Leitfaden
So weit möglich, wird eine Ausarbeitung der
Vorlesung (auf deutsch)
vorgelegt.
Unfortunately, the "Leitfaden" is available in German only. But still it may
be helpful.
Semester-Apparat/Library
Im V-Zahn der Bibliothek gibt es einen (noch nicht vollständigen)
Semester-Apparat. Er wird mittlerweile immer vollständiger!
A selection of relevant books is available on a special shelf in the
library (under the heading "Semester-Apparat"),
with more and more books.
Bücher/Books
- O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie SS 2004.
Partiell sind
Ausarbeitungen als pdf-Files vorhanden.
- Die Fibonacci-Zahlen (pdf)
- Teilbarkeit. Der Euklidische Algorithmus (pdf)
- Primfaktor-Zerlegung
- Die Menge der Primzahlen. Bertrandsches Postulat
(pdf. vorläufige Version)
- Idealtheoretische Interpretation der Teilbarkeit
- Rechnen mit Kongruenzen. Chinesischer Restsatz
- Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel (pdf)
- Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson
- Primitivwurzeln (pdf, vorläufige Version)
- Periodische Dezimalbrüche
- (p-1)-Primzahltests
- Einfache Faktorisierungs-Methoden (pdf)
- Der diskrete Logarithmus (pdf)
- Public-Key-Kryptographie
- Quadratische Gleichungen modulo m (pdf, vorlufige Version)
- Das Quadratische Reziprozittsgesetz (pdf)
- Probabilistische Primzahltests
- Quadratische Erweiterungenen
- Der (p+1)-Primzahltest. Mersennsche Primzahlen
- Summen von Quadraten
- H. Scheid: Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, 2.Aufl. 1994
- Teilbarkeit ganzer Zahlen
- Integritätbereiche
- Restklassen
- Kongruenzen und diophantische Gleichungen
- Zahlentheoretische Funktionen
- Der Primzahlsatz
- Elemente der Additiven Zahlentheorie
- Siebmethoden
- G. Frey: Elementare Zahlentheorie, Vieweg, 1983
- Teilbarkeitslehre
- Kongruenzen
- Komplettierungen von Q
- Quadrate in Qp
- Quadratische Formen über Q und Qp
- Quadratische Zahlkörper
- Anhang: Der Primzahlsatz von Dirichlet
- Ist (a,m)=1, so gibt es unendliche viele Primzahlen, die kongruent a
modulo m sind.
- I.Niven, H.S.Zuckermann:
Einführung in die Zahlentheorie I, II.
BI-Tachenbücher, Mannheim 1976.
There is also an english version in the library!
Band I:
- Teilbarkeit
- Kongruenzen
- Quadratische Reziprozität
- Funktionen in der Zahlentheorie
- Diophantische Gleichungen
- Fareybrüche und irrationale Zahlen
Band II:
- Kettenbrüche
- Elementare Bemerkungen über die Verteilung der Primzahlen
- Insbesondere 8.3: Das Bertrandsche Postulat
- Algebraische Zahlen
- Die Partitionsfunktionen
- Die Dichte von Folgen ganzer Zahlen
Ergänzende Bemerkungen:
Insbesondere: Ein gruppentheoretischer Beweis für die Existenz einer
Primitivwurzel modulo p.
Und: Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis...
- R. Remmert, P Ullrich:
Elementare Zahlentheorie. Birkhäuser
1986, 1995.
- Primzerlegungen in Z und Q
- Theorie des größten gemeinsamen Teilers in Z
- Zahlentheorie in allgemeinen Integritätsringen
- Der g-adische Algorithmus
- Kongruenzen und Restklassenringe
- Prime Restklassengruppen
(d.h.: Die Einheitengruppen U(Z/Zm)
des Rings Z/Zm;
als Menge kann dies mit der Menge der zu m teilerfremden Zahlen zwischen
1 und m identifiziert werden.)
- 6.1 Elementare Gruppentheorie
- Zyklische prime Restklassengruppen.
- Theorie der quadratischen Reste.
- W.Sierpinski: Elementary Number Theory. Polska Academia Nauk,
Warszawa 1964
- Divisibility and indeterminate equations of first degree
- Diophantine analysis of second and higher degrees
- Prime numbers
Let 2 = p1 < p2 < p3 < ...
be the sequence of prime numbers.
- 3.10, Theorem 9: For k > 3, we have pk+2 < 2pk.
- Number of divisors and their sum
- Congruences
- Euler's totiet function and the theorem of Euler
- Representation of numbers by decimals in a given scale
- Continued fractions
- Legendre's symbol and Jacobi's symbol
- 9.2. Quadratic reciprocity law.
- Mersenne numbers and Fermat numbers
- Representations of natural numbers as sums of non-negative k-th powers
- Some problems of the additive theory of numbers.
- Complex integers
- B.A.Venkov: Elementary Number Theory.
Wolters-Noordhoff, Groningen 1970.
- Basic concepts. (p.1-31)
- Factorisation of a number into prime factors; Euclidean algorithm
- Euler and Fermat; linear congruences
- Lagrange and Wilson
- Primitive roots, indices, binary congruences
- Bernouilli numbers
- Quadratic residues; Gauss's thord proof
- Continued fractions and diaophantine approximations
- Power residues
- Gauss' theory of quadratic forms
- Partitions. Liouville' method
- The class number of binary quadratic forms.
- G.H.Hardy, E.M.Wright: An introduction to the theory of
numbers.
Oxford 1938.
- The series of primes (1)
- The series of primes (2)
- Farey series and a theorem of Minkowski
- Irrational numbers
- Congurences and residues.
