Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus ζ: C₁(X) → π₁(X,x₀)_ab auf folgende Weise: 

Da X wegzusammenhängend ist, können wir zu jedem x in X einen Weg κ(x) von x₀ nach x wählen. Wir fixieren jeweils einen solchen Weg und nennen ihn κ(x); dabei sei κ(x₀) = ε (der konstante Weg). Ist γ in Top(Δ¹,X), so ist

• (5) Ist c in Z₁(X) gegeben, so ist φζ(c) - c in B₁(X).

  Beweis:  Wir schreiben B = B₁(X). Sei c = z(1)γ₁+...+z(n)γ_n mit ganzen Zahlen z(i) und Elementen γ_i in Top(Δ¹,X). Nach Definition ist ζ(c) die Restklasse von [γ₁']^z(1) ...[γ_n']^z(n) in π₁(X,x₀)_ab, also ist
  φζ(c) = Σ z(i)γ_i' + B = Σ z(i)κ(γ_i(0)) + Σ z(i)γ_i - Σ z(i)κ(γ_i(1)) + B = Σ z(i)γ_i + B = c + B .
  (Denn nach Voraussetzung ist c ein 1-Zykel, also ist Σ z(i)γ_i(0) = Σ z(i)γ_i(1), also auch Σ z(i)κ(γ_i(0)) = Σ z(i)κ(γ_i(1)).)

• (5') Der Gruppen-Homomorphismus φ ist surjektiv.

• (6) B₁(X) ist im Kern von ζ enthalten (und liefert demnach einen Gruppen-Homomorphismus C₁(X)/B₁(X) → π₁(X,x₀)_ab, den wir ebenfalls mit ζ bezeichnen).

  Beweis:  Es genügt zu zeigen:  Ist Γ in Top(Δ²,X), so ist ζ(dΓ) = [[ε]].

  Beweis:  Nach Definition von d = d₂ ist dΓ = Γ₂ +Γ₀ - Γ₁, demnach ist ζ(dΓ) die Restklasse von
  [κ(Γ(0))*Γ₂*Γ₀* Γ₁^-*κ(Γ(0))^-].
  Offensichtlich ist aber diese Schleife nullhomotop, denn Γ liefert eine entsprechende Homotopie.
  

• (7) Für ω in Ω(X,x₀) ist ζφ([[ω]]) = [[ω]].

  Beweis:  Es ist φ([[ω]]) = φ(ω) = ω+B, also ist ζ(φ([[ω]])) = ζ(ω+B) = ζ(ω) = [[(ε*ω)*ε]] = [[ω]].

• (7') Der Gruppen-Homomorphismus φ: π₁(X,x₀)_ab → H₁(X) ist injektiv.

• Insgesamt haben wir gezeigt:  Die Einschränkung von ζ auf H₁(X) ist ein Gruppen-Homomorphismus H₁(X) → π₁(X,x₀)_ab, der zu φ : π₁(X,x₀)_ab → H₁(X) invers ist.

Ist X weg-zusammenhängend, so haben wir gesehen, dass φ ein surjektiver Gruppen-Homomorphismus π₁(X,x₀) → H₁(X) ist, dessen Kern die Kommutatorgruppe von π₁(X,x₀) ist.

Sei nun X nicht weg-zusammenhängend, sei etwa X' die Wegzusammenhangskomponente von X, die x₀ enthält. Man sieht leicht, dass die von der Inklusionsabbildung u: X' → X induzierte Abbildung H₁(X') → H₁(X) injektiv ist. Andererseits bildet φ die Fundamentalgruppe π₁(X,x₀) in H₁(X') ab. Es folgt nun unmittelbar, dass auch im allgemeinen Fall der Kern von φ die Kommutatorgruppe von π₁(X,x₀) ist.

Die Hurewicz-Homomorphismen bilden zusammen eine natürliche Transformation. Dabei betrachten wir die beiden Funktoren π₁ und H₁ als Funktoren von der Kategorie der punktierten Räume in die Kategorie der (nicht notwendig kommutativen) Gruppen.

Ist nämlich f: (X,x₀) → (Y,y₀) eine punktierte stetige Abbildung, so ist das folgende Diagramm kommutativ: 

(Dabei müssten wir die vertikalen Abbildungen eigentlich mit φ_X bzw. φ_Y bezeichnen, um zu betonen, dass die linke Abbildung der Hurewicz-Homomorphimus zu X (oder noch genauer: zu (X,x₀)), die rechte Abbildung der Hurewicz-Homomorphimus zu (Y,y₀) ist.)

Beweis:  Sei ω in Ω(X,x₀). Es ist f_*([ω]) = [fω], also
φf_*([ω]) = φ([fω]) = fω+ B₁(Y).

Andererseits ist φ([ω]) = ω+ B₁(X), und demnach
f_*φ([ω]) = f_*(ω+ B₁(X)) = fω+ B₁(Y).

Nachbemerkung:  Algebraisierungen topologischer Phänomene Algebra ist die Rechenkunst. Algebraisieren bedeutet, dass man mit Dingen (den Elementen einer Grundmenge) so rechnen möchte, wie man es mit Zahlen gewohnt ist:  dass entsprechende Rechengesetze wie etwa das Assoziativgesetz oder das Kommutativgesetz gelten, dass es ein neutrales Element e gibt usw. Und warum will man rechnen? Zum Beispiel um zu zeigen, dass zwei Dinge gleich sind oder dass sie verschieden sind. Die Bildung von π1(X,x0) und H1(X) zeigt zwei wesentlich verschiedene Vorgehensweisen zur Algebraisierung topologischer Phänomene. Die algebraische Struktur, die man in beiden Fällen erhält, ist die einer Gruppe:  Man braucht also jeweils:  eine Grundmenge, eine Verknüpfung, und bezüglich dieser Verknüpfung müssen die Gruppenaxiome erfüllt sein. Im Fall der Bildung der Fundamentalgruppe π1(X,x0) geht man genau in der angegebenen Reihenfolge vor:  Die Grundmenge von π1(X,x0) ist eine rein topologisch definierte Menge: die Menge der Homotopieklassen von Schleifen mit Basispunkt x0. Man definiert eine Verknüpfung auf dieser Menge ebenfalls rein topologisch. Schließlich weist man nach, dass die Gruppenaxiome gelten. Ganz anders ist das Vorgehen, um H1(X) zu definieren:  Die Elemente von H1(X) sind Restklassen einer formal definierten Gruppe. Wir brauchen keine Gruppenaxiome nachzuweisen, sie sind automatisch erfüllt. Die Elemente von H1(X) haben keine unmittelbare topologische Bedeutung. [Ist X wegzusammenhängend, so folgt allerdings aus dem Satz von Hurewicz, dass wir die Elemente von H1(X) als Restklassen von Schleifen interpretieren können - im Allgemeinen bleibt uns aber nichts anderes übrig, als mit formalen Summen zu arbeiten:  Ist etwa X die topologische Summe zweier Kreise mit Einbettungen u1,u2: S1 → X, so ist ein typisches Element von H1(X) von der Form z1u1+z2u2 mit ganzen Zahlen z1, z2 (genauer:  die zugehörige Restklasse modulo B1(X)). Die Koeffizienten zi können wir, wenn wir wollen, topologisch interpretieren (2u1 bedeutet eben, den Kreis zweimal zu durchlaufen, und -2u1 bedeutet, ihn zweimal in entgegengesetzter Richtung zu durchlaufen), es bleibt aber immer noch das +-Zeichen!] Der Grundgedanke, auf dem die Definition von H1(X) basiert, ist der Wunsch, mit Schlingen zu rechnen:  zu addieren ("zweimal die gleiche Schlinge durchlaufen", "verschiedene Schlingen durchlaufen"), aber diesen Additionsprozess auch rückgängig machen zu wollen, also subtrahieren zu können und dabei gewisse Schlingen oder deren Linearkombinationen als gleichartig (= homolog) einzustufen und demnach gleichzusetzen. Vorgegeben wird also als Ausgangsmenge Z1(X), in dieser Gruppe wird nun modulo der 1-Ränder gerechnet:  Man arbeitet also mit der Gruppe Z1(X)/B1(X). (Analoge Konstruktionen haben sich in vielen Gebieten der Mathematik bewährt.) Trotz dieser völlig verschiedenen Vorgehensweisen zeigt der Satz von Hurewicz, dass wir Gruppen erhalten, die eng verwandt sind! Die moderne Algebra ist nicht nur Rechenkunst, sie ist Struktur-Mathematik. Das soll heißen, dass die jeweiligen Rechensysteme, also die Gruppen, Ringe, Körper,... genauestens analysiert werden und ihre Struktur bestimmt wird:  dass also eine Normalform für die jeweilige Isomorphieklasse angegeben wird. Als Beispiel sei auf die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen verwiesen. Eine solche Klassifikation kann man im Allgemeinen nur dann erwarten, wenn die betrachteten algebraischen Objekte nicht "zu groß" sind. (Bei den abelschen Gruppen beschränkt man sich etwa auf diejenigen, die endlich erzeugt sind.) Nun sollte man bemerken, dass die Ausgangsmengen (also Ω(X,x0) beziehungsweise Z1(X)) sehr "groß" sind. (Man denke nur daran, wieviele stetige Abbildungen es allein schon von I nach I gibt!) Es muss also durchaus überraschen, dass die Gruppen, die man schließlich erhält, etwa die Fundamentalgruppe eines Kreises oder die erste Homologiegruppe einer unserer Flächen, durchaus "klein" sind (und dass die Struktur dieser Gruppen vollständig beschrieben werden kann).