Abelsche Gruppen

Die Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen

Gruppe

Ordnung

Untergruppe,

Erzeugendensystem

Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt; in abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition.

Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt.

Sind A und B Gruppen, so bildet das Mengenprodukt A×B (also die Menge aller Paare (a,b) mit a in A und b in B) mit komponentenweiser Operation wieder eine Gruppe. Man nennt diese Gruppe das Produkt der Gruppen A und B. (Dabei versteht man unter "komponentenweiser Operation" die Multiplikation (a,b)(a',b') = (aa',bb'), für a, a' in A und b, b' in B.) Statt A×A schreibt man meist A²; entsprechend ist A^t für jede natürliche Zahl t definiert.

Wir betrachten endlich erzeugte abelsche Gruppen. Typische Beispiele sind natürlich zyklische Gruppen (dies sind diejenigen Gruppen, die von einem Element erzeugt werden - sie sind nach Definition endlich erzeugt, aber eben auch abelsch) und endliche Produkte zyklischer Gruppen. Der folgende Satz sagt, dass man auf diese Weise alle endlich erzeugten abelschen Gruppen erhält. (Dabei reicht es sogar, neben der unendlichen zyklischen Gruppe Z zyklische Gruppen mit Primzahlpotenzordnung zu nehmen...)

Satz.
(a) Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G ist isomorph zu einem Produkt einer Gruppe der Form Z^t (dabei ist t eine natürliche Zahl ≥ 0) und einer endlichen abelschen Gruppe E. Dabei ist E gerade die Menge der Elemente endlicher Ordnung in G (also eindeutig bestimmt). Ebenfalls eindeutig bestimmt ist die Zahl t (nicht jedoch Z^t als Untergruppe).
(b) Eine endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Die Faktoren sind eindeutig bis auf Isomorphie und Reihenfolge.

Dies ist ein Spezialsatz eines allgemeineren Satzes über die Struktur "endlich erzeugter Moduln" über einem Hauptidealring R. Zwei Spezialfälle dieses allgemeineren Satzes sind von Bedeutung:

der Fall des Rings R = Z der ganzen Zahlen - dies ist der oben formulierte Satz -,
und der Fall des Polynomrings R = k[T] in einer Variablen T mit Koeffizienten in einem Körper k. Zumindest der Teil (b) ist im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Körpers k allgemein bekannt und wird im Rahmen der Linearen Algebra thematisiert: die Theorie der Jordan'schen Normalform!

Freie abelsche Gruppen

Sei M eine Menge. Mit Z[M] bezeichnen wir die freie abelsche Gruppe mit Basis M. Die Elemente von Z[M] schreiben wir in der Form Σ z(i)m_i, dabei sind die z(i) ganze Zahlen, nur endlich viele dieser Zahlen sind von Null verschieden, und m_i durchläuft die Elemente der Menge M. Man nennt ein derartiges Element eine "formale Summe".

Zwei solche formalen Summen Σ z(i)m_i und Σ z(i)'m_i sind genau dann gleich, wenn die entsprechenden "Koeffizienten" jeweils gleich sind, wenn also z(i) = z(i)' für alle i gilt. Die Addition zweier solcher formaler Summen ist durch

Σ z(i)m_i +Σ z'(i)m_i = Σ (z(i)+z'(i))m_i definiert.

Diese freien abelsche Gruppen haben folgende universelle Eigenschaft: Ist G eine beliebige abelsche Gruppe und ist α: M → G eine Mengenabbildung, so besitzt α eine Fortsetzung zu einem Gruppen-Homomorphismus α': Z[M] → G, und diese Fortsetzung ist eindeutig bestimmt (Dabei nennt man α' eine Fortsetzung von α, falls α'(m) = α(m) für alle m in M gilt.): Man setzt einfach α'(Σ z(i)m_i) = Σ z(i)α(m_i).

Ist M eine Menge mit genau t Elementen, so ist die freie abelsche Gruppe mit Basis M isomorph zu Z^t. Man erhält einen Isomorphismus Z[M] → Z^t, indem man die Elemente von M anordnet, etwa M = {m₁,...,m_t}, und nun das Element Σ z(i)m_i auf das t-Tupel (z(1),...,z(t)) abbildet. Unter dieser Abbildung entspricht also das Basis-Element m_i dem t-Tupel e(i) = (0,...,0,1,0,...0) (die 1 stehe an der i-ten Stelle).

Man verwendet die Bezeichnung freie abelsche Gruppe nicht nur für die Gruppen, die in der Form Z[M] gegeben sind, sondern ganz allgemein für jede Gruppe G, die zu einer Gruppe der Form Z[M] isomorph ist. (Dabei sei M eine geeignete Menge.)

Wenn man unsicher ist, was solche "formalen Summen" sind, so kann man folgendermaßen vorgehen: Als Träger einer Abbildung a: M → Z bezeichnet man die Menge aller m in M, für die a(m) nicht Null ist. Ist M eine Menge, so sei Abb_f(M, Z) die (abelsche) Gruppe aller Abbildungen M → Z mit endlichen Träger (mit punktweiser Addition). Wir können M als eine Teilmenge von Abb_f (M, Z) auffassen, und zwar identifizieren wir jedes m in M mit der Funktion χ_m mit χ_m(m) = 1 und χ_m(m') = 0 für alle anderen m'. Statt a schreibt man dann auch Σ a(m)m und nennt dies eine "formale Summe". Da wir nur Funktionen a mit endlichem Träger betrachten, sind diese formalen Summen endliche Summen (= fast alle Koeffizienten sind Null).

Zwei solche formalen Summen Σ a(m)m und Σ b(m)m sind genau dann gleich, wenn die entsprechenden "Koeffizienten" von a und b gleich sind, wenn also a(m) = b(m) für alle m in M gilt. Die Addition zweier solcher formaler Summen ist durch

Σ a(m)m +Σ b(m)m = Σ(a+b)(m)m definiert.

Man erhält auf diese Weise eine "freie abelsche Gruppe mit Basis M".

Nachbemerkung: Die Bedeutung freier abelscher Gruppen und ihrer Basen

Freie abelsche Gruppen sind aus zwei (ganz verschiedenartigen) Gründen wichtig:

Kann man von einer irgendwo in natürlicher Weise auftretenden Gruppe G zeigen, dass G eine freie abelsche Gruppe ist, so freut man sich: denn es zeigt, dass G eine sehr übersichtliche Struktur besitzt, dass man in G recht unproblematisch rechnen kann.
Beispiel: Ist V ein k-Vektorraum, wobei k ein Körper der Charakteristik Null ist, so ist jede Untergruppe von V, die von endlich vielen Vektoren erzeugt wird, eine freie abelsche Gruppe. (Wenn wir von Untergruppen von V reden, so betrachten wir nur die additive Struktur von V: Jeder Vektorraum ist ja bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe.)
Weiß man, dass G eine freie abelsche Gruppe ist, so wird man eine Basis wählen und alle Elemente als Linearkombinationen von Elementen dieser Basis ausdrücken. Allerdings sollte man betonen, dass es meist keine ausgezeichnete Basis geben wird. Man sucht also eine geeignete Basis, in der die Elemente, an denen man interessiert sind, eine besonders einfache Form haben...
Es gibt aber auch Fälle, in denen es die Basis M ist, an der man interessiert ist, und nicht so sehr (oder eigentlich gar nicht) die freie abelsche Gruppe Z[M] selbst: Die Menge M ist vorgegeben, und man führt Z[M] nur deshalb ein, um mit den Elementen in M rechnen zu können, ihnen Multiplizitäten zuordnen zu können, ...
Typische Beispiele für dieses Vorgehen:
- Die Gruppe C_n(X) = Z[Top(Δⁿ,X)] der singulären n-Ketten in einem topologischen Raum X. Hier ist es die Menge M = Top(Δⁿ,X), an der man interessiert ist. Die formalen Summen werden nur gebildet, um rechnen zu können.
- Ist G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe, so wird in der Algebra der zugehörige ganzzahlige Gruppenring Z[G] betrachtet. (Die freie abelsche Gruppe Z[G] wird durch die Verwendung der Multiplikation von G zu einem Ring!) Die Bildung von Z[G] erlaubt es, Gruppenelemente von G nicht nur, wie man das eben in der Gruppe G kann, zu multiplizieren (Das Produkt ist wieder ein Element von G.), sondern auch zu addieren (Die Summe ist allerdings nicht wieder ein Element von G, sondern nur eine formale Summe von solchen Elementen...)
Manchmal ist die Konstruktion von Z[M] nur ein erster Schritt, um ein geeignetes (Rechen-)Objekt für die Elemente in M zu finden.
- Möglicherweise ist man nur an speziellen Elementen in M (oder in Z[M]) interessiert, zum Beispiel an einer Untergruppe U von Z[M] (typisches Beispiel: die Bildung von Z₁(M) in der Homologietheorie).
- Oder aber man möchte beim Rechnen in Z[M] gewisse Elemente, die man für überflüssig hält, gleich Null setzen: Man betrachtet dann statt Z[M] eine entsprechende Faktorgruppe Z[M]/U', wobei U' eine Untergruppe ist (eben die von den "überflüssigen" Elementen erzeugte Untergruppe).
- Oder schließlich - man macht beides: Man betrachtet ein Paar von Untergruppen U, U' von Z[M], wobei U' in U enthalten ist, und man bildet die Faktorgruppe U/U'. Genau dies wird gemacht, wenn man Homologie- oder Kohomologie-Gruppen einführt!

Während es also bei freien Gruppen, die in natürlicher Weise auftreten, im Allgemeinen keine ausgezeichnete Basis gibt, besitzen die künstlich eingeführten freien abelschen Gruppen Z[M] eine ausgezeichnete Basis: eben die Menge M, von der man ausgeht.