- Fermat's theorem and its consequences
- 6.12. The law of reciprocity.
- General properties of congruences
- Congruences to composite moduli
- The representation of numbers by decimals
- Continued fractions
- Approximation of irrationals by rationals
- The fundamental theorem of arithmetic in k(1), k(i) and k(p)
- Some diophantine equations
- Quadratic fields (1)
- Quadratic fields (2)
- The arithmetical functions φ(n); μ(n); d(n); σ(n); r(n).
- Generating functions of arithmetical functions
- The order of magnitude of arithmatical functions.
- Partitions
- The representation of a number by two ir four squares
- Representations by cubes and higher powers
- The series of primes (3)
- Kronecker's theorem
- Geometry of numbers
- H. Hasse: Vorlesungen über Zahlentheorie.
Erster Abschnitt: Grundlagen
- Primzerlegung
- Größter gemeinsamer Teiler
- Vollkommene Zahlen, Mersennesche und Fermatsche Primzahlen
- Kongruenz, Restklassen
- Die Struktur der primen Restklassengruppen.
Zweiter Abschnitt: Quadratische Reste
- Definition, Reduktion, Kriterien
- Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Elementarer Beweis.
- Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Beweis mit Gaußschen Summen.
- Die Jacobische Verallgemeinerung
- Verteilungsfragen über quadratische Reste nach einer Primzahl.
Dritter Abschnitt: Der Dirichletsche Primzahlsatz
- Elementare Sonderfälle
- Die Methode von Dirichlet
- Die Charaktere endlicher ablescher Gruppen, Restklassencharaktere
- Der Beweis von Dirichlet
- Das Nichtverschwinden von L-Reihen
Viter Abschnitt: Quadratische Zahlkörper
- Elementare Teilbarkeitslehre
- Divisorentheorie
- Bestimmung der Klassenzahl
- Quadratische Zahlkörper und quadratisches Reziprozitätsgesetz
- Systematische Theorie der Gaußschen Summen.
- P. Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. Springer
- Teilbarkeit.
Fundamentalsatz; ggt und kgV; lineare diophantische Gleichungen;
zahlentheoretische Funktionen; Teilbarkeit in Integritätsringen; algebraische
Zahlkörper - insbesondere quadratische.
- Kongruenzen.
Lineare Kongruenzen; simultane lineare Kongruenzen; die Sätze von Fermat, Euler,
Wilson; polynomiale Kongruenzen; Primitivwurzeln.
- Potenzrestes, insbesondere quadratische Reste.
Indexrechnung und Potenzreste; quadratische Reste; Verteilung quadratischer Reste.
- Additive Probleme und diophantische Gleichungen.
Potenzsummen, insbesondere Quadratsummen; polynomiale diophantische Gleichungen;
die Pellsche Gleichung und Vereandtes.
- Verschiedene Entwicklungen reeller Zahlen
Die g-adische Entwicklung; die Cantorsche Entwicklung und weitere
Irrationalitätskriterien; die regelmäße Kettenbruchentwicklung.
- Transzendenz.
Entdeckung der Transzendenz; Schärfere Approximationssätze;
die Sätze von Hermite, Lindemann, Weiersträszlig;; die Methode von
Hermite-Mahler; der Satz von Gelfond-Scheider.
- Primzahlen
Elementare Ergebnisse; Anzahlfunktion: Tchebychef's Sätze; der
Primzahlsatz.
- K. Ireland, M.I. Rosen: Elements of number theory.
Including an introduction to equations over finite fields. Bogden & Quigley,
NY 1972.
- Unique factorization
- Applications of unique factorization
- 2.3, Theorem 2: Σ 1/p diverges (summation over all prime numbers).
- Congruence
- The structure of U(Z/Zn)
- Quadratic reciprocity
- Quadratic Gauss sums
- Finite fields
- Gauss and Jacobi sums
- Cubic reciprocity
- Equations over finite fields
- The zeta function
- K.H. Rosen: Elementary number theory and its applications.
Addison-Wesley. Reading 1984.
- The integers
- Greatest common divisors and prime factorization
- Congruences
- Applications of congruences
- Some special congruences
- Multiplicative functions
- Cryptology
- Primitive roots
- Quadratic residues and reciprocity.
- Decimal fractions and continued fractions
- Some nonlinear diophantine equations.
- Pythagoren triples, Fermat's last theorem, Pell's equation.
- H. M. Stark: An introduction to number theory, Markham Publishing Co.,
Chicago, Ill.
Number Theory
- H.Scholz, B.Schöneberg:
Einführung in die Zahlentheorie.
- Borevic, Schafarevic: Zahlentheorie
- H. Davenport: The higher arithmetic: an introduction to the theory of
numbers
- O. Forster: Algorithmische Zahlentheorie, Vieweg 1997
- H. Opolka, W. Scharlau: Von Fermat bis Minkowski, Springer 1980
- D. Niven: Rational numbers (Carus Math. Monographs)
- K. Chandrasekharan: Introduction to analytic number theory. Springer
- Hua
- P. Ribenboim, The book of prime number records, Springer, New York, 1988.
- G.J.O. Jameson: The prime number theorem. London Math. Society. Student Texts 53.
Cambridge University Press 2003.
- Foundations
- Some important Dirichlet series an arithmetic functions
- The basic theorems
3.5 Some applications of the prime number theorem.
- Prime numbers in residue classes: Dirichlet's theorem
- Error estimates and the Riemann hypothesis
- An "elementary" proof of the prime number theorem
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Verantwortlich: C.M.Ringel
E-Mail:
ringel@mathematik.uni-bielefeld.de