrang der Matrix A.

(Nachtrag einer Definition: Sei A eine (m×n)-Matrix mit Koeffizienten im Ring R. Sei t ≤ min(m,n). Jede Matrix A', die aus A durch Streichen von m-t Zeilen und n-t Spalten entsteht, nennt man einen t-Minor von A.)

Beweis von (1): Man sieht: Ist P eine Matrix mit m Spalten, so ist R(PA) Unterraum von R(A) (denn die Zeilen von PA sind Linearkombinationen der Zeilen von A).
Ist P invertierbar, so folgt: R(PA) = R(A).
Für die Schubert-Normalform B von A (aber auch für jede Zeilenstufenform, in die A durch elementare Zeilenumformungen gebracht werden kann) sieht man unmittelbar: Ist r die Anzahl der Pivot-Positionen, so sind die ersten r Zeilen von B linear unabhängig. Also bilden sie eine Basis von R(B) = R(A). Wir sehen also:

r = dim R(B) = dim R(A)

d.h.: Der Zeilenrang von A ist gerade die Anzahl der Pivot-Positionen in einer (und damit in jeder) Zeilenstufenform, in die A durch elementare Zeilenoperationen gebracht werden kann.

Nun betrachten wir C(A): Durch elementare Zeilenumformungen kann sich zwar C(A) ändern, nicht aber die Dimension von C(A). Entsteht nämlich B aus A durch elmentare Zeilenumformungen, und sind gewisse Spalten von A linear abhängig, so sind die entsprechenden Spalten von B ebenfalls linear abhängig (eine lineare Abhängigkeit von Spalten von A wird durch einen von Null verschiedenen Spaltenvektor x mit Ax = 0 beschrieben - und ist P invertierbar, so ist Ax = 0 genau dann, wenn PAx = 0 gilt). Daher sehen wir, dass gilt: Ist B eine Schubert-Normalform von A und ist r die Anzahl der Pivot-Positionen von B, so ist

r = dim C(B) = dim C(A).

Also sehen wir: Auch der Spaltenrang von A ist gleich der Anzahl der Pivot-Positonen in einer (und damit in jeder) Zeilenstufenform, in die A durch elementare Zeilenumformungen gebracht werden kann.

Insgesamt sehen wir auch: Zeilenrang = Spaltenrang.

---

Beweis von (3): Dies ist nur eine Umformulierung unserer Charakterisierung invertierbarer Matrizen.

---

Beweis von (2): Sei A in M(m×n,K) eine Matrix mit Rang r. Die Zeilen von A bilden ein Erzeugendensystem von R(A). Da dim R(A) = r, gibt es r Zeilen, die linear unabhängig sind. Streicht man die restlichen Zeilen, so erhält man eine (r×n)-Matrix A', und A' hat immer noch Rang r (denn es ist R(A') = R(A)).
Nun betrachtet man die Spalten von A'. Sie bilden ein Erzeugendensystem von C(A') und dim C(A') = r. Also gibt es r Spalten von A', die linear unabhängig sind. Streicht man die restlichen Spalten, so erhält man eine (r×r)-Matrix A" mit Rang r (denn C(A") = C(A')).
Eine (r×r)-Matrix mit Rang r ist invertierbar.

Aber auch die Umkehrung gilt: Wir setzen voraus, dass B ein t-Minor von A ist, und wir zeigen: rang(B) ≤ rang(A).
Die Matrix B entsteht aus A auf folgende Weise: Wir streichen erst m-t Zeilen und erhalten A', dann streichen wir n-t Spalten und erhalten B.
Es ist R(A') ein Unterraum von R(A), also ist dim R(A') ≤ dim R(A), also gilt rang(A') ≤ rang(A).
Es ist C(B) ein Unterraum von C(A'), also ist dim C(B) ≤ dim C(A'),
Insgesamt sehen wir: Besitzt A einen invertierbaren t-Minor B, so ist t = rang(B) ≤ rang(A).

Nachtrag zum Lösen von homogenen Gleichungssystemen

Beweis: Loes(A,0) ist offensichtlich ein Unterraum. Wegen Loes(A,0) = Loes(PA,0) für jede invertierbare Matrix P können wir annehmen, dass A in Schubert-Normalform ist. Unser Lösungs-Algorithmus liefert n-r Fundamentallösungen,
• die offensichtlich linear unabhängig sind, und
• die Loes(A,0) erzeugen.
Also haben wir eine Basis von Loes(A,0) erhalten und diese Basis hat die Kardinalität n-r.

Satz. Sei K ein Körper. Jeder Unterraum U von Kn der Dimension s ist von der Form U = Loes(A,0) für eine ((n-s)×n)-Matrix A vom Rang n-s.

Beweis: Wähle eine Basis b₁,...,b_s von U. Sei B die (s×n)-Matrix mit Zeilen b_i. Durch Lösen des Gleichungssystems BX = 0 erhalten wir n-s linear-unabhängige Spaltenvektoren in Loes(B,0). Bilde aus diesen Spalten eine Matrix C. Sie hat Rang n-s und es ist BC = 0. Transponieren liefert ^tC^tB = 0: die Spalten von ^tB sind also Lösungen des homogenen Gleichungssystems AX = 0 mit A = ^tC. Also gilt: U ist ein Unterraum von Loes(A,0).

Die Dimension von U ist s, die von Loes(A,0) ist n-rang(A) = n-(n-s) = s. Also ist U = Loes(A,0).

Hyperebenen

Die Hyperebenen in Kn sind die Unterräume der Form Loes(A,0), wobei A eine von Null verschiedene (1×n)-Matrix (also ein Zeilenvektor ungleich 0) ist. Jeder Unterraum von Kn der Dimension s ist Durchschnitt von n-s Hyperebenen.

Beweis: Eine von Null verschiedene (1×n)-Matrix A hat Rang 1, also ist Loes(A,0) ein Unterraum der Dimension n-1.
Ist umgekehrt U ein Unterraum der Dimension n-1, so ist U = Loes(A,x) für eine (1×n)-Matrix vom Rang 1, also ist A ein von Null verschiedener Zeilenvektor.

Ist U ein Unterraum der Dimension s, so finden wir eine ((n-s)×n)-Matrix A mit U = Loes(A,0). Sind z(1),...,z(n-s) die Zeilen von A, so sind alle diese Zeilenvektoren von Null verschieden (denn A hat Rang n-s), und Loes(A,0) ist der Durchschnitt der Unterräume Loes(z(i),0).