1. Die Verteilung der Primzahlen: das Bertrandsche Postulat (ein Satz von Tchebycheff):

   Ist n eine natürliche Zahl, so gibt es eine Primzahl p mit n < p ≤ 2n.

   The disrtibution of prime numbers: Bertrand's postulate.

   If n is a natural number, then there is a prime number p with n < p ≤ 2n.

2. Multiplikative Funktionen: Faltung, Moebius-Inversion. Vor allem: die Eulersche φ-Funktion.

3. Die Restklassenringe Z/n und ihre Einheitengruppe.
   Frage: Wann ist die Einheitengruppen (Z/n)* zyklisch?
   Wenn ja, so nennt man ein erzeugendes Element eine Primitivwurzel modulo n.

4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz.

5. Summen von Quadratzahlen.

6. Farey-Brüche.

7. Die Gaußschen ganzen Zahlen.

8. Was alles fehlt

Die Wikipedia schreibt: Die elementare Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, sie kommt weitgehend ohne Hilfsmittel anderer mathematischer Teilgebiete aus. In diesen Bereich fallen Fragen der Teilbarkeit, der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers, die Faktorisierung von Zahlen in ihre Primfaktorzerlegung, sowie Untersuchungen zu vollkommenen Zahlen und Kongruenzen.

Typische Sätze sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung, der Satz von Euler, sowie der Chinesische Restsatz und das Quadratische Reziprozitätsgesetz.

Des weiteren werden zahlentheoretische Funktionen, wie etwa die Möbiusfunktion und die Eulersche Phi-Funktion sowie Zahlenfolgen, wie beispielsweise Fakultät und Fibonacci-Zahlen untersucht.

As a start, the unique factorization property (for writing natural numbers as a product of prime numbers) and the fact that there are infinitely many prime numbers will be recalled.

The main topics to be discussed include:

• The distribution of prime numbers (Bertrand's postulate - a theorem of Tchebycheff)
• The structure of the unit group U(Z/Zm) of the rings Z/Zm.
  More precisely: Following Gauss, we will determine when U(Z/Zm) is cyclic
• The quadratic reciprocity law

Inhalt einer entsprechenden Vorlesung

1. Vorbereitungen (Summationsformeln, Kettenbrüche)
2. Primzahlen (Einleitung, fundamentale - und kuriose - Sätze und Bemerkungen).
3. Arithmetische Funktionen (Allgemeine Sätze, Teilerfunktion, Sigmafunktion, vollkommene Zahlen).
4. Kongruenzen (Sätze von Euler, Fermat, Wilson, Anwendung: Vier- Quadrate-Satz von Lagrange).
5. Der Primzahlsatz (Chebyshev-Funktionen, die Riemannsche Zetafunktion, Primzahlsatz, Anwendungen).
6. Geometrie der Zahlen (Lemma von Birkhoff, Minkowskis 1.Satz, Linearformensatz, Anwendungen).
7. Diophantische Approximation (der allgemeine Satz von Dirichlet, Naeherungsbrüche, Datz von Hurwitz, Satz von Liouville, die Thue-Gleichung).
8. Transzendente Zahlen (Liouvilles Konstruktion, Satz von Lindemann-Weierstrass, Folgerungen).

Lernziel:
Präsentation eines möglichst breiten Querschnitts durch die klassische Zahlentheorie. Behandlung von

• grundlegenden Begriffen und Konzepten, die oft schon im gymnasialen Unterricht gestreift werden.
• einigen der faszinierendsten klassischen Sätze - Meilensteine - in der Geschichte der Zahlentheorie.