Topologie I: Leitfaden 4

4. Konstruktion kompakter Flächen

Simplizialkomplexe

Polygon-Modelle

Beispiele.

(0,t) ~ (1,t) für alle t mit 0 ≤ t ≤ 1.
Wir erhalten einen Schlauch (Zylinder, Henkel).
(0,t) ~ (1,1-t) 0 für alle t mit ≤ x ≤ 1.
Wir erhalten ein Möbiusband (Man nennt dies auch eine "Kreuzhaube", wir werden später noch genauer darauf eingehen!)

Allgemeiner Fall. Sei nun M ein regelmäßiges n-Eck -

Greifen wir ein Kantenpaar heraus, so können wir eine der beiden Identifizierungen vornehmen. Ist n gerade und verwenden wir hierbei jede Kante genau zweimal, so erhalten wir eine kompakte geschlossene Fläche F. Dies soll bedeuten:

F ist Hausdorffsch.
Jeder Punkt hat eine Umgebung, die zu R² homöomorph ist.
F besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis.
F ist kompakt.

Beweis: [FEHLT]

Unter einem Polygon-Modell einer geschlossenen Fläche verstehen wie ein regelmäßiges 2m-Eck mit einer Identifikationsvorschrift für Kantenpaare: die Menge der Kanten ist in m Kantenpaare eingeteilt; für jedes derartige Kantenpaar ist angegeben, in welcher der beiden möglichen Weise diese Kanten zu identifizieren sind.

Lemma. Zu jeder endlich-triangulierbaren zusammenhängenden geschlossenen Fläche gibt es ein Polygonmodell.

Beweis: Betrachte endliche Zerlegungen der Fläche, so dass die Komponenten Polygone sind (oder wenigstens topologisch äquivalent zu Polygonen). Zum Beispiel wird ja vorausgesetzt, dass es eine Zerlegung in endlich viele 2-Simplizes gibt. Nimm eine Zerlegung mit kleinstmöglicher Zahl von Komponenten. Ist diese Zahl größer als 1, so kann man zwei Komponenten zusammenkleben und erhält einen Widerspruch.

Notation für Polygon-Modelle

Um die Identifikationsvorschrift zu beschreiben, verwenden wir "Wörter" wie folgt: Ausgehend von einer festen Ecke durchlaufen wir die Kanten des Rands entgegen dem Uhrzeigersinn. Wir bezeichnen die ersten Kanten nacheinander mit a₁, a₂,... und notieren eine Art Produkt a₁a₂...a_t (eben ein "Wort" mit Buchstaben a₁,...). Kommen wir allerdings zu einer Kante, die mit einer schon betrachteten Kante zu verheften ist, etwa mit a_i, so schreiben wir als nächsten Buchstaben a_i, falls die Identifizierung den Durchlaufsinn nicht ändert, oder a_i^-1, falls sie ihn ändert.

Frage: Welche Wörter liefern homöomorphe Flächen? Welche nicht?

Satz 4 (Klassifikationssatz, Aussage 1). Jede endlich-triangulierbare zusammenhängende geschlossene Fläche ist topologisch äquivalent zu einer der folgenden Flächen:

F₀ - dies ist die Flächen-Realisierung des Worts aa^-1.
F_g - dies ist die Flächen-Realisierung des Worts a₁b₁a₁^-1b₁^-1 ... a_gb_ga_g^-1b_g^-1 mit g > 0.
N_g - dies ist die Flächen-Realisierung des Worts a₁a₁a₂a₂....a_ga_g mit g > 0.

Die zweite Aussage von Satz 4 wird besagen, dass Flächen mit verschiedener Normalform nicht topologisch äquivalent sind. Dies wird erst später bewiesen.

Reduktionen

Reduktion I: Elimination von aa^-1 (falls die Länge des Gesamtworts echt größer als 2 ist)
Reduktion II: Eckpunkt-Reduktion. Da Kanten unter der Quotientenabbildung π identifiziert werden, werden auch Eckpunkte identifiziert.
Die Eckpunkt-Reduktion wird so lange durchgeführt, bis es nur eine Äquivalenzklasse von Eckpunkten gibt. (Gegebenenfalls müssen zwischendurch Reduktionen der Form I durchgeführt werden.)
Bezeichne mit m(P) die Kardinalität von π^-1π(P). Wähle P mit m(P) maximal, und zwar so, dass einer der Nachbarpunkte von P unter π nicht mit P identifiziert wird. Sei dies Q, und die Kante zwischen ihnen sei a.
Die nachfolgende Kante kann nicht a sein, denn a beginnt in P, die folgende Kante beginnt in Q. Sie kann auch nicht a^-1 sein, denn Paare der Form aa^-1 sind schon eliminiert. Also nennen wir sie b, ihr Endpunkt sei R.

Durch einen Schnitt von P nach R und Zusammenkleben entlang b erhalten wir ein neues Modell:
(Bilderklärung, von links nach rechts:
Links das Ausgangsmodell, der Rand ist punktiert, soweit nicht die für die Betrachtung wichtigen Kanten hervorgehoben sind.
In der Mitte ist der Schnitt eingezeichnet (grob gestrichelt).
Rechts ist die neue Konfiguration angegeben, die dadurch entsteht, dass nach dem Schneiden neu verklebt wird.
Die übereinander stehenden Skizzen thematisieren die beiden möglichen Fälle für die zweite b-Kante.)

Und im neuen Modell hat sich m(P) um 1 erhöht!
Reduktion III: Kreuzhauben-Normierung
Ersetze a...a... durch aa...
Reduktion IV: Henkel-Normierung Wir betrachten nun ein Wort w der Form ...a...a^-1...

Wir können annehmen, dass w mit a anfängt, etwa w = aBa^-1C, wobei B und C Wörter sind.
Behauptung: Es gibt mindestens eine Kante, die sowohl in B als auch in C vorkommt. Denn sonst würde ein Eckpunkt rechts (also im B-Teil) auf keinen Fall mit einem Eckpunkt links (im C-Teil) identifiziert: es gäbe also mindestens zwei Äquivalenzklassen von Eckpunkten im Gegensatz zur zweiten Reduktion! Also sieht unser Polygon-Modell so aus:
,
wobei wir uns noch überlegen müssen, wie die zweite b-Kante orientiert ist. Sie muss aber die Form b^-1 haben, denn wir haben ja alle Kreuzhauben normiert: kommt b zweimal in gleicher Orientierung vor, so direkt nacheinander.
Zwei Schritte sind notwendig. Im ersten Schritt ersetze das Wort a...b...a^-1...b^-1... durch ein Wort der Form aba^-1...b^-1....
Für den zweiten Schritt können wir annehmen, dass wir ein Wort der Form aba^-1...b^-1... vor uns haben. Im zweiten Schritt ersetze aba^-1...b^-1... durch ein Wort der Form aba^-1b^-1...
Reduktion V: Henkel-Elimination (falls es Kreuzhauben gibt)
Wir betrachten ein Wort w, das sowohl Kreuzhauben als auch Henkel besitzt. Wir können demnach annehmen, dass es mit aba^-1b^-1cc... beginnt. Wir ersetzen es durch abdbad...

Anschließend müssen diese Kreuzhauben wieder normiert werden:
- Reduktion II ersetzt abdbadE durch a'a'b^-1d^-1b^-1dE, also nach Rotation b^-1d^-1b^-1dEa'a'.
- Eine zweite Anwendung der Reduktion II ersetzt b'd^-1b'dEa'a' durch b'b'ddEa'a', also nach Rotation haben wir a'a'b'b'ddE.
Merkregel: Die Flächen zu aba^-1b^-1ccE und aabbccE sind topologisch äquivalent. (Dabei ist E ein beliebiges Wort.)

Mehr zu den Normalformen

Dass Flächen mit verschiedener Normalform nicht topologisch äquivalent sind, kann hier noch nicht bewiesen werden - dazu müssen wir geeignete Invarianten entwickeln ("Homotopiegruppen" oder "Homologiegruppen", also algebraische Objekte; oder zumindest Zahlen: "Betti-Zahlen", "Euler-Charakteristik", ...).

g Name Euler-Charakteristik
F_g 0 2-Sphäre orientierbar 2
1 Torus 0
2 Brezel -2
.... ... ...
g ... 2-2g
.... ... ...
N_g 1 Projektive Ebene nicht orientierbar 1
2 Klein'sche Flasche 0
... ... ...
g ... 2-g
.... ... ...

	g	Name		Euler-Charakteristik
F_g	0	2-Sphäre	orientierbar	2
1	Torus		0
2	Brezel		-2
....	...		...
g	...		2-2g
....	...		...
N_g	1	Projektive Ebene	nicht orientierbar	1
2	Klein'sche Flasche		0
...	...		...
g	...		2-g
....	...		...

Das Anheften von Henkeln und Kreuzhauben

Hier soll nun noch ein wenig die Anschauung geschult werden: Wie stellt man sich die Normalformen vor? Im R³ sind nicht alle Normalformen realisierbar, höchstens mit Trick, nämlich mit "Selbstdurchdringungen", die man sich wegdenken muss.

Wir betrachten ein Wort der Form s₁s₁^-1w₁...s_ts_t^-1w_t, wobei w_i entweder die Form a_ib_ia_i ^-1b_i^-1 oder die Form c_ic_i hat.

Die zugehörige Fläche entsteht aus der 2-Sphäre auf folgende Weise:

Schneide t Löcher in die 2-Sphäre (mit disjunkten Rändern - deswegen haben wir die eigentlich überflüssigen Buchstaben s₁s₁^-1 eingefügt)!
Hefte Henkel an! Ist w_i von der Form a_ib_ia_i ^-1b_i^-1, so identifiziere den Rand des i-ten Lochs mit dem Rand eines gelochten Torus.
Hefte Kreuzhauben an! Ist w_i von der Form c_ic_i, so identifiziere den Rand des i-ten Lochs mit dem Rand eines Möbiusbands.

Und es gilt:

Der Klassifikationssatz besagt: Jede kompakte geschlossene Fläche ensteht aus der 2-Sphäre durch Anheftung von Henkeln und Kreuzhauben.
(Reduktion V) Das Anheften einer Kreuzhaube und eines Henkels liefert das Gleiche wie das Anheften dreier Kreuzhauben.

Also:

1. Löcher in die 2-Sphäre schneiden:

Hier eine 2-Sphäre mit drei Löchern:

2. Das Anheften eines Henkels:

Wir betrachten also den Fall eines Teilworts der Form w = aba^-1b^-1. Wir schneiden vom Polygon das entsprechende Fünfeck ab (linkes Bild, dabei ist d die Schnittkante); wichtig ist, dass man sich merkt, dass die Punkte P und Q zu identifizieren sind. Rechts das abgeschnittene Fünfeck, wobei die Identifizierung der Punkte P und Q durchgeführt ist (die der a-Kanten und die der b-Kanten jedoch nicht) - man sieht, dass es sich nach Identifizierung der a-Kanten wie der b-Kanten wirklich um einen Torus mit Loch handelt.

Hier der Torus mit Loch (das nach unten gezogen wurde):

Als Beispiel eine 2-Sphäre mit drei angehefteten Henkeln:

Meist wird man das Anheften eines Henkels ein wenig anders beschreiben:
statt ein Loch auszuschneiden:

werden zwei Löcher ausgeschnitten und durch einen Schlauch verbunden:

Es ist offensichtlich, dass die Ergebnisse (jeweils rechts) topologisch äquivalent sind!

Für g=1,2,3 erhält man folgende Flächen F_g:

3. Das Anheften einer Kreuzhaube:

Wir betrachten also den Fall eines Teilworts der Form w = cc. Wir schneiden vom Polygon das entsprechende Dreieck ab (linkes Bild) und unterteilen dabei die Basis in zwei Strecken d₁ und d₂. Zerschneiden wir dieses Dreieck in der Mitte (mittleres Bild) durch eine Kante e und verkleben wir die beiden c-Kanten (rechtes Bild), so sehen wir ein Möbiusband mit Rand d₁d₂.

Merkregel. Jedes Teilwort der Form cc bedeutet gerade das Ersetzen einer Kreisscheibe durch ein Möbiusband.

Zur Veranschaulichung empfiehlt es sich, an die bei jeder Einbettung in den R³ auftretende Selbstdurchdringung zu denken. Zum Beispiel kann man diese berücksichtigen, indem man c unterteilt, etwa c = ab schreibt, dann ist also cc = abab.
Schauen wir uns zum Beispiel ein Teilwort der Form eababe^-1 an:

Wir sehen also: Das Ersetzen von ee^-1 durch eababe^-1 entspricht gerade dem Einsetzen eines M&oum;biusbands!
Möbiusbänder werden deshalb auch Kreuzhauben genannt!

Siehe: Kreuzhaube

Als Nächstes zeigen wir eine Veranschaulichung, wie N₂ ensteht:

Für g=1,2,3 erhalten wir folgende Flächen N_g: