Der Abbildungskegel

Eine Illustration findet man zum Beispiel im Buch von Ossa, p.262.

Die lange exakte Sequenz zum Abbildungskegel

Beweis: Setze K = K(f).
• Sei K₀ der Unterraum von K, der aus X und aus den Punkten (a,t) mit t < 2/3 besteht. Es ist X ein Deformationsretrakt von K₀. (Man erhält eine Homotopie H : K₀ × I → K₀ durch H(x,s) = H(x), H(a,t,s) = H(a,ts).)
• Sei K₁ der Unterraum von K, der aus den Punkten (a,t) mit t > 1/3 besteht. Offensichtlich ist K₁ zusammenziehbar. Also ist H_n(K,K₁) = H_n^red(K),
• Der Durchschnitt von K₀ und K₁ ist A × ]1/3,2/3[, also homotopie-äquivalent zu A.

Beide Unterräume K₀ und K₁ sind offen, ihre Vereinigung ist ganz K. Also ist v : (K₀,K₀ ∩ K₁) → (K,K₁) eine Ausschneidung. Demnach induziert die Inklusion v einen Isomorphismus der relativen Homologiegruppen.

Betrachte nun die lange exakte Homologie-Sequenz des Paares (K₀,K₀ ∩ K₁). Wir können H_n(K₀ ∩ K₁) mit H_n(A) identifizieren und H_n(K₀) mit H_n(X); dabei entspricht die Inkusionabbildung K₀ ∩ K₁ → K₀ gerade der Abbildung f : A → X.

1. Anwendung: Die Einhängung eines Raumes.

Korollar. Es ist

Hn+1(ΣX) = Hnred(X) für alle n > 0.

(und natürlich H₀^red(ΣX) = 0, denn ΣX ist wegzusammenhängend).

Folgerung: Die Homologiegruppen der Sphären. Betrachte folgendes Beispiel einer Einhängung: Es ist

Satz. Für n>0 ist

Erinnerung: Als wir gezeigt hatten, dass die Fundamentalgruppe des Kreises S1 gleich Z ist, während ja D2 zusammenziehbar ist, konnten wir viele Folgerungen zeigen, zum Beispiel:

Satz S1 ist kein Retrakt von D2. Brower'scher Fixpunktsatz:  Jede stetige Abbildung D2 → D2 hat mindestens einen Fixpunkt. Satz: Es gibt keine stetige Abbildung f: D2 → S1 mit f(-x) = -f(x) für alle x in S1. Satz von Borsuk-Ulam: Jede stetige Abbildung g: S2 → R2 mit g(-x) = -g(x) hat eine Nullstelle. Satz: Ist h:  S2 → R2 stetig, so gibt es ein x in S2 mit h(-x) = h(x). Invarianz der Dimension Eine offene Teilmenge des R2 ist nicht homöomorph zu einer offenen Teilmenge des Rn mit n > 2. Satz vom Schinkenbrot. (siehe Ossa 1.5.14)

Und weiter hätten wir zeigen können:

Satz vom Igel. Jedes stetige Vektorfeld auf der S2 hat eine Nullstelle. (Siehe Ossa, 1.6.2, dafür braucht man aber die Definition eines "Vektorfelds".)

Verwendet wurde dabei die Berechnung der Fundamentalgruppe des Kreises oder aber eben der ersten Homologiegruppe des Kreises. Auch hätte ich im Rahmen der Vorlesung Topologie I folgendes beweisen sollen:

Eine Teilmenge K des Rn heißt geschlossenene Jordan-Kurve, wenn sie homöomorph zum Kreis S1 ist. Jordan'schen Kurvensatz. Ist J eine geschlossene Jordan-Kurve in der Ebene R2, so besteht das Komplement aus genau zwei Zusammenhangskomponenten (es gibt also "innen" und "außen").

Nun kennen wir alls Homologiegruppen der Sphären. Dies führt zu entsprechenden Ergebnissen:

Folgerungen aus der Berechnung der Homologiegruppen der Sphären Satz. Sind m, n verschieden, so sind die Sphären Sn und Sm nicht homotopie-äquivalent, also erst recht nicht homöomorph. Satz. Sn-1 ist kein Retrakt von Dn. Browerscher Fixpunktsatz. Jede stetige Abbildung f : Dn → Dn hat einen Fixpunkt. (Ossa 5.6.10) Trennungssatz von Jordan-Brouwer. Ist eine Teilmenge M der Sn homöomorph zur Sn-1, so besteht das Komplement Sn-M aus genau zwei Wegzusammenhangskomponenten. (Ossa 5.6.14) Invarianz der Dimension: Sei N eine offene Teilmenge des Rn und sei M eine offene Teilmenge des Rm. Sind N und M homöomorph, so ist m=n. (Ossa 5.6.8) Invarianz von Gebieten: Ist N eine offene Teilmenge des Rn und M eine zu N homöomorphe Teilmenge des Rm, so ist M offen (und also m=n). (Ossa 5.6.15)

Weiteres:

Der Abbildungsgrad grad(f) einer stetigen Abbildung f : Sn → Sn ist folgendermaßen definiert: nimm ein erzeugendes Element σ von Hn(Sn) und bilde Hn(f)(σ), dies ist ein ganzzahliges Vielfaches von σ, eben grad(f)σ. (Siehe Ossa, § 5.7.) Mit Ergebnissen, wie zum Beispiel: Ist f : Sn → Sn die Einschränkung einer orthogonalen Abbildung, so ist grad(f) = det(f). Satz vom Igel: Ist n gerade, so hat jedes stetige Vektorfeld auf der Sn eine Nullstelle. Im Ossa wird auch gezeigt: Für n > 0 gilt: Selbstabbildungen der Sn mit gleichem Abbildungsgrad sind homotop. (Ossa 5.7.10)

Und:

Die Einhängung liefert einen Isomorphismus πn-1(Sn-1,*) → πn(Sn,*). (Ossa 5.7.11)

Aber dies betrifft die Homotopie-Gruppen, die wir erst später betrachten werden.

2.Anwendung: Inklusionen

Beweis: Betrachte für die Inklusionsabbildung f : A → X das Diagramm

K0∩K1	→	K0
↓		↓
A	→	X

Da f injektiv ist, ist auch C_•(f) injektiv, also sind in folgendem kommutativen Diagramm beide Zeilen exakt:

0	→	C•(K0∩K1)	→	C•(K0)	→	Kokern	→	0
		↓		↓		↓
0	→	C•(A)	→	C•(X)	→	Kokern	→	0

Der obere Kokern ist C_•(K₀/(K₀∩K₁)), der untere ist C_•(X,A).

Wir erhalten ein kommutatives Diagramm von Homologie-Gruppen:

Hn(K0∩K1)	→	Hn(K0)	→	Hn(K0,K0∩K1)	→	Hn-1(K0∩K1)	→	Hn-1(K0)
↓		↓		↓		↓		↓
Hn(A)	→	Hn(X)	→	Hn(X,A)	→	Hn(A)	→	Hn(X)

Das Fünfer-Lemma zeigt nun: H_n(K₀,K₀∩K₁) ist isomorph zu H_n(X,A) Aber wir wissen schon: H_n(K₀,K₀∩K₁) ist isomorph zu H_n^red(K(i)).

Einschub: Die Bedeutung des Abbildungskegels

Betont werden sollte etwas, dessen Bedeutung an dieser Stelle nur angedeutet werden kann, nämlich die Tatsache, dass jede stetige Abbildung f : A → X eine Abbildungsfolge der Form A → X → C(f) → ΣA liefert. In der stabilen Homotopiekategorie erhält man auf diese Weise ein "Triangel", und damit wird die Struktur der stabilen Homotopiekategorie als "triangulierte Kategorie" etabliert.

3. Anwendung: Das Anheften von Zellen

Für eine Illustration sei auf das Buch von Stöcker-Zieschang verwiesen.

Beispiel 1: Sei u : S^n-1 → Bⁿ die kanonische Inklusion. Es ist K(u) = Sⁿ. Wir sehen also: Die n-Sphäre Sⁿ entsteht aus Bⁿ durch Anheften einer n-Zelle und zwar mit Anheftabbildung u.

Beispiel 2: Sei F eine geschlossene Fläche mit einem Polygon-Modell mit 2m Kanten, wobei jeweils Paare von Kanten identifiziert werden. Dann gilt: F entsteht aus der punktierten Summe von m Kreisen durch Anheften einer 2-Zelle.

Satz. Der Raum Y entstehe aus X durch Anheften einer n-Zelle. Dann unterscheidet sich die Homologie von X und Y höchstens in den Dimensionen n und n-1, und zwar Es ist Hn(Y) entweder gleich Hn(X) oder gleich Hn(X)⊕Z. Es ist Hn-1(Y) eine Faktorgruppe von Hn-1(X), und zwar mit zyklischem Kern.

Beweis: Wir haben folgende exakte Folge:

Wenn es notwendig ist, H_n-1^red(f) : Z → H_n-1^red(X) besser zu überblicken, fixieren wir eine Hurewicz-Abbildung: Wir nehmen ein erzeugendes Element γ in H_n-1^red(S^n-1) (dies ist eine singuläre (n-1)-Kette) ...

Wir unterschieden nun zwei Fälle:

• Der Verbindunghomomorphismus H_n(K) → Z ist die Nullabbildung. In diesem Fall ist also

  Hn(K) = Hn(X),

  und es gilt:

  Hn-1red(K) ist Faktorgruppe von Hn-1red(X) nach einer unendlich-zyklischen Untergruppe.

• Der Verbindunghomomorphismus d : H_n(K) → Z ist nicht die Nullabbildung, also ist sein Bild eine von Null verschiedene Untergruppe von Z, etwa aZ mit a > 1; demnach zerfällt die exakte Folge

  0

  →

  Hn(X)

  →

  Hn(K)

  →

  aZ

  →

  0.

  Wir sehen also:

  Hn(K) ist isomorph zu Hn(X)⊕Z.

  und

  Hn-1red(K) ist Faktorgruppe von Hn-1red(X) nach einer endlichen zyklischen Untergruppe (der Ordnung a).

Hier sind diese Ergebnisse noch einmal tabellarisch notiert:

				d = 0	d ≠ 0
Hn(K)	= Hn(X)⊕G		dabei ist	G =	0	Z
Hn-1(K)	= Hn(X)/U			U =	Z	Z/aZ mit a > 0
Hm(K)	= Hm(X) für m ≠ n,n-1

Insbesondere sehen wir: Wir erhalten ein Erzeugendensystem für die Homologie-Gruppe H_n durch n-Zyklen, die jeweils beim Anheften einer n-Zelle entstehen.

Satz. X entstehe aus A durch Anheften von n-Zellen; sei S die Menge dieser n-Zellen. Dann gilt

Beweis: Nimm aus jeder angehefteten n-Zelle einen Punkt p, sei P die Menge dieser Punkte. Offensichtlich ist A ein Deformationsretrakt von X-P, also liefert die lange exakte Folge für das Tripel A < X-P < X, dass H_m(X,A) = H_m(X,X-P) für alle m gilt.

Es ist X-A offen in X, es ist X-P offen in X, und die Vereinigung dieser beiden offenen Mengen X-A und X-P ist X, also liefert die Ausschneidung einen Isomorphismus
H_m(X,X-P) = H_m(X-A,X-A-P).

Nun ist aber (X-A,X-A-P) die topologische Summe von Paaren (E,E-p), indiziert über S, also gilt:
H_m(X-A,X-A-P) = ⊕_{s in S} H_m(E,E-p).

Wegen H_n(E,E-p) = Z und H_m(E,E-p) = 0 für m ≠ n folgt die Behauptung